CHAPITRE 4 Fonctions logarithme Sommaire Partie A (s5) 2 1 La fonction logarith
CHAPITRE 4 Fonctions logarithme Sommaire Partie A (s5) 2 1 La fonction logarithme népérien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1 Définition 2 1.2 Propriétés algébriques 2 2 Étude de la fonction logarithme népérien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.1 Variations de la fonction x 7→ln x 4 2.2 Nombre e 4 2.3 Croissance comparée avec les fonctions puissance 5 Ch.04 Fonctions logarithme Tale STI2D Partie A (s5) Au début du xviie siècle, navigateurs, financiers et surtout astronomes sont confrontés à des calculs astrono- miques. Pour faciliter ces calculs, le théologien, physicien, astronome et mathématicien écossais John Napier (1550-1617, en français Neper) recherche une fonction qui puisse transformer des produits très compliqués à calculer en sommes plus abordables. Il est amené à rechercher des fonctions f vérifiant f(a × b) = f(a) + f(b). . . le logarithme népérien est né ! 1 La fonction logarithme népérien 1.1 Définition On appelle fonction logarithme népérien, notée ln, l’unique fonction f définie et dérivable sur ] 0 ; +∞[ ayant pour dérivée la fonction x 7→1 x et vérifiant, pour tous réels a et b strictement positifs, f(a × b) = f(a) + f(b). Définition 1. 1.2 Propriétés algébriques Soient a et b deux réels strictement positifs et n est un entier relatif, alors : • produit : ln(ab) = ln(a) + ln(b) ; • inverse : ln 1 a = −ln(a) ; • quotient : ln a b = ln(a) −ln(b) ; • puissance : ln(an) = n ln(a) ; • racine carrée : ln (√a) = 1 2 ln(a). Propriété 2. propriété fondamentale http://mathematiques.daval.free.fr 2/5 Lycée Georges Brassens Ch.04 Fonctions logarithme Tale STI2D En résumé, le logarithme népérien a la particularité de transformer les produits en sommes, les quotients en différences et les puissances en multiplications. Démonstrations : • inverse : on a a × 1 a = 1. Donc, ln a × 1 a = ln(1) = 0 ⇐ ⇒ ln(a) + ln 1 a = 0 ⇐ ⇒ ln 1 a = −ln(a). • quotient : on peut écrire ln a b = ln a × 1 b = ln(a) + ln 1 b = ln(a) −ln(b). • puissance : ln(an) = ln(a × a × · · · × a | {z } n fois ) = ln(a) + ln(a) + · · · + ln(a) | {z } n fois = n ln(a). • racine carrée : on a √a × √a = a. Donc, ln(√a × √a) = ln(a) ⇐ ⇒ ln(√a) + ln(√a) = ln(a) ⇐ ⇒ ln(√a) = 1 2 ln(a). Remarque 3 La propiété fondamentale se généralise au cas d’un produit de n facteurs : ln(a1 × a2 × · · · × an) = ln(a1) + ln(a2) + · · · + ln(an). Exemple 4 Transformations d’expressions numériques : • ln(24) = ln(23 × 3) = ln(23) + ln(3) = 3 ln(2) + ln(3). • ln 16 9 = ln(16) −ln(9) = ln(24) −ln(32) = 4 ln(2) −2 ln(3). • ln √ 96 = 1 2 ln(96) = 1 2 ln(25 × 3) = 1 2 [5 ln(2) + ln(3)]. http://mathematiques.daval.free.fr 3/5 Lycée Georges Brassens Ch.04 Fonctions logarithme Tale STI2D 2 Étude de la fonction logarithme népérien 2.1 Variations de la fonction x 7→ln x D’après la définition, la fonction x 7→ln x est définie sur ] 0 ; +∞[, de dérivée la fonction x 7→1 x. La dérivée étant positive, la fonction logarithme népérien est donc croissante sur ] 0 ; +∞[. On admet la propriété suivante : • lim x→0+ ln(x) = −∞ et • lim x→+∞ln(x) = +∞. Propriété 5. Conséquence : la droite x = 0 est une asymptote verticale à la courbe représenta- tive de la fonction ln. x 0 1 +∞ f ′(x) + +∞ f 0 −∞ D’après le tableau de variation de la fonction ln, on en déduit que l’équation ln(x) = 1 admet une unique solution no- tée e dans ] 0 ; +∞[. 1 2 −1 −2 −3 −4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 y = ln(x) b b e 0 2.2 Nombre e On a deux valeurs importants à connaitre concernant le logarithme népérien : ln(1) = 0 et ln(e) = 1 http://mathematiques.daval.free.fr 4/5 Lycée Georges Brassens Ch.04 Fonctions logarithme Tale STI2D Exemple 6 Simplification d’expressions contenant e : • ln(e2) = 2 ln(e) = 2 ; • ln(e−1) = −ln(e) = −1. Pour tout réel a, ln (ea) = a. Propriété 7. Démonstration : pour tout réel a, ln (ea) = a ln e = a × 1 = a. 2.3 Croissance comparée avec les fonctions puissance On a les limites suivantes, pour tout entier naturel n non nul : • lim x→+∞ ln(x) xn = 0 ; • lim x→0+ xn ln(x) = 0. Propriété 8. on dit que « la puissance l’emporte sur le logarithme » En particulier, avec n = 1, on obtient : lim x→+∞ ln(x) x = 0 et lim x→0+ x ln(x) = 0 http://mathematiques.daval.free.fr 5/5 Lycée Georges Brassens uploads/Marketing/ coursa-logaithme-neperien-tsti2d 1 .pdf
Documents similaires
-
29
-
0
-
0
Licence et utilisation
Gratuit pour un usage personnel Attribution requise- Détails
- Publié le Jan 04, 2021
- Catégorie Marketing
- Langue French
- Taille du fichier 0.0932MB