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Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL D. Mouchiroud (10/10/

Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL D. Mouchiroud (10/10/2002) ...................................................................................................................................................................................................... 1 Chapitre 3 Variables aléatoires Sommaire 1. Introduction…………………………………………………………………………………3 2. Variables aléatoires discrètes…………………………………………………4 2.1. Définition………………………………………………………………………………………………..4 2.2. Loi de probabilité………………………………………………………………………………….4 2.3. Fonction de répartition……………………………………………………………………….5 3. Variables aléatoires continues…………………………………………………7 3.1. Définition………………………………………………………………………………………………..7 3.2. Fonction densité de probabilité………………………………………………………..7 3.3. Fonction de répartition……………………………………………………………………….8 4. Espérance et variance………………………………………………………………11 4.1. Espérance mathématique……………………………………………………………………11 4.1.1. Variables aléatoires discrètes………………………………………….12 4.1.2. Variables aléatoires continues………………………………………….12 4.1.3. Propriétés de l’espérance…………………………………………………..13 4.2. Variance…………………………………………………………………………………………………14 4.2.1. Variables aléatoires discrètes………………………………………….14 4.2.2. Variables aléatoires continues………………………………………….15 4.2.3. Propriétés de la variance……………………………………………………15 5. Couples de variables aléatoires………………………………………………15 Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL D. Mouchiroud (10/10/2002) ...................................................................................................................................................................................................... 2 5.1. Loi jointe…………………………………………………………………………………………………15 5.2. Indépendance entre variables aléatoires……………………………………….17 5.3. Covariance et corrélation……………………………………………………………..……18 5.4. Opérations sur les variables aléatoires……………………………………….…19 5.5. Généralisation à n variables aléatoires…………………………………….…….20 Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL D. Mouchiroud (10/10/2002) ...................................................................................................................................................................................................... 3 1. Introduction Dans la plupart des phénomènes aléatoires, le résultat d’une épreuve peut se traduire par une « grandeur » mathématique, très souvent représentée par un nombre entier ou un nombre réel. La notion mathématique qui représente efficacement ce genre de situation concrète est celle de variable aléatoire (notée également v.a.). Ainsi le temps de désintégration d’un atome radioactif, le pourcentage de réponses « oui » à une question posée dans un sondage ou le nombre d’enfants d’un couple sont des exemples de variables aléatoires. Remarque : On se limitera ici au cas des variables aléatoires réelles (les entiers faisant bien sûr partie des réels). Etant donné un espace probabilisé d’espace fondamental Ω et de mesure de probabilité P, on appelle variable aléatoire sur cet espace, toute application X de Ω dans R telle que : X: ε (Ω) → R ω → X (ω) A chaque évènement élémentaire ω de Ω correspond un nombre réel x associé à la variable aléatoire X. Comme l’indique le graphe, il n’y a pas obligatoirement autant de valeurs possibles prises par la variable aléatoire X que d’évènements élémentaires. La valeur x correspond à la réalisation de la variable X pour l’évènement élémentaire ω. Exemple : Si l’on considère la constitution d’une fratrie de deux enfants, l’espace fondamental est constitué des évènements élémentaires suivant : Ω = {GG, GF, FG, FF} Les valeurs possibles prises par la variable aléatoire X, « nombres de fille dans la famille » sont : X (Ω) = {0, 1, 2} Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL D. Mouchiroud (10/10/2002) ...................................................................................................................................................................................................... 4 2 Variables aléatoires discrètes 2.1 Définition Une variable aléatoire est dite discrète si elle ne prend que des valeurs discontinues dans un intervalle donné (borné ou non borné). L’ensemble des nombres entiers est discret. En règle générale, toutes les variables qui résultent d’un dénombrement ou d’une numération sont de type discrètes. Exemples : Les variables aléatoires, - le nombre de petits par porté pour une espèce animale donnée (chat, marmotte, etc), - le nombre de bactéries dans 100 ml de préparation, - le nombre de mutations dans une séquence d’ADN de 10 kb, etc… sont des variables aléatoires discrètes. 2.2 Loi de probabilité Une variable aléatoire est caractérisée par l’ensemble des valeurs qu’elle peut prendre et par l’expression mathématique de la probabilité de ces valeurs. Cette expression s’appelle la loi de probabilité (ou distribution de probabilité) de la variable aléatoire. Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL D. Mouchiroud (10/10/2002) ...................................................................................................................................................................................................... 5 La loi de probabilité d’une variable aléatoire discrète est entièrement déterminée par les probabilités pi des évènements {X = xi}, xi parcourant l’univers image X(Ω). La loi de probabilité est donnée par les (xi, pi)i. Remarque : Afin de simplifier l’écriture, nous noterons pour la suite du cours : P({X = xi}) équivalent à P(X=xi) ou pi Exemple : Dans le cas de la constitution d’une fratrie de deux enfants, si l’on fait l’hypothèse que la probabilité d’avoir un garçon est égale à celle d’avoir une fille (1/2), alors la distribution de probabilité ou loi de probabilité du nombre de filles dans une fratrie de deux enfants est : Ensemble des évènements possibles Ω Valeurs de la variable aléatoire X Probabilités associées à la variable X P(X=xi) ou pi G et G F et G ou G et F F et F 0 1 2 1/4 1/2 1/4 Si P(F)= P(G)=1/2, alors (1) P[(F∩ G)∪ (G∩ F)] = P(F∩ G) + P(G∩ F) Propriétés d’additivité avec (F∩ G) ∩ (G∩ F)=∅ évènements incompatibles (2) P(F∩ G)= P(F)P(G) Propriété d’indépendance d’où P[(F∩ G)∪ (G∩ F)]= P(X =1)= (1/2x1/2)+(1/2x1/2)=1/2 Remarque : Une loi de probabilité n’est établie que si pi i ∑ = 1, la somme étant étendue à tous les indices i. 2.3 Fonction de répartition On appelle fonction de répartition d’une variable aléatoire X, la fonction FX telle que : FX : R → R t → FX (t) = P(X < t) Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL D. Mouchiroud (10/10/2002) ...................................................................................................................................................................................................... 6 Concrètement la fonction de répartition correspond à la distribution des probabilités cumulées. Le plateau atteint par la fonction de répartition correspond à la valeur de probabilité 1 car pi i ∑ = 1. L’importance pratique de la fonction de répartition est qu’elle permet de calculer la probabilité de tout intervalle dans R. Les propriétés associées à la fonction de répartition sont les suivantes : Soit FX la fonction de répartition d’une variable aléatoire discrète X alors : (P1) ∀t ∈ R 0 ≤ FX (t) ≤ 1 (P2) FX est croissante sur R (P3) lim t→−∞ FX (t) = 0 et lim t→+∞ FX (t) = 1 (P4) si a ≤ b P (a ≤ X ≤ b) = FX (b) - FX (a) Voici pourquoi : (P1) résulte de la définition d’une probabilité (P2) si a ≤ b, alors {X < a } ⊂ {X < b } donc P(X < a ) ≤ P(X < b ) voir inclusion (P3) même raison que pour P1 (P4) {X < b }= { a ≤ X ≤ b }∪ {X < a } ainsi FX (b) = P(a ≤ X ≤ b) + FX (a) Exemple : On considère l’évènement ω « lancer de 3 pièces ». On introduit une variable aléatoire X définie par X(ω) « nombre de piles de l’évènement ω». La loi de probabilité de X est : Nombre de piles P(X = xi ) FX 0 1 2 3 1/8 3/8 3/8 1/8 1/8 4/8 7/8 1 Dans le cas d’une variable aléatoire discrète, on utilise un diagramme en bâtons pour visualiser la distribution de probabilités et une fonction en escalier pour la fonction de répartition. Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL D. Mouchiroud (10/10/2002) ...................................................................................................................................................................................................... 7 3\8 1 2 3 0 x P 1\8 Diagramme en bâtons 1 1 0 3 2 x F Fonction de répartition C C C C 3 Variables aléatoires continues 3.1. Définition Une variable aléatoire est dite continue si elle peut prendre toutes les valeurs dans un intervalle donné (borné ou non borné). En règle générale, toutes les variables qui résultent d’une mesure sont de type continu. Exemples : Les variables aléatoires, - le masse corporelle des individus pour une espèce animale donnée, - taux de glucose dans le sang, - etc. sont des variables aléatoires continues. 3.2. Fonction densité de probabilité Dans le cas d’une variable aléatoire continue, la loi de probabilité associe une probabilité à chaque ensemble de valeurs définies dans un intervalle donné. En effet, pour une variable aléatoire continue, la probabilité associée à l’évènement {X = a} est nulle, car il est impossible d’observer exactement cette valeur. On considère alors la probabilité que la variable aléatoire X prenne des valeurs comprises dans un intervalle [a,b] tel que P(a ≤ X ≤ b). Lorsque cet intervalle tend vers 0, la valeur prise par X tend alors vers une fonction que l’on appelle fonction densité de probabilité ou densité de probabilité. Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL D. Mouchiroud (10/10/2002) ...................................................................................................................................................................................................... 8 On appelle densité de probabilité toute application continue par morceaux : ƒ: R → R x → f (x) telle que : (P1) ∀x ∈ R f (x) ≥ 0 (P2) −∞ +∞ ∫ f (x) dx = 1 (en supposant que −∞ +∞ ∫ f (x) dx existe) x f(x) Soit une fonction densité de probabilité f(x) : (1) l’aire hachurée en vert correspond à la probabilité P(X < -10) (2) l’aire hachurée en bleu correspond à la probabilité P(+10 <X < +15) Remarque : Cette fonction densité de probabilité est une loi de probabilité car l’aire sous la courbe est égale à 1 pour toutes les valeurs de x définies. Réciproquement : Une variable aléatoire X définie sur un univers Ω est dite absolument continue, s’il existe une fonction densité de probabilité ƒ telle que : ∀ t ∈ R P(X < t) = −∞ t ∫ f (x) dx (voir graphe ci-dessus). 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