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Universit´ e Laval Facult´ e des sciences et de g´ enie D´ epartement de math´

Universit´ e Laval Facult´ e des sciences et de g´ enie D´ epartement de math´ ematiques et de statistique STT-2902 Automne 2012 Emmanuelle Reny-Nolin Corrig´ e - S´ erie 2 Inf´ erence sur les param` etres Exercice 1 - Les enfants qui d´ epassent leurs parents a) Les ﬁlles sont-elles plus grandes que leurs m` eres en moyenne ? H0 : µﬁlles = µm` eres H1 : µﬁlles > µm` eres On r´ epondra par un test de Student sur des donn´ ees appari´ ees (group´ ees par paires m` ere-ﬁlle). On voudra donc faire calculer la valeur observ´ ee de la statistique du test T0 = D SD/√n Dans l’Utilitaire d’analyse, on commande un Test d’´ egalit´ e des esp´ erances : observa- tions pair´ ees et on obtient le r´ esultat ci-dessous : Puisque tobs = 2, 521, le seuil observ´ e du test unilat´ eral est P(T > 2, 521) = 0, 0109892, o` u T ∼t17. Cette valeur-P ´ etant inf´ erieure ` a 5% (le seuil du test), on rejette H0 et on conclut que les ﬁlles sont signiﬁcativement plus grandes que leurs m` eres en moyenne. On aurait pu tirer la mˆ eme conclusion en comparant tobs = 2, 521 ` a la valeur critique d’une loi de Student, soit tα;n−1 = t0,05;17 = 1, 739. Le test ´ etant unilat´ eral ` a droite, on rejette H0, car tobs > 1, 739. Le test de Student suppose que les donn´ ees sont issues d’une loi normale. Un histo- gramme des 18 diﬀ´ erences nous montre une tendance ` a la bimodalit´ e, mais le nombre de valeurs ´ etant peu ´ elev´ e, il est diﬃcile de rejeter cat´ egoriquement la normalit´ e. 1 Universit´ e Laval Facult´ e des sciences et de g´ enie D´ epartement de math´ ematiques et de statistique STT-2902 Automne 2012 Emmanuelle Reny-Nolin b) La diﬀ´ erence m` ere-ﬁlle est-elle plus petite que la diﬀ´ erence p` ere-ﬁls ? H0 : µm` ere-ﬁlle = µp` ere-ﬁls H1 : µm` ere-ﬁlle < µp` ere-ﬁls Il faut d’abord calculer les 18 diﬀ´ erences concern´ ees. On r´ epondra par un test de Student sur des ´ echantillons ind´ ependants. Pour choisir le bon test, il faut d’abord d´ eterminer si les variances peuvent ˆ etre consid´ er´ ees ´ egales (` a l’aide d’un test de Fi- sher). H0 : σ2 m` ere-ﬁlle = σ2 p` ere-ﬁls H1 : σ2 m` ere-ﬁlle ̸= σ2 p` ere-ﬁls On voudra faire calculer la valeur observ´ ee de la statistique du test F0 = S2 1 S2 2 Dans l’Utilitaire d’analyse, on commande un Test d’´ egalit´ e des variances (F-test) et on obtient le r´ esultat ci-dessous : Puisque fobs = 0, 3122, le seuil observ´ e du test bilat´ eral est 2 × P(F < 0, 3122) = 2 × 0, 016875 = 0.03375, o` u F ∼F17,10. Cette valeur-P ´ etant inf´ erieure ` a 5% (le seuil du test), on rejette H0 et on conclut que les variances diﬀ` erent signiﬁcativement. 2 Universit´ e Laval Facult´ e des sciences et de g´ enie D´ epartement de math´ ematiques et de statistique STT-2902 Automne 2012 Emmanuelle Reny-Nolin Le test de Student ` a utiliser sera donc celui avec variances in´ egales. On voudra donc faire calculer la valeur observ´ ee de la statistique du test T0 = X1 −X2 q S2 1 n1 + S2 2 n2 Dans l’Utilitaire d’analyse, on commande un Test d’´ egalit´ e des esp´ erances : deux observations de variances diﬀ´ erentes et on obtient le r´ esultat ci-dessous : Puisque tobs = −0, 03777, le seuil observ´ e du test unilat´ eral est P(T < −0, 03777) = 0, 4852, o` u T ∼t14. Cette valeur-P ´ etant sup´ erieure ` a 5% (le seuil du test), on ne rejette pas H0 et on conclut que la diﬀ´ erence m` ere-ﬁlle n’est pas signiﬁcativement inf´ erieure ` a la diﬀ´ erence p` ere-ﬁls. c) Estimer la proportion de jeunes qui d´ epassent le parent du mˆ eme sexe, avec un niveau de conﬁance de 95%. On veut construire un intervalle de conﬁance sur une proportion. Il faut donc avoir une grande taille d’´ echantillon, car l’IC est asymptotique. Ici, n = 29 est tout juste acceptable. Il faut d´ eﬁnir la variable binaire qui identiﬁe les gens plus grands que leur parent du mˆ eme sexe ` a l’aide de la fonction SI(Test logique ;Valeur si vrai ;Valeur si faux) = SI(C2>D2 ;1 ;0). On calcule ensuite la proportion ´ echantillonnale ˆ p en faisant la moyenne de cette colonne, puis on compl` ete les calculs en utilisant la formule ˆ p ± zα/2 r ˆ p(1 −ˆ p) n et on obtient l’intervalle [0, 335; 0, 699]. 3 Universit´ e Laval Facult´ e des sciences et de g´ enie D´ epartement de math´ ematiques et de statistique STT-2902 Automne 2012 Emmanuelle Reny-Nolin Exercice 2 - Les donateurs aux partis politiques a) La valeur moyenne d’un don est-elle la mˆ eme d’un parti ` a l’autre ? L’Utilitaire d’analyse permet de faire un test global de comparaison des moyennes avec la commande Analyse de variance : un facteur. Les trois s´ eries de donn´ ees doivent ˆ etre plac´ ees dans trois colonnes adjacentes. On obtient un tableau des moyennes et des variances ´ echantillonnales, ainsi que la table d’anova : On est tent´ e de rejeter d’embl´ ee H0 : µCAQ = µPLQ = µPQ en raison du seuil observ´ e inf´ erieur ` a 5% : Valeur −P = P(F > 8, 3345) = 0, 00039157 o` u F ∼F2,131 Mais attention... b) Les postulats du mod` ele d’analyse de la variance appliqu´ e en a) sont-ils respect´ es ? Pour r´ epondre ` a cette question, il faut faire une analyse de r´ esidus. On doit v´ eriﬁer que la loi normale est un mod` ele raisonnable, et que les variances sont similaires d’un ´ echantillon ` a l’autre. Pour cr´ eer la variable r´ esidus dans une nouvelle colonne, on soustrait ` a chaque obser- vation sa moyenne ´ echantillonnale locale : eij = yij −yi•. 4 Universit´ e Laval Facult´ e des sciences et de g´ enie D´ epartement de math´ ematiques et de statistique STT-2902 Automne 2012 Emmanuelle Reny-Nolin On construit ensuite l’histogramme des r´ esidus et le graphique des r´ esidus en fonction des valeurs pr´ edites : On remarque une bonne asym´ etrie vers la droite dans l’histogramme. De plus, le gra- phique de droite pr´ esente un patron en forme d’entonnoir, donc une h´ et´ erosc´ edasticit´ e assez claire. Ces deux aspects viennent mettre un gros b´ emol sur la validit´ e du test F eﬀectu´ e en a). Devant une telle situation, l’option la plus fr´ equemment envisag´ ee est la transforma- tion de la variable r´ eponse (Y ) avec une fonction monotone comme √ Y , ln(Y ), 1/Y, Y 2, etc. On refait l’anova avec plusieurs variables transform´ ees jusqu’` a ce que les postulats soient respect´ es. Apr` es quelques essais, on voit que dans notre cas, c’est la transformation logarithmique qui donne les meilleurs r´ esultats. Voici la nouvelle analyse : 5 Universit´ e Laval Facult´ e des sciences et de g´ enie D´ epartement de math´ ematiques et de statistique STT-2902 Automne 2012 Emmanuelle Reny-Nolin Puisque l’analyse des r´ esidus est plus satisfaisante (malgr´ e une l´ eg` ere asym´ etrie ` a gauche), on peut interpr´ eter les r´ esultats du test global de comparaison des moyennes. Le seuil observ´ e ´ etant inf´ erieur ` a 5% : Valeur −P = P(F > 5, 82855) = 0, 00375882 o` u F ∼F2,131, on rejette H0, et on conclut que la valeur du don moyen ` a un des trois principaux partis politiques est diﬀ´ erente selon le parti. c) Peut-on voir o` u se situent les diﬀ´ erences signiﬁcatives ? Le test global est signiﬁcatif, on peut donc comparer les moyennes deux ` a deux. Puisque les tailles d’´ echantillon sont diﬀ´ erentes, on ne peut pas calculer une seule ”PPDS”. Il faut calculer une diﬀ´ erence signiﬁcative (une marge d’erreur) pour chaque paire de moyennes. Ici, on conclut que seuls le PQ et le PLQ re¸ coivent des dons dont la valeur moyenne diﬀ` ere signiﬁcativement. On pourrait repr´ esenter sch´ ematiquement ces comparaisons deux ` a deux comme suit : PQ CAQ PLQ 141, 79 $ 199, 68 $ 293, 74 $ 4, 32 4, 71 5, 17 6 Universit´ e Laval Facult´ e des sciences et de g´ enie D´ epartement de math´ ematiques et de statistique STT-2902 Automne 2012 Emmanuelle Reny-Nolin Exercice 3 - Distribution des naissances a) b) Il y a moins de naissances en f´ evrier... donc le mois de mai n’est pas propice ` a la f´ econdation ? En fait, cela est peut-ˆ etre dˆ u au uploads/Management/ serie2-corrige.pdf