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Conformément à la loi du 30 juin 1994, modifiée par la loi du 22 mai 2005, sur

Conformément à la loi du 30 juin 1994, modifiée par la loi du 22 mai 2005, sur le droit d'auteur, toute reproduction partielle ou totale du contenu de cet ouvrage –par quelque moyen que ce soit– est formellement interdite. Toute citation ne peut être autorisée que par l'auteur et l’éditeur. La demande doit être adressée exclusivement aux Presses Universitaires de Bruxelles a.s.b.l., avenue Paul Héger 42, 1000 Bruxelles, Tél. : 02-649 97 80 – Fax : 02-647 79 62 – Http//:www.ulb.ac.be/pub – E-mail : sdeconni@ulb.ac.be P R E S S E S U N I V E R S I T A I R E S D E B R U X E L L E S U N I V E R S I T É L I B R E D E B R U X E L L E S Algèbre linéaire et géométrie Mathématique linéaire : espaces vectoriels et espaces affins Michele D'ADDERIO Titulaire du cours Auteurs : Francis BUEKENHOUT et Jean DOYEN D/2014/0098/356 1e édition – Tirage 2015-16/2 MATH-F-102_C En application de l’article 23 du Décret du 31 mars 2004, l’auteur consent à mettre son support de cours obligatoire à la disposition des étudiants régulièrement inscrits. Toute reproduction, communication au public, commercialisation ou autre forme d’exploitation de ce fascicule est interdite et pourra faire l’objet de poursuites disciplinaires, civiles et/ou pénales, conformément à la loi du 30 juin 1994 relative au droit d’auteur et aux droits voisins, à moins qu’il s’agisse d’une reproduction effectuée par un étudiant régulièrement inscrit, dans le cadre de son usage strictement privé d’étudiant, qui ne porte pas préjudice à l’exploitation normale de l’oeuvre. Toute citation doit mentionner le nom de l’auteur et la source. Tél. : 02-649 97 80 – Fax : 02-647 79 62 – Http://www.ulb.ac.be/pub – E-mail : sdeconni@ulb.ac.be « A l’obéissance à des règles imposées par autrui, nous opposons l’adhésion à une conviction que l’on s’est formée soi-même. » Chaïm Perelman (1912-1984) Professeur de philosophie à l’ULB, résistant, a remis à l’honneur l’étude de l’argumentation. Le label FSC : la garantie d’une gestion responsable des forêts Les Presses Universitaires de Bruxelles s’engagent ! Les P.U.B. impriment depuis de nombreuses années les syllabus sur du papier recyclé. Les différences de qualité constatées au niveau des papiers recyclés ont cependant poussé les P.U.B. à se tourner vers un papier de meilleure qualité et surtout porteur du label FSC. Sensibles aux objectifs du FSC et soucieuses d’adopter une démarche responsable, les P.U.B. se sont conformé aux exigences du FSC et ont obtenu en avril 2010 la certification FSC (n° de certificat COC spécifique aux P.U.B. : CU-COC- 809718-HA). Seule l’obtention de ce certificat autorise les P.U.B. à utiliser le label FSC selon des règles strictes. Fortes de leur engagement en faveur de la gestion durable des forêts, les P.U.B. souhaitent dorénavant imprimer tous les syllabus sur du papier certifié FSC. Le label FSC repris sur les syllabus vous en donnera la garantie. Qu’est-ce que le FSC ? FSC signifie “Forest Stewardship Council” ou “Conseil de bonne gestion forestière” . Il s’agit d’une organisation internationale, non gouvernementale, à but non lucratif qui a pour mission de promouvoir dans le monde une gestion responsable et durable des forêts. Se basant sur dix principes et critères généraux, le FSC veille à travers la certification des forêts au respect des exigences sociales, écologiques et économiques très poussées sur le plan de la gestion forestière. Quelles garanties ? Le système FSC repose également sur la traçabilité du produit depuis la forêt certifiée dont il est issu jusqu’au consommateur final. Cette traçabilité est assurée par le contrôle de chaque maillon de la chaîne de commercialisation/transformation du produit (Chaîne de Contrôle : Chain of Custody – COC). Dans le cas du papier et afin de garantir cette traçabilité, aussi bien le producteur de pâte à papier que le fabricant de papier, le grossiste et l’imprimeur doivent être contrôlés. Ces contrôles sont effectués par des organismes de certification indépendants. Le label FSC apposé sur des produits en papier ou en bois apporte la garan- tie que ceux-ci proviennent de forêts gérées selon les principes et critères FSC. ® FSC A.C. FSC-SECR-0045 FSC, le label du bois et du papier responsable Plus d’informations ? www.fsc.be A la recherche de produits FSC ? www.jecherchedufsc.be Cette page d’information n’est pas comptée dans le prix du syllabus. Les 10 principes et critères du FSC 1. L’aménagement forestier doit respecter les lois nationales, les traités internationaux et les principes et critères du FSC. 2. La sécurité foncière et les droits d’usage à long terme sur les terres et les ressources forestières doivent être claire- ment définis, documentés et légalement établis. 3. Les droits légaux et coutumiers des peuples indigènes à la propriété, à l’usage et à la gestion de leurs territoires et de leurs ressources doivent être reconnus et respectés. 4. La gestion forestière doit maintenir ou améliorer le bien- être social et économique à long terme des travailleurs fo- restiers et des communautés locales. 5. La gestion forestière doit encourager l’utilisation efficace des multiples produits et services de la forêt pour en ga- rantir la viabilité économique ainsi qu’une large variété de prestations environnementales et sociales. 6. Les fonctions écologiques et la diversité biologique de la forêt doivent être protégées. 7. Un plan d’aménagement doit être écrit et mis en œuvre. Il doit clairement indiquer les objectifs poursuivis et les moyens d’y parvenir. 8. Un suivi doit être effectué afin d’évaluer les impacts de la gestion forestière. 9. Les forêts à haute valeur pour la conservation doivent être maintenues (par ex : les forêts dont la richesse biologique est exceptionnelle ou qui présentent un intérêt culturel ou religieux important). La gestion de ces forêts doit toujours être fondée sur un principe de précaution. 10. Les plantations doivent compléter les forêts naturelles, mais ne peuvent pas les remplacer. Elles doivent réduire la pression exercée sur les forêts naturelles et promouvoir leur restauration et leur conservation. Les principes de 1 à 9 s’appliquent également aux plantations. Votre avis compte ! u n i v e r s i t é l i b r e d e b r u x e l l e s Évaluation des enseignements Dès le quadrimestre terminé, évaluez vos enseignements Pour : ⇢ Donner une rétroaction à vos enseignants ⇢ Proposer des améliorations ⇢ Participer à l’évolution des enseignements ⇢ Valoriser les activités d’enseignement 4 www.ulb.be/enseignements/evaluation Une évaluation à plusieurs dimensions Portant sur : ⇢ La prestation des enseignants ⇢ L’organisation de l’enseignement ⇢ Le déroulement des séances ⇢ L’évaluation des apprentissages (examens) L’évaluation institutionnelle des enseignements est organisée par l’ULB. Elle a lieu dès que les enseignements sont terminés. Elle se déroule en deux campagnes d’enquête en ligne après les sessions de janvier et de juin. L’étudiant répond anonymement à un questionnaire pour chaque enseignement auquel il a participé. Chaque questionnaire est analysé et les résultats sont envoyés aux enseignants et à la commission pédagogique facultaire. Les étudiants et les enseignants ont l’obligation de participer aux évaluations. MATHEMATIQUE LINEAIRE Espaces vectoriels et Espaces affins Francis BUEI\:ENHOUT et Jean DOYEN Professeurs à l'Université Libre de Bruxelles. TR.OISIEl\1E EDITION 1994 Table des matières 1 Introduction 2 Corps 2.1 Le rôle des corps dans la théorie . . 2.2 Définition 2.3 Exemples 2.4 Anneaux . 2.5 Corps ordonné . 2.6 Exercices . . . . 3 Espaces vectoriels sur un corps 3.1 Définition ... 3.2 Commentaires . :3.3 Exemples d'espaces vectoriels :3.:3.1 La. structure vectorjelle de E 3 :3.3.2 Les espaces J{n . . . . . :3.:3.:3 Les espaces de fonctions 3.:3.4 Les espaces de fonctions de l'Analyse élémentaire :3.3.5 Les espaces de suites . . . . . . . . . . :3.3.6 Les espaces de fonctions presque nulles :3.3. 7 Les espaces de polynômes :3.3.8 Corps et sous-corps . . . . . :3.:3.9 L:espa.ce des grandeurs physiques 3.3.10 L'espace des carrés n1agiques n x n 3. 3 .11 Les cod es correcteurs d'erreurs . 3.4 Propriétés élémentaires . 3.5 Sous-espaces . . . . . . 1 5 10 10 10 11 14 14 1.5 18 18 19 20 20 22 2:3 27 27 28 28 28 29 30 30 :32 :3:3 BUEKENHOUT F. - DOYEN J. Mathématique linéaire Espaces vectoriels et espaces affins PUB Cours-Librairie, av. P. Héger 42, B-1000 Bruxelles / MATH-F-102_C Table des ma.tières 2 4 3.6 3.7 Exemples de sous-espaces 3.6.1 Sous-espaces de 1 'espace vectoriel réel E~ :3.6.2 Equations linéaires . . . . . . . . . 3.6.3 Sous-espaces d'espaces de fonctions Exercices ..... . Applications linéaires 4.1 Définition 4.2 Exe1nples 4.2.1 Ison1orphismes et automorphismes . 4.2.2 Projections 4.2.3 Fonnes linéaires . 4.2.4 Ho1nothéties . 4.2.5 Equations linéaires 4.2~6 Intégration 4.2.7 Déri va.tion 4.2.8 Différentielle d'une fonction en un point 4.3 Exercices. 34 34 :34 35 36 43 43 44 44 44 45 45 4.5 46 46 47 49 5 Sous-espaces et transfor1nations 51 51 .51 54 -54 5.1 Image d'un sous-espace . . . . . 5.2 uploads/Management/ syllabus-1.pdf