M1 – CIN´ EMATIQUE DU POINT « Nous avons (. . . ) le résultat suivant : Toute d

M1 – CIN´ EMATIQUE DU POINT « Nous avons (. . . ) le résultat suivant : Toute description d’événements dans l’espace nécessite l’emploi d’un corps rigide auquel les événements doivent être rapportés. (. . . ) Je définis la tâche de la Mécanique dans les termes suivants : “La Mécanique doit écrire comment les corps changent de lieu avec le temps” [mais] il n’est pas clair ce qu’il faut ici entendre par “lieu” et “espace”. (. . . ) À [leur] place nous mettons “mouvement par rapport à un corps de référence pratiquement rigide” [ou] “système de coordonnées”, qui est utile pour la description mathématique (. . . ). » Albert Einstein (1879-1955) [Nobel de physique 1921] – - La Relativité (Payot, 2001, p. 18-20) OBJECTIFS La Mécanique peut être divisée en plusieurs branches : • la cinématique (du grec κινημα « kinéma » signifiant mouvement) qui vise à décrire les mouvements sans en chercher les causes ; • la dynamique (du grec δυναμις « dynamis » signifiant force) qui cherche à établir un lien entre les mouvements et les causes qui les engendrent. D’autres branches de la mécanique peuvent aussi être envisagées : • la cinétique ou l’étude descriptive d’un système matériel en mouvement : cette partie doit souvent être antérieure à tout autre aspect de la mécanique. Il s’agit de définir les quantités qui vont permettre de décrire le mouvement comme la quantité de mouvement ou le moment cinétique par exemple. • la statique ou l’étude des équilibres des systèmes : cette partie est implicitement incluse dans l’analyse de la dynamique en considérant que vitesse et accélération ou tout autre quantité dynamique sont nulles. Objectifs de cette leçon : • Repérage d’un événement dans l’espace et dans le temps • Systèmes usuels de coordonnées • Dérivée d’une grandeur vectorielle • Notion de référentiel • Expressions des vecteurs vitesse et accélération d’un point • Mouvement rectiligne et Mouvement circulaire. I Rep´ erage d’un point et syst` emes et coordonn´ ees I.1 Base OrthoNorm´ ee Directe (B.O.N.D.) ♦D´ efinition : Une base orthonorm´ ee directe est constitu´ ee de trois vecteurs : - orthogonaux - unitaires - qui v´ erifient la « règle de la main droite » : − → e 1 × − → e 2 = − → e 3 expression invariante par permutation circulaire : − → e 2 × − → e 3 = − → e 1 − → e 3 × − → e 1 = − → e 2 e1 e2 e3 Compl´ ements et rappels math´ ematiques : Cf Cours. I.2 Base cart´ esienne § Cf Cours I.3 Base cylindrique § Cf Cours I.4 Base sph´ erique § Cf Cours M1 I. Syst` eme de coordonn´ ees 2008-2009 I.5 Compl´ ements x y z O M θ r er ez eθ H m eθ Base cylindrique et vecteur position z x y z O M ϕ r er eθ H m eϕ eϕ θ Base sphérique et vecteur position eθ x y z O M ex ez H m eθ Base cartésienne et vecteur position z x y ey Base cart´ esienne Base cylindrique Base sph´ erique Vecteur position − − → OM x− → ex + y− → ey + z− → ez r− → er + z− → ez r− → er Vecteur d´ eplacement ´ el´ ementaire d− − → OM dx− → ex + dy− → ey + dz− → ez dr− → er + rdθ− → eθ + dz− → ez dr− → er + rdθ− → eθ + r sin θdϕ− → eϕ Volume ´ el´ ementaire dV dx.dy.dz rdr.dθ.dz r2dr. sin θdθ.dϕ Composantes d’un vecteur − → u quelconque ux− → ex + uy− → ey + uz− → ez ur− → er + uθ− → eθ + uz− → ez ur− → er + uθ− → eθ + uϕ− → eϕ Norme u =∥− → u ∥d’un vecteur − → u quelconque È u2 x + u2 y + u2 z È u2 r + u2 θ + u2 z È u2 r + u2 θ + u2 ϕ r.dθ x y z O M θ dθ dθ r dOM er ez eθ dr dz H m eθ z r.sinθ.dϕ x y z O M ϕ dϕ dϕ r dOM er eθ dr H m eϕ eϕ θ r.dθ dθ Base cylindrique et vecteur déplacement élémentaire Base sphérique et vecteur déplacement élémentaire Rq : Sur les deux sch´ emas pr´ ec´ edents, on voit qu’` a un d´ eplacement ´ el´ ementaire selon les trois directions de la base consid´ er´ e peut ˆ etre associ´ e ` a un volume ´ el´ ementaire dV , assimilable ` a un parall´ el´ epip` ede rectangle, tel que : - pour la base cylindrique : dV = (dr)(rdθ)(dz) = rdr.dθ.dz - pour la baser sph´ erique : dV = (dr)(rdθ)(r sin θdϕ) = r2dr. sin θdθ.dϕ - bien entendu, pour la base cart´ esienne : dV = dx.dy.dz Cette remarque nous sera tr` es utile dans la suite du cours (§ Cf Cours d’´ Elecromagn´ etisme) 2 http ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/ qadripcsi@aol.com 2008-2009 II. Vitesse et acc´ el´ eration M1 II Vitesse et acc´ el´ eration dans un r´ ef´ erentiel R II.1 D´ efinitions ♦D´ efinition : Soit un r´ ef´ erentiel R et M un point mat´ eriel qui d´ ecrit une trajectoire C dans R entre t1 et t2. • On appelle vitesse moyenne : vmoy = û M1M2 t2 −t1 • La vitesse instantan´ ee de M ` a l’instant t est : v(t) = lim ∆t→0 ÿ M(t)M(t+∆t) ∆t • On d´ efinit le vecteur vitesse instantan´ ee − − − → vM/R(t) = lim ∆t→0 − − − − − − − − → M(t)M(t+∆t) ∆t - la norme est v(t), - la direction celle de la tangente ` a la trajectoire - et le sens celui du mouvement • Comme lim ∆t→0 − − − − − − − − → M(t)M(t+∆t) = − − − → MM′ = d− − → OM, avec O un point origine (donc un point fixe) de R, on ´ ecrit : − − − → vM/R(t) = d− − → OM dt ! R Rq : Comme la d´ efinition pr´ ec´ edente est valable non seulement pour M rep´ er´ e par rapport ` a l’origine de R mais pour M observ´ e depuis tout point fixe A de R, on a : − − − → vM/R(t) = d− − → OM dt ! R = d− − → AM dt ! R ♦D´ efinition : L’acc´ el´ eration de M ` a l’instant t dans la r´ ef´ erentiel R : − − − → aM/R(t) = ‚d− − − → vM/R dt Œ R = d2− − → OM dt2 ! R Important : Lorsqu’on d´ erive un vecteur par rapport au temps, il faut toujours pr´ eciser le r´ ef´ erentiel dans lequel on se place. En effet, la trajectoire d´ ependant du r´ ef´ erentiel, on comprend que les vecteurs associ´ es (position, vitesse) en d´ ependent ´ egalement. Un vecteur comme la vitesse ou l’acc´ el´ eration d´ epend du r´ ef´ erentiel d’´ etude. Soit. Mais un vecteur donn´ e, peut ˆ etre projet´ e d’autant de mani` eres qu’il existe de bases de projection. Dans les paragraphes qui suivent, nous allons exprimer les vecteurs vitesse et acc´ el´ eration instantan´ ees dans les deux bases fondamentales que nous utiliserons en cours. II.2 Expressions en coordonn´ ees cart´ esiennes • Comme − − → OM = x− → ex + y− → ey + z− → ez et que la base cart´ esienne (− → ex, − → ey, − → ez) est une base constante dans le r´ ef´ erentiel R (3 directions orthogonales fixes de R), on a : − − − → vM/R(t) = d− − → OM dt ! R = ˙ x− → ex + x   ‚d− → ex dt Œ R + ˙ y− → ey + y   ‚d− → ey dt Œ R + ˙ z− → ez + z   ‚d− → ez dt Œ R qadripcsi@aol.com http ://pcsi-unautreregard.over-blog.com/ 3 M1 II. Vitesse et acc´ el´ eration 2008-2009 D’o` u l’expression de la vitesse et, par suite, celle de l’acc´ el´ eration dans la base cart´ esienne : S Notation ligne : − − − → vM/R = ˙ x− → ex + ˙ y− → ey + ˙ z− → ez et − − − → aM/R = ¨ x− → ex + ¨ y− → ey + ¨ z− → ez S Notation colonne : − − − → vM/R = ˙ x ˙ y (− → ex,− → ey,− → ez) ˙ z et − − − → aM/R = ¨ x ¨ y (− → ex,− → ey,− → ez) ¨ z Rq : f ´ uploads/Management/ m1-cin-ematique-du-point-i-rep-erage-d-x27-un-point-et-syst-x27-emes-et-coordonn-ees.pdf

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  • Publié le Jul 15, 2021
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