L’ESSENTIEL DU COURS • Des fiches synthétiques • Les points clés du programme
L’ESSENTIEL DU COURS • Des fiches synthétiques • Les points clés du programme • Les formules et repères essentiels • Les définitions clés DES SUJETS DE BAC • Plus de 80 questions tirées des sujets tombés au bac • La bonne méthode pour les résoudre • Tous les corrigés DES ARTICLES DU MONDE • Des articles du Monde en texte intégral • Un accompagnement pédagogique de chaque article • Toutes les clés pour se forger une culture mathématique UN GUIDE PRATIQUE • La méthodologie des épreuves • Astuces et conseils T erm S Hors-série Le Monde, mars 2014 HORS-SÉRIE Réviser son bac avec 3’:HIKMOC=WU\^U[:?k@a@a@n@f"; M 02422 - 3H - F: 7,90 E - RD Édition 2014 En partenariat avec Avec la collaboration de : Thomas Camara Alain Larroche Daniel Pompon Jean-Marc Ravier Mathématiques Terminale, série S Une réalisation de En partenariat avec Réviser son bac avec © rue des écoles & Le Monde, 2014. Reproduction, diffusion et communication strictement interdites. AVANT-PROPOS L’ouvrage que vous avez entre les mains a pour objectif de vous aider dans la préparation de l’épreuve de mathématiques au baccalauréat scientifiqu . Son intérêt réside d’abord dans la manière dont il reprend, point par point, les différents thèmes du programme de terminale S, en synthétisant – dans la partie « L’essentiel du cours » – les connaissances que vous devez maîtriser, mais aussi en listant dans les colonnes, les notions incontour- nables et les mots-clés dont vous devez connaître la définition préci e. Plusieurs exercices tirés des sujets récemment tombés au bac accompagnent chaque thème. Ils sont assortis de conseils de méthode pour les traiter ; tous sont corrigés en fin de volume. Enfin véritable originalité de l’ouvrage, des articles tirés du journal Le Monde viennent mettre en perspective chaque point du programme et vous offrent la possibilité d’enrichir votre culture mathématique et scientifiqu . Très accessibles, accompagnés d’un commentaire pédagogique vous permettant de bien comprendre les enjeux, ils sont signés notamment par des mathématiciens chevronnés tels Étienne Ghys, Cédric Villani, Pierre Cartier ou encore Jean-Michel Kantor. De quoi aborder l’examen en toute confian e, mais aussi préparer votre éventuelle entrée dans l’enseignement supérieur. Il nous reste à vous souhaiter bon courage en espérant que nous aurons, à travers cet ouvrage, contribué à votre succès. Les auteurs. Message à destination des auteurs des textes figu ant dans cet ouvrage ou de leurs ayants-droit : si malgré nos efforts, nous n’avons pas été en mesure de vous contacter afi de formaliser la cession des droits d’exploitation de votre œuvre, nous vous invitons à bien vouloir nous contacter à l’adresse plusproduit@lemonde.fr. En partenariat avec Complétez vos révisions du bac sur www.assistancescolaire.com : méthodologie, fich s, exercices, sujets d’annales corrigés... des outils gratuits et effi aces pour préparer l’examen. Edité par la Société Editrice du Monde – 80, boulevard Auguste Blanqui – 75013 Paris Tél : +(33)01 57 28 20 00 – Fax : +(33) 01 57 28 21 21 Internet : www.lemonde.fr Président du Directoire, Directeur de la Publication : Louis Dreyfus Directrice de la rédaction : Natalie Nougayrède Dépôt légal : mars 2014 Imprimé par Maury Achevé d’imprimé : mars 2014 Numéro hors-série réalisé par Le Monde - © Le Monde – rue des écoles 2014 © rue des écoles & Le Monde, 2014. Reproduction, diffusion et communication strictement interdites. L’ESSENTIEL DU COURS ANALYSE p. 5 Chapitre 01 – Suites p. 6 Chapitre 02 – Limites de fonctions, continuité et théorème des valeurs intermédiaires p. 12 Chapitre 03 – Dérivation p. 16 Chapitre 04 – Fonctions sinus et cosinus p. 20 Chapitre 05 – Fonction exponentielle p. 24 Chapitre 06 – Fonction logarithme népérien p. 28 Chapitre 07 – Intégration p. 32 GÉOMÉTRIE P. 37 Chapitre 08 – Nombres complexes p. 38 Chapitre 09 – Géométrie dans l’espace p. 42 PROBABILITÉS ET STATISTIQUES p. 49 Chapitre 10 – Probabilités conditionnelles p. 50 Chapitre 11 – Lois à densité p. 56 Chapitre 12 – Échantillonnage p. 62 ALGORITHMIQUE/LOGIQUE p. 67 Chapitre 13 – Algorithmique/Éléments du raisonnement mathématique p. 68 CORRIGÉS DES EXERCICES p. 75 GUIDE PRATIQUE p. 93 SOMMAIRE © rue des écoles & Le Monde, 2014. Reproduction, diffusion et communication strictement interdites. © rue des écoles & Le Monde, 2014. Reproduction, diffusion et communication strictement interdites. ANALYSE y x x = a Cf 0 a – π 2 π 2 – π 2 π 2 Sur l’intervalle [0 ; π] la fonction cosinus est décroissante. –π –1 1 0 0 π 0 a b x x = a x = b y Cf © rue des écoles & Le Monde, 2014. Reproduction, diffusion et communication strictement interdites. 6 L’ESSENTIEL DU COURS Suites Suites U n couple de lapins, né le 1er janvier, donne naissance à un autre couple de lapins, chaque mois, dès qu’il a atteint l’âge de deux mois. Les nouveaux couples suivent la même loi de reproduction. Combien y aura-t-il de couples de lapins le 1er janvier de l’année suivante, en supposant qu’aucun couple n’ait disparu ? Pour résoudre ce problème, le mathématicien italien Fibonacci (dit aussi Léonard de Pise) introduit dès 1202 la notion de suite. Ainsi, si on note un le nombre de couples de lapins au cours du mois (avec u1 = 1), la suite (un) vérifie la relation de récurrence un+2 = un+1 + un. On peut alors exprimer un en fonction de n et prévoir le nombre de lapins au bout de quelques mois. Quand utiliser un raisonnement par récurrence et comment le rédiger ? On peut utiliser un raisonnement par récurrence chaque fois qu’une propriété à démontrer dépend d’un entier naturel n, surtout lorsqu’il semble y avoir un lien simple entre ce qui se passe au rang n et ce qui se passe au rang n + 1. Un raisonnement par récurrence se rédige en quatre étapes : On commence par énoncer la propriété à démon- trer, en précisant pour quels entiers naturels cette propriété est définie. Initialisation : on vérifie que la propriété est vraie au rang initial (qui est souvent 0 ou 1). Hérédité : on prouve le caractère héréditaire de la propriété. On suppose que la propriété est vraie pour un entier naturel n arbitrairement fixé et on démontre que la propriété est encore vraie au rang n + 1. On conclut en invoquant le principe de récurrence. Que faut-il retenir sur les suites géométriques ? Une suite est géométrique quand on passe d’un terme au suivant en multipliant par le même facteur (la raison que l’on note q). D’où la formule de récurrence donnée pour tout entier naturel n : u q u n n + = 1 × . Le terme général d’une suite géométrique est : u u q n n = 0 × . Enfin, la somme des (n + 1) premiers termes d’une suite géométrique (u u un 0 1 + + … + ) de raison q ≠ 1 est égale à : u q q n 0 1 1 1 × – – + . Pour tout réel q différent de 1, on a : 1 2 + + + … + q q 1 1 1 = – – + q q q n n . Pour démontrer qu’une suite (un) est géométrique, il faut calculer le rapport u u n n +1 . Si on obtient un nombre réel indépendant de n alors la suite est géométrique, sinon elle n’est pas géométrique. Que faut-il retenir sur les suites arithmétiques ? Une suite est arithmétique quand on passe d’un terme au suivant en ajoutant un même nombre (la raison que l’on note r). D’où la formule de récurrence donnée pour tout entier naturel n : u u r n n + = + 1 . Le terme général d’une suite arithmétique est : u u nr n = + 0 . Cas particulier pour tout réel n, on a : 1 + 2 + … + n n n ( ) = + 1 2 . Pour démontrer qu’une suite (un) est arithmétique, il faut calculer la différence : u u n n + – 1 . Si on obtient un nombre réel indépendant de n, alors la suite est arithmétique, sinon elle n’est pas arithmétique. MOTS CLÉS SUITE • Une suite est une fonction définie sur l’ensemble ℕ ou sur une partie de ℕ. • L’image du naturel n par la suite u se note u(n) ou plus souvent un. TERME GÉNÉRAL L’image d’un entier naturel n par la suite u se note un et s’appelle le terme général de la suite ou terme de rang n. SUITE CROISSANTE Soit u une suite : • la suite u est croissante si et seule- ment si pour tout entier naturel n, un ⩽ un+1 ; • la suite u est strictement crois- sante si et seulement si, pour tout entier naturel n, un < un+1. SUITE DÉCROISSANTE Soit u une suite : • la suite u est décroissante si et uploads/Management/ reviser-son-bac-avec-le-monde-mathematiques 1 .pdf
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- Publié le Jul 08, 2022
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