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Elbakkali groupes EL BAKKALI EL KADI TAHA Groupes CGroupes August G ?en ?eralit ?es Loi de composition interne Soit E un ensemble non vide Une loi de composition interne Lci est toute application de ExE vers E ? ExE ?? ? E x y ?? ? x ? y Magma Un ensemble

EL BAKKALI EL KADI TAHA Groupes CGroupes August G ?en ?eralit ?es Loi de composition interne Soit E un ensemble non vide Une loi de composition interne Lci est toute application de ExE vers E ? ExE ?? ? E x y ?? ? x ? y Magma Un ensemble E muni d ? une Lci ? est appel ?e magma et not ?e E ? Sous- magma Soit E ? un magma et A une partie non vide de E qui est stable par ? A ? est dit sous-magma de E ? Mono ? de Un mono ? de est un magma E ? v ?eri ?ant ? associative ?? x y z ?? E x ? y ? z x ? y ? z E admet un ?el ?ement neutre ? e ? pour ? ??x ?? E x ? e e ? x e Groupe Groupe Un groupe est un mono ? de E ? ou tout ?el ?ement de E admet un sym ?etrique pour ? C ?? Z est un groupe ? le usuel ? ?? N n ? est pas un groupe N est un mono ? de or les ?el ?ements de N ne sont pas tous sym ?etrisables Exercice Soit E ? un magma tq ?? ? est associative ?? il existe dans E un ?el ?ement neutre a gauche ?? tout ?el ?ement de E possede un sym ?etrique a gauche dans E Montrer que E ? est un groupe Sous-groupe Soit E ? un groupe et S une partie de E S est un sous-groupe de E si S est stable par la loi ? pour d ?e ?nir la loi induite S est un groupe pour la loi induite sur S par la loi ? Caract ?erisation Soit S une partie de E S est un sous-groupe de E ? si e ?? S ?? x y ?? S x ? y ?? S ??x ?? S x ?? ?? S ou S ? ?? x y ?? S x ? y ?? ?? S Exercice Montrer q ? une intersection de sous- groupes d ? un groupe E est un sous-groupe de E Exercice Soit n ?? Z Montrer que les sous-groupes de Z sont de la forme nZ Centre d ? un groupe CSoit E ? un groupe On appelle centre de E not ?e Z E l ? ensemble des ?el ?ements de E qui commutent avec tous les autres Z E x ?? E ??y ?? E xy yx Exercice Soit E ? un groupe Montrer que Z E ? est un groupe Ordre d ? un groupe Soit G un groupe ?ni L ? ordre de G est son cardinal Exercice th ?eor eme de lagrange Soit E un goupe ?ni et S un sous-groupe de E Montrer que l ? ordre de S divise l ? ordre de E Sous-groupe normal On dit qu ? un sous-groupe S d ? un groupe