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Mise à jour |Janv. 2018- Impression service reprographie UA 2 boulevard Lavoisi

Mise à jour |Janv. 2018- Impression service reprographie UA 2 boulevard Lavoisier | 49045 ANGERS cedex 01 Tél.: 02 41 73 53 53 Mathématiques MATHÉMATIQUES À DISTANCE (LICENCE 3) LICENCE Objectifs — Former des étudiants, ayant un niveau de L2 de mathématiques ou équivalent, à un niveau L3 de mathématiques. — Préparer les étudiants à intégrer différents masters dans les domaines des mathé- matiques, de l’ingénierie, de la finance, de l’enseignement,... — Préparer les étudiants à passer des concours ou entrer dans le monde du travail. — Développer chez les étudiants l’esprit logique et les capacités de raisonnement utiles dans de nombreuses activités. — Apporter une culture scientifique. Poursuite d’étude — Master de mathématiques fondamentales, de mathématiques appliquées, en ingénierie, en finance, en enseignement. — Écoles d’ingénieur. Public visé — Étudiants de L2 de mathématiques ou de niveau équivalent (classes préparatoires, universités étrangères). — Étudiants ayant acquis un M1 ou un M2 dans des disciplines où il y a un enseigne- ment des mathamatiques important (physique, informatique, finance,...). — Salariés ayant besoin d’une formation en mathématiques dans le cadre de leurs activités. — Personnes ayant besoin d’une remise à niveau en mathématiques. — Professeurs certifiés voulant réactiver leurs connaissances en vue de préparer l’agrégation. Conditions d’accès — De plein droit pour les titulaires d’une L2 de mathématiques ou d’un ancien diplôme équivalent (deug A, Sciences de la Matière, MIAS, MASS,...). — Par validation d’études pour les titulaires d’un diplôme étranger de niveau équiva- lent ou supérieur à la L2 de mathématiques (d’une université, d’une école,...). — Par validation d’études pour les titulaires d’un dipôme français de niveau équiva- lent ou supérieur à une L2 de mathématiques (de classes préparatoires scientifiques, d’écoles d’ingénieurs, dipômes universitaires contenant un enseignement de mathé- matiques au moins équivalent à celui de la L2 de mathamatiques,...). — Par Validation des Acquis de l’expérience (VAE). — Par Validation d’Acquis Professionnels (VAP). Programme La formation représente 550 heures d’enseignement sur support numérique réparties entre des contenus de cours et des activités pédagogiques (cours et TD en pdf interactif, devoirs corrigés, forums, QCM, vidéos, regroupements présentiels facultatifs). Lieu de la formation U.F.R. Sciences Contact Mylène MILDANGE mylene.mildange@univ-angers.fr Tél. : 02 41 73 50 65 Direction de la formation continue formationcontinue@univ-angers.fr Tél. : 02 44 68 86 84 Responsable de la formation Lionel BAYLE lionel.bayle@univ-angers.fr Tél: 02 41 73 54 82 Adresse web www.univ-angers.fr/sciences Programme 2 boulevard Lavoisier | 49045 ANGERS cedex 01 Tél.: 02 41 73 53 53 Semestre 5 : Module 1 : Topologie Prérequis : Notion de continuité dans R. Les suites. Programme : Notions de base de topologie métrique (ouvert, fermé, frontière, distance, norme). Suites et continuité dans les espaces métriques. Espaces topologiques généraux (notion d’homéomorphisme, to- pologie induite, topologie produit). Etude de la connexité, compacité et complétude. Convexité. Objectif : Etudier les principales notions de topo- logie utilisées dans les autres unités de valeurs et nécessaires pour préparer le CAPES ou l’agrégation de mathématiques, ou suivre des cours de Master. Module 2 : Intégration Prérequis : Les techniques de base du calcul intégral (intégration par parties, changements de variables élémentaires, intégration des fractions rationnelles). Programme : Révisions sur l’intégrale de Riemann (dé- finition, propriétés, calculs de primitives, continuité et dérivabilité des intégrales dépendant d’un paramètre). Clans, tribus et mesures. Mesure de Lebesgue. Fonc- tions mesurables. Construction de l’inté- grale. Fonctions intégrables. Théorèmes de la convergence monotone. Lemme de Fatou. Théorème de la convergence do- minée. Liens entre l’intégrale de Riemann et l’intégrale de Lebesgue. Continuité et dérivabilité des intégrales dépendant d’un paramètre. Tribu produit et mesure pro- duit. Théorèmes de Fubini (sans preuve). Théorème de changement de variables. Complétude des espaces Lp. Objectifs : A l’issue de ce cours, l’étudiant devrait être capable de : - Donner quelques raisons de l’introduction de l’intégrale de Lebesgue. - Comparer l’intégrale de Riemann et l’in- tégrale de Lebesgue. - Définir et expliquer la notion d’intégrale d’une fonction mesurable positive par rap- port une mesure. - Utiliser correctement le théorème de convergence monotone et le théorème de convergence dominée. - Utiliser correctement les conditions de continuité et de dérivabilité d’une intégrale dépendant d’un paramètre. - Utiliser correctement, et à travers beau- coup d’exemples, les théorèmes de Tonelli et Fubini. Module 3 : Calcul différentiel Prérequis : Dérivation des fonctions réelles d’une va- riable réelle. Etude locale des courbes pa- ramétrées dans R2. Rudiments d’algèbre linéaire et bilinénaire. Programme : Notion de différentielle (dimension finie). Interprétation géométrique. Matrice ja- cobienne. Différentielle d’une application composée. Fonctions de classe C1 et déri- vées partielles. Théorème de la moyenne. Inégalité des accroissements finis et ap- plications. Théorème d’inversion locale. Théorème des fonctions implicites. Application à l’étude locale des courbes et des surfaces. Courbes paramétrées (branches infinies, étude locale, repère de Frénet). Différentielles d’ordre supérieur. Formule de Schwarz. Formule de Taylor. Points critiques et extremums des applica- tions numériques. Extremums relatifs. Objectif : Se familiariser avec les bases du calcul différentiel et atteindre une bonne compréhension du théorème des fonctions implicites. Ces notions font partie des fon- dements nécessaires à toute spécialisa- tion en mathématiques (préparation au CAPES, à l’agrégation ou master de ma- thématiques pures ou appliquées). Module 4 : Groupes Prérequis : Les rudiments sur les entiers, les congruences, les matrices, les permuta- tions, la notion de relation et les groupes. Programme : Groupes, sous-groupes, générateurs, classes, théorème de Lagrange, sous- groupes normaux. Homomorphismes de groupes. Isomorphismes classiques, ordre d’un élément. Groupe du dièdre, généra- teurs et relations. Produit direct. Groupes symétriques et alternés. Classifi- cation des groupes abéliens d’ordres finis. Groupes de matrices et d’homographies. Action de groupes, orbites, stabilisateurs et sous-groupe d’inertie. Classes de conju- gaisons. Groupes en géométrie. Théo- rèmes de Sylow (sans la preuve). Objectif : Maîtriser les notions d’ordre d’un élément, d’orbite et de sous-groupe. Atteindre un certain niveau de familiarité avec la notion de quotient et les isomorphismes clas- siques, surtout pour les groupes cycliques et abéliens d’ordres finis. Pouvoir travailler avec des exemples de groupes utilisant générateurs et relations, surtout avec le groupe du dièdre. Connaître un certain nombre d’exemples. Comprendre les théo- rème de Sylow. Module 5 : Algèbre et Anglais Algèbre: Prérequis : Connaissances de L2 sur les notions d’es- pace vectoriel, déterminant, réduction des endomorphismes, d’algèbre bilinéaire, d’espace euclidien et hermitien. Programme : Algèbre linéaire, formes linéaires, dualité, déterminant. Réduction des endomorphismes, trigonali- sation, diagonalisation, réductions de Jor- dan et de Dunford, étude des invariants de similitude. Formes bilinéaires et quadratiques. Or- thogonalité (méthodes de Gauss et de Gram-Schmidt). Réduction des endomor- phismes symétriques. Groupe orthogonal. Etude des espaces euclidiens. Endomor- phismes symétriques, groupe orthogonal. Produits mixte et vectoriel. Objectif : Etudier les notions liées à l’algèbre li- néaire, bilinéaire et aux espaces euclidiens et hermitiens à un niveau permettant de résoudre les problèmes de CAPES ou d’agrégation. Anglais: Pré-requis: Le niveau minimum attendu est celui du bac. Programme : Anglais général. Vocabulaire, grammaire et fonctions de langue. Objectifs: Remise à plat des connaissances de base en grammaire et vocabulaire: Pronouns, Questions, numbers & quantita- tives, ED, have+EN, comparatives, modals Etude systématique de quelques fonctions de langue: Greeting, Repetition - Clarification, Coun- ting, Habits & past events, Recent actions & simple narratives, Making comparisons, Purpose, cause & result, Offers, orders, ability, Probability and hypothesis. Programme 2 boulevard Lavoisier | 49045 ANGERS cedex 01 Tél.: 02 41 73 53 53 Semestre 6 : Module 6 : Analyse complexe Prérequis : Différentiabilité et dérivabilité partielle. Séries entières. Rudiments de topologie. Théorie élémentaire de l’intégration en la variable réelle. Programme : Définition d’une fonction holomorphe, conditions de Cauchy en coordonnées car- tésiennes et polaires. Séries entières, fonctions analytiques, principes des zéros isolés et du prolonge- ment analytique. Les fonctions classiques: exponentielle, les fonctions trigonomé- triques et hyperboliques complexes, loga- rithme et déterminations du logarithme. Intégration le long d’un chemin, primitives des fonctions complexes (CNS d’existence d’une primitive), primitives des fonctions holomorphes (théorème de Goursat sur un ouvert étoilé, existence locale d’une primitive). Formule de Cauchy sur un disque, for- mules de la moyenne, analyticité des fonc- tions holomorphes, théorèmes de Liouville, de Moréra, du maximum. Notion d’indice. Homotopie, invariance de l’intégrale par homotopie, simple connexité, formule de Cauchy (y compris aux ordres supérieurs à 1) pour un lacet d’un ouvert simplement connexe. Les différents types de singularités, théo- rème de Weierstrass (l’image d’un voi- sinage d’une singularité essentielle est dense), théorème de Picard (sans dé- monstration), séries et développements de Laurent, résidus, théorèmes de Rouché, de l’image ouverte. Calculs d’intégrales par la méthode des résidus. Objectif : Etudier les propriétés élémentaires des fonctions holomorphes nécessaires pour suivre un cours d’analyse complexe niveau Master, présenter l’agrégation de mathé- matiques ou comprendre certains phéno- mènes physiques. Module 7 : Probabilités Prérequis : Probabilités et variables aléatoires dis- crètes (y compris la loi de Bernouilli, bino- miale, de Poisson), indépendance, probabi- lités conditionnelles, espérance et variance (sans notion d’espace probabilisé). Eléments de base de la théorie de mesure de Lebesgue et l’intégrale de Lebesgue. Programme : Espaces probabilisés et tribus. Variables et vecteurs aléatoires, discrets et continus, ainsi uploads/Management/ l-maths-distance-sciences-janv-2018.pdf