23 octobre 2019 Exercices corrigés sur les « complexes » Exercice 1 : Forme alg

23 octobre 2019 Exercices corrigés sur les « complexes » Exercice 1 : Forme algébrique Mettre sous forme algébrique z = a + ib avec a, b ∈R les complexes suivants : 1. z1 = 1+2i 3−4i C’est une fraction, on multiplie numérateur et dénominateur le complexe conjugué du dénominateur pour se ramener à dénominateur positif. z1 = 1+2i 3−4i 3+4i 3+4i = (1+2i)(3+4i) |3−4i|2 = −5+10i 25 = −1+2i 5 2. z2 = 11+5i 1−i + 11−5i 1+i On réduit tout le monde au même dénominateur (1 + i)(1 −i) qui a le bon goût d’être réel. z2 = (11+5i)(1+i) (1−i)(1+i) + (11−5i)(1−i) (1+i)(1−i) = 6+16i 2 + 6−16i 2 = 12 2 = 6 3. z3 = 1+i 3−i
2. On peut adopter deux approches : (i) mettre 1+i 3−i sous forme algébrique avant de l’élever au carré ou (ii) l’élever au carré avant de le mettre sous forme algébrique (en se ramenenant à un numérateur réel). On va adopter l’approche (i) : mettre 1+i 3−i sous forme algébrique (en se ramenant à un numérateur réel) puis l’élever au carré. 1+i 3−i = (1+i)(3+i) (3−i)(3+i) = 2+4i 10 = 1+2i 5 et on a donc z3 = 1+2i 5 × 1+2i 5 = −3+4i 25 . 4. z4 = 1 2 + i √ 3 2 Déjà sous forme algébrique 5. z5 = − 2 1−i √ 7 On se ramène à un dénominateur réel en multipliant par le complexe conjugué : z5 = − 2 1−i √ 7 1+i √ 7 1+i √ 7 = −2(1+i √ 7) 8 = −1+i √ 7 4 6. z6 = (1+i)9 (1−i)5. On commence par calculer (1 + i)9 et (1 −i)5. On remarque que (1 + i)2 = 2i, (1+i)3 = 2i(1+i) = −2+2i = −2(1−i). On a donc (1+i)9 = [(1+i)3]3 = −8×(1−i)3. z6 se simplifie donc en z6 = − 8 (1−i)2. Comme (1 −i)2 = −2i, on a z6 = 4 i = −4i. Remarque On peut résoudre l’exercice plus simplement en notant que 1 + i = √ 2eiπ/4 et 1 −i = √ 2e−iπ/4 d’où on tire aisément z6 = ( √ 2)9e9iπ/4 ( √ 2)5e−5iπ/4 = ( √ 2)4e14iπ/4 = 4e−iπ/2 = −4i 7. z7 = 1 (1+3i)(2−i) = (1−3i)(2+i) |1+3i|2|2−i|2 = 5−5i 10×5 = 1−i 10 8. z8 = (1+11i)2 1−i = (1+11i)2(1+i) |1−i|2 = 1 2(−120 + 22i)(1 + i) = (−60 + 11i)(1 + i) = −71 + 59i 9. z9 = 2e2iπ/3 = 2 cos(2π/3) + 2i sin(2π/3) = −1 + i √ 3 10. z10 = 2eiπ/4 e−3iπ/4 = 2eiπ = −2 11. z11 = 2eiπ/4 × e−3iπ/4 = 2e−iπ/2 = −2i 12. z12 = 2eiπ/3 3e5iπ/6 = 2 3e−3π/6 = 2 3e−π/2 Exercice 2 : Forme exponentielle Mettre sous forme exponentielle les nombres complexes suivants : 1. z1 = 1+i 1−i. On commence par mettre 1 + i sous forme exponentielle en faisant apparaître son module : 1 + i = √ 2  1 √ 2 + i 1 √ 2  = √ 2[cos(π/4) + i sin(π/4)] = √ 2eiπ/4. On montre avec un raisonnement similaire que 1 −i = √ 2e−iπ/4 et on déduit z1 = √ 2eiπ/4 √ 2e−iπ/4 = eiπ/2 2. z2 = 1 + i √ 3 = 2  1 2 + i √ 3 2  = 2[cos(π/3) + i sin(π/3)] = 2eiπ/3 1 3. z3 = −2 1+i On repart du résultat intérmédiaire de la question 1 : 1 + i = √ 2eiπ/4 et on note que −2 = 2eiπ pour déduire le résultat z3 = 2eiπ √ 2eiπ/4 = √ 2ei3π/4 4. z4 = 1+i √ 3 √ 3+i On repart du résultat de la question 2 : 1 + i √ 3 = 2eiπ/3 et on montre de manière analogue que √ 3 + i = 2eiπ/6. On en déduit z4 = 2eiπ/3 2eiπ/6 = ei( π 3 −π 6) = π 6 5. z5 = sin(x) + i cos(x). z5 ressemble à une forme exponentielle mais n’en est pas une, il faut du cos pour la partie réelle et du sin pour la partie imaginaire. Qu’à cela ne tienne, on sait que sin(x) = cos(π/2−x) et cos(x) = sin(π/2−x) (faites un dessin sur le cercle trigo pour vous en convaincre). On a donc z5 = cos(π/2 −x) + i sin(π/2 −x) = ei( π 2 −x) On en déduit facilement le reste des valeurs demandées 1. z2 1 = (eiπ/2)2 = eiπ −1 2. z4 2 = 2eiπ/3
4 = 16e4iπ/3 = 16e−2iπ/3 = −8 −i8 √ 3 3. z5 2 + z25 = 2Re(z5 2) = 2Re(32e5iπ/3) = 2 × 32 × cos(5π/3) = 64 cos(−π/3) = −32 4. z3 2 1−i = 8ei3π/3 1−i = −8 1−i = −8(1+i) |1−i|2 = −4 −4i Exercice 3 : Opération sur les nombres complexes On pose u = 1 + i et v = 1 + i √ 3. On a vu dans l’exercice précédent que u = √ 2eiπ/4 et v = 2eiπ/3. On en déduit les réponses suivantes : 1. |u| = √ 2 et |v| = 2 2. arg(u) = π 4 [2π] et arg(u) = π 3 [2π] 3. z = u v = (1+i)(1−i √ 3) (1+i √ 3)(1−i √ 3) = (1+ √ 3)+i(1− √ 3) |1+i √ 3|2 = (1+ √ 3)+i(1− √ 3) 4 4. z = u v = √ 2eiπ/4 2eiπ/3 = 1 √ 2ei( π 4 −π 3) = 1 √ 2e−i π 12 = 1 √ 2 cos( π 12) − i √ 2 sin( π 12) 5. z a pour module 1/ √ 2 et un de ses arguments est −π/12. 6. D’après la question 3, z = (1+ √ 3)+i(1− √ 3) 4 . D’après la question 4, z = cos(−π/12) √ 2 + i sin(−π/12) √ 2 . Par identification des parties réelle et imaginaire de chaque expression, cos(−π/12) = √ 2 4 (1 + √ 3) sin(−π/12) = √ 2 4 (1 − √ 3) On conclut à l’aide des différentes propriétes de cos et sin (parité de cos, imparité de sin et égalités cos(π/2 −x) = sin(x) et sin(π/2 −x) = cos(x)) : cos  −5π 12  = cos 5π 12  = sin  π 12  = −sin  −π 12  = √ 2 4 ( √ 3 −1) sin 5π 12  = cos  π 12  = cos  −π 12  = √ 2 4 (1 + √ 3) Exercice 4 : Simplification de nombre complexe Ecrire sous forme algébrique et puis trigonométrique le nombre complexe ci-dessous : z = 1 + i − √ 3(i −1) 1 + i !2 2 Ce nombre a l’air un peu pénible mais certaines parties ressemblent à des quantités déjà vues. On commence par simplifer z sous la forme : z =  1 + √ 3i −1 1 + i 2 On a déjà vu dans la question 1 de l’exercice 2 que i−1 1+i = i+1 1−i
= eiπ/2 = i = −i. On a donc z = (1−i √ 3)2 = 2e−iπ/3
2 (voir question 2 de l’exercice 2), c’est à dire z = 4e−2iπ/3 = −2−i2 √ 3 Exercice 5 : Puissance d’un nombre complexe De façon générale, la forme exponentielle est beaucoup plus pratique pour calculer la puissance d’un nombre complexe 1. Déterminer le module et un argument de 1+i 1−i. En déduire la valeur de 1+i 1−i
2017 On a vu précédemment que z = 1+i 1−i = i et on sait que i4 = 1. Il suffit donc de trouver le reste de la division entière de 2017 par 4. On a 2017 = 2016 + 1 = 4 × 504 + 1 et donc z2017 = i2017 = i4×504+1 = (i4)504 × i = 1504 × i = i 2. Déterminer le module et un argument de 1 + i √ 3. En déduire la valeur de 1 + i √ 3
2 010 On a déjà vu que z = 1 + i √ 3 = 2eiπ/3 et on sait que (eiπ/3)6 = e2iπ = 1. Il faut donc trouver le reste de la division entière de 2010 par 6. On a 2010 = 6×335 et donc z2010 = 2eiπ/3
2010 = 22010 eiπ/3
2010 = 22010 eiπ/3
6×355 = 22010 eiπ/3
6355 = 22010 × 1355 = 22010 3. Déterminer les puissances n-ièmes de : z1 = 1 + i √ 3 1 + i z2 = 1 + i tan(θ) 1 −i tan(θ) z3 = 1 + cos(φ) + i sin(φ) z1 peut se réécrire z1 = √ 2eiπ/12 d’où on déduit zn 1 = 2 n 2 ei nπ 12 z2 n’est définie que pour θ ̸= π 2 + kπ (avec k ∈Z). Si c’est le cas, z2 peut se réécrire z2 = cos θ+i sin(θ) cos(θ) cos θ−i sin(θ) cos(θ) = cos(θ)+i sin(θ) cos(θ)−i sin(θ) = eiθ e−iθ = e2iθ d’où uploads/s3/ exercices-complexes-corrige 1 .pdf

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• Publié le Aoû 09, 2021
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