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© Ministère de l’enseignement supérieur et de la recherche, 2013 http://www.ens

© Ministère de l’enseignement supérieur et de la recherche, 2013 http://www.enseignementsup-recherche.gouv.fr Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Filière : scientifique Voie : Physique et sciences de l’ingénieur (PSI) Discipline : Mathématiques Seconde année Classe préparatoire PSI Programme de mathématiques Table des matières Objectifs de formation 2 Description et prise en compte des compétences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Unité de la formation scientiﬁque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Architecture et contenu du programme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Organisation du texte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Usage de la liberté pédagogique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Programme 6 Algèbre linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 A - Compléments sur les espaces vectoriels, les endomorphismes et les matrices . . . . . . . . . . . . . . 6 B - Réduction des endomorphismes et des matrices carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Espaces préhilbertiens réels, espaces euclidiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 A - Espaces préhilbertiens réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 B - Isométries et endomorphismes symétriques d’un espace euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Espaces vectoriels normés de dimension ﬁnie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Suites et séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 A - Séries numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 B - Suites et séries de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 C - Séries entières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Fonctions vectorielles, arcs paramétrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 A- Espaces probabilisés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 B - Variables aléatoires discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Calcul différentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Équations différentielles linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 © Ministère de l’enseignement supérieur et de la recherche, 2013 http://www.enseignementsup-recherche.gouv.fr Mathématiques PSI 1/26 Le programme de mathématiques de PSI, dans le prolongement de ceux de première année, s’inscrit entre deux continuités : en amont avec les programmes rénovés du lycée, en aval avec les enseignements dispensés dans les grandes écoles, et plus généralement les poursuites d’études universitaires. Il est conçu pour amener progressivement tous les étudiants au niveau requis pour poursuivre avec succès un cursus d’ingénieur, de chercheur, d’enseignant, de scientiﬁque, et aussi pour leur permettre de se former tout au long de la vie. Objectifs de formation La formation mathématique en classe préparatoire scientiﬁque vise deux objectifs : – l’acquisition d’un solide bagage de connaissances et de méthodes permettant notamment de passer de la perception intuitive de certaines notions à leur appropriation, aﬁn de pouvoir les utiliser à un niveau supérieur, en mathé- matiques et dans les autres disciplines. Ce degré d’appropriation suppose la maîtrise du cours, c’est-à-dire des déﬁnitions, énoncés et démonstrations des théorèmes ﬁgurant au programme ; – le développement de compétences utiles aux scientiﬁques, qu’ils soient ingénieurs, chercheurs ou enseignants, pour identiﬁer les situations auxquelles ils sont confrontés, dégager les meilleures stratégies pour les résoudre, prendre avec un recul sufﬁsant des décisions dans un contexte complexe. Pour répondre à cette double exigence, et en continuité avec les programmes de mathématiques du lycée, les pro- grammes des classes préparatoires déﬁnissent un corpus de connaissances et de capacités, et explicitent six grandes compétences qu’une activité mathématique permet de développer : – s’engager dans une recherche, mettre en œuvre des stratégies : découvrir une problématique, l’analyser, la trans- former ou la simpliﬁer, expérimenter sur des exemples, formuler des hypothèses, identiﬁer des particularités ou des analogies ; – modéliser : extraire un problème de son contexte pour le traduire en langage mathématique, comparer un modèle à la réalité, le valider, uploads/Management/ mathematiques-psi-pdf 1 .pdf