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uds Exemple L ’anova à 2 facteurs avec répétitions La vériﬁcation des condition

uds Exemple L ’anova à 2 facteurs avec répétitions La vériﬁcation des conditions Les comparaisons multiples L ’anova à 2 facteurs sans répétitions Analyse de la variance à deux facteurs Frédéric Bertrand1 & Myriam Maumy1 1IRMA, Université de Strasbourg Strasbourg, France Master 1re Année 2016-2017 Frédéric Bertrand & Myriam Maumy Analyse de la variance à deux facteurs uds Exemple L ’anova à 2 facteurs avec répétitions La vériﬁcation des conditions Les comparaisons multiples L ’anova à 2 facteurs sans répétitions Sommaire 1 Exemple 2 L ’anova à 2 facteurs avec répétitions Le modèle Les tests Les statistiques Les formules de calculs Le tableau de l’analyse de la variance 3 La vériﬁcation des conditions 4 Les comparaisons multiples 5 L ’anova à 2 facteurs sans répétitions Modèle et sommes des carrés Étude complète d’un exemple Frédéric Bertrand & Myriam Maumy Analyse de la variance à deux facteurs uds Exemple L ’anova à 2 facteurs avec répétitions La vériﬁcation des conditions Les comparaisons multiples L ’anova à 2 facteurs sans répétitions Références Ce cours s’appuie essentiellement sur 1 le livre David C. Howell, Méthodes statistiques en sciences humaines traduit de la sixième édition américaine aux éditions de Boeck, 2008. 2 le livre de Pierre Dagnelie, Statistique théorique et appliquée, Tome 2, aux éditions de Boeck, 1998. 3 le livre de Hardeo Sahai et Mohammed I. Ageel, The Analysis of Variance : Fixed, Random and Mixed Models, aux éditions Birkhäuser, 2000. Frédéric Bertrand & Myriam Maumy Analyse de la variance à deux facteurs uds Exemple L ’anova à 2 facteurs avec répétitions La vériﬁcation des conditions Les comparaisons multiples L ’anova à 2 facteurs sans répétitions Sommaire 1 Exemple 2 L ’anova à 2 facteurs avec répétitions Le modèle Les tests Les statistiques Les formules de calculs Le tableau de l’analyse de la variance 3 La vériﬁcation des conditions 4 Les comparaisons multiples 5 L ’anova à 2 facteurs sans répétitions Modèle et sommes des carrés Étude complète d’un exemple Frédéric Bertrand & Myriam Maumy Analyse de la variance à deux facteurs uds Exemple L ’anova à 2 facteurs avec répétitions La vériﬁcation des conditions Les comparaisons multiples L ’anova à 2 facteurs sans répétitions Contexte Nous nous proposons d’analyser l’inﬂuence du temps et de trois espèces ligneuses d’arbre sur la décomposition de la masse d’une litière constituée de feuilles de Lierre. Pour ce faire, 24 sachets d’une masse identique de feuilles de lierre ont été constitués, sachets permettant une décomposition naturelle. Puis une première série de 8 sachets, choisis au hasard, a été déposée sous un chêne, une deuxième sous un peuplier, et la dernière série sous un frêne. Après 2, 7, 10 et 16 semaines respectivement, deux sachets sont prélevés au hasard sous chaque arbre et la masse résiduelle est déterminée pour chacun d’eux. Cette masse est exprimée en pourcentage de la masse initiale. Frédéric Bertrand & Myriam Maumy Analyse de la variance à deux facteurs uds Exemple L ’anova à 2 facteurs avec répétitions La vériﬁcation des conditions Les comparaisons multiples L ’anova à 2 facteurs sans répétitions Les données Les valeurs observées sont données dans le tableau suivant : Semaine Chêne Peuplier Frêne 2 85, 10 85, 20 84, 30 87, 60 84, 90 85, 75 7 75, 90 73, 00 72, 80 72, 85 75, 70 70, 80 10 71, 60 74, 15 67, 10 66, 95 71, 85 64, 95 16 62, 10 67, 25 58, 75 64, 30 60, 25 59, 00 Frédéric Bertrand & Myriam Maumy Analyse de la variance à deux facteurs uds Exemple L ’anova à 2 facteurs avec répétitions La vériﬁcation des conditions Les comparaisons multiples L ’anova à 2 facteurs sans répétitions Les écritures Nous pouvons écrire ce tableau sous forme standard, qui est celle utilisée dans la plupart des logiciels et en particulier avec le logiciel R, c’est-à-dire avec trois colonnes, une pour la semaine, une pour l’espèce et une pour la masse, et 24 lignes, une pour chaque sachet. Frédéric Bertrand & Myriam Maumy Analyse de la variance à deux facteurs uds Exemple L ’anova à 2 facteurs avec répétitions La vériﬁcation des conditions Les comparaisons multiples L ’anova à 2 facteurs sans répétitions Les données Sachets Semaines Espèces Masses 1 2 Chêne 85, 10 2 2 Chêne 87, 60 3 2 Peuplier 85, 20 4 2 Peuplier 84, 90 5 2 Frêne 84, 30 6 2 Frêne 85, 75 7 7 Chêne 75, 90 8 7 Chêne 72, 85 Frédéric Bertrand & Myriam Maumy Analyse de la variance à deux facteurs uds Exemple L ’anova à 2 facteurs avec répétitions La vériﬁcation des conditions Les comparaisons multiples L ’anova à 2 facteurs sans répétitions Les données Sachets Semaines Espèces Masses 9 7 Peuplier 73, 00 10 7 Peuplier 75, 70 11 7 Frêne 72, 80 12 7 Frêne 70, 80 13 10 Chêne 71, 60 14 10 Chêne 66, 95 15 10 Peuplier 74, 15 16 10 Peuplier 71, 85 Frédéric Bertrand & Myriam Maumy Analyse de la variance à deux facteurs uds Exemple L ’anova à 2 facteurs avec répétitions La vériﬁcation des conditions Les comparaisons multiples L ’anova à 2 facteurs sans répétitions Les données Sachets Semaines Espèces Masses 17 10 Frêne 67, 10 18 10 Frêne 64, 95 19 16 Chêne 62, 10 20 16 Chêne 64, 30 21 16 Peuplier 67, 25 22 16 Peuplier 60, 25 23 16 Frêne 58, 75 24 16 Frêne 59, 00 Frédéric Bertrand & Myriam Maumy Analyse de la variance à deux facteurs uds Exemple L ’anova à 2 facteurs avec répétitions La vériﬁcation des conditions Les comparaisons multiples L ’anova à 2 facteurs sans répétitions Le but Nous nous proposons d’utiliser l’analyse de la variance à deux facteurs. Nous observons trois variables : 1 deux d’entre elles sont des variables contrôlées, l’espèce d’arbre, qualitative à trois modalités, et la semaine qui peut être considérée comme qualitative à quatre modalités. 2 La troisième variable est une réponse quantitative. Donc l’analyse de la variance à deux facteurs (semaine et espèce d’arbre) croisés, avec interaction, peut convenir, entre autres méthodes d’analyse de ces données. Frédéric Bertrand & Myriam Maumy Analyse de la variance à deux facteurs uds Exemple L ’anova à 2 facteurs avec répétitions La vériﬁcation des conditions Les comparaisons multiples L ’anova à 2 facteurs sans répétitions Le modèle Les tests Les statistiques Les formules de calculs Le tableau de l’analyse de la variance Sommaire 1 Exemple 2 L ’anova à 2 facteurs avec répétitions Le modèle Les tests Les statistiques Les formules de calculs Le tableau de l’analyse de la variance 3 La vériﬁcation des conditions 4 Les comparaisons multiples 5 L ’anova à 2 facteurs sans répétitions Modèle et sommes des carrés Étude complète d’un exemple Frédéric Bertrand & Myriam Maumy Analyse de la variance à deux facteurs uds Exemple L ’anova à 2 facteurs avec répétitions La vériﬁcation des conditions Les comparaisons multiples L ’anova à 2 facteurs sans répétitions Le modèle Les tests Les statistiques Les formules de calculs Le tableau de l’analyse de la variance Le contexte Dans l’étude des effets simultanés d’un facteur à I modalités et d’un facteur à J modalités sur une variable quantitative Y, supposons que Y suive des lois normales, a priori différentes dans les IJ populations disjointes déterminées par la conjonction de deux modalités des facteurs étudiés. Supposons que, dans la population correspondant à la modalité d’ordre i du premier facteur et à la modalité d’ordre j du deuxième facteur, nous ayons : L(Y) = N(µij; σ2), pour i = 1, . . . , I et j = 1, . . . , J. Frédéric Bertrand & Myriam Maumy Analyse de la variance à deux facteurs uds Exemple L ’anova à 2 facteurs avec répétitions La vériﬁcation des conditions Les comparaisons multiples L ’anova à 2 facteurs sans répétitions Le modèle Les tests Les statistiques Les formules de calculs Le tableau de l’analyse de la variance L ’idée Pour mettre en évidence les éventuelles différences entre le comportement de la variable Y dans les I modalités du premier facteur, dans les J modalités du deuxième facteur, ou encore dans l’interaction entre les deux facteurs, nous considérons des échantillons indépendants de même taille K de la variable Y dans chacune des IJ populations , soit au total un n-échantillon avec n = IJK. Frédéric Bertrand & Myriam Maumy Analyse de la variance à deux facteurs uds Exemple L ’anova à 2 facteurs avec répétitions La vériﬁcation des conditions Les comparaisons multiples L ’anova à 2 facteurs sans répétitions Le modèle Les tests Les statistiques Les formules de calculs Le tableau de l’analyse de la variance Le modèle statistique Pour la variable d’ordre k de la population d’indice (i, j), notée Yijk, nous posons : Yijk = µ + αi + βj + (αβ)ij + Eijk, pour tout i = 1, . . . , I; j = 1, . . . , J; k = 1, . . . , K, avec, pour éviter une surparamétrisation, les uploads/Management/ master1-cours3.pdf