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Exercices corriges couple de variables aleatoires

BIBM TH Ressources mathématiques Base de données d'exercices Exercices de dénombrement - probabilités - statistiques Accéder à mon compte Accéder à ma feuille d'exercices Exercices corrigés - Couple de variables aléatoires Vecteurs aléatoires discrets ?nis Exercice - Loi marginale Signaler une erreur Ajouter à ma feuille d'exos Enoncé On dispose de n boites numérotées de à n La boite k contient k boules numérotées de à k On choisit au hasard de façon équiprobable une boite puis une boule dans cette boite On note X le numéro de la boite et Y le numéro de la boule Déterminer la loi conjointe du couple X Y En déduire la loi de Y Calculer l'espérance de Y Indication Corrigé Pour tout i j dans ? n on a P X Y i j P X i P Y j X i On en déduit que si j i alors P X Y i j alors que si j ? i P X Y i j n ? i Y prend ses valeurs dans ? n et on a P Y k n ? i P X i Y k n ? i k P X i Y k n ? i k ni Pour calculer l'espérance on applique la dé ?nition et on permute les sommes E Y n nn ? k ? i k k i n n ? i i i ? k k n n ? i i ? i i n n ? i i n ? n n ?? n Exercice Loi jointe uniforme Signaler une erreur Ajouter à ma feuille d'exos Enoncé Soit X Y un couple de variables aléatoires suivant une loi uniforme sur ? n Déterminer la loi de X la loi de Y la loi de X Y X et Y sont-elles indépendantes Indication Corrigé X est à valeurs dans ? n On a pour tout k de ? n P X k n ? i P X Y ? ? k i n ? i n n X suit donc une loi uniforme sur ? n Par symétrie il en est de même de Y La variable aléatoire X Y est à valeurs dans ? n et pour tout k dans cet intervalle d'entiers on a k P X Y k ? i P X i Y k ?? i Si k ? n ceci devient égal à P X Y k k ? i n k n Si k n la somme ne peut aller que jusque n car i ? n et ne peut commencer qu'en k ?? n car k ?? i ? n et donc P X Y n k i ? k ??n n ? n ?? k n Les variables X et Y sont indépendantes car pour tout couple i j de ? n on a bien P X i Y j P X i P Y j n Exercice Vecteurs aléatoires et matrices Signaler une erreur Ajouter à ma feuille d'exos Enoncé On considère un