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Chapitre 7 : FONCTIONS VECTORIELLES 7.1. Rappels 7.1.1. Produit mixte, produit

Chapitre 7 : FONCTIONS VECTORIELLES 7.1. Rappels 7.1.1. Produit mixte, produit vectoriel On suppose que ?.3 est muni d'un produit scalaire et d'une orienta- tion. On peut alors trouver des bases orthonormés directes de 313 (voir Cours d'Algèbre). DÉFINITION 1) Soit \ i. V 2 et \ 3 trois vecteurs de y.3. On appelle produit mixte de ces trois vecteurs et on note (\ i, \ 2, \ 3) le déterminant dans une même base orthonormée de ces trois vecteurs : (F. f. k) base orthonormée directe 2) Si \ a = xaî+ yaf+ :ak. pour a = 1. 2, 3. alors T 1 , V 2 . V 3 ) = x\ x2 x3 yi î/2 î/3 *1 ~2 ~3 d'où 3) = y-i i/3 •yi - 3 2-2 Ï 3 ï/2 î/3 = \' 1 • \\ (produit scalaire) ou i/2 î/3 ~2 23 J + i/2 î/3 182 Fonctions vectorielles On établit facilement que II est indépendant du choix de la base orthonormée directe (ï.f.k). \\ ne dépend donc que de \ i. V 2. \ 3. du produit scalaire, et de l'orientation. DÉFINITION Étant donnés deux vecteurs \ 2 et \ 3. on appelle produit vectoriel de V 2 et V 3. et on note \ 3A I 3. le vecteur tel que : vT^e-3. TV(T* 2AT* 3WÏVT* 2.Ï*3 7.1.2. Remarques i) D a n s toute base o r t h o n o r m é e directe, les c o m p o s a n t e s de \ 2 A V 3 sont données en fonction de celles de \ 2(^*2-3/2--2) e t de \ 3(1*3.3/3. C3) par : Ì 2 A \ 3 = (î/2~3 - -2Í/3. -2^3 - X2Z3.X2y3 ii) V 2 A \ 3 est orthogonal à \ 2 et Y 3. iii) U 2. t 3- t 2 A \ 3I est une base directe si \ 2 et l 3 ne sont pas colinéaires. iv) Le produit vectoriel définit une application de ?.3 x S 3 dans A 3. bilinéaire et antisymétrique. Dans la suite (ê*i, êo en) désigne la base canonique de 2.". Si un n V é l é m e n t \ d e ~?> n s ' é c r i t 1 — Y J l \ £ i ^ o n I e n o t e r a v = (t'i r n ) . 1 = 1 / " \ * Dans ce chapitre le symbole 1 1 1 1 désigne la norme | |.r 1 1 = I YJ x2, \ . 7.2. Définition - Exemples 7.2.1. Définition On appelle fonciion vecionelle toute application /:SC34?." t*f<iï = (fl(i) fn(t)) où ¿" est un sous-ensemble de ?.. Limite, continuité et dérivabilité d'une fonction vectorielle 183 Remarque : Si est une fonction vectorielle, elle définit n fonctions numériques /i /„ : de S dans ?.. Ces fonctions, appelées fonctions composantes, déterminent complètement / . 7.2.2. Exemples / : [0.1] -+Z-2. t >-> ( a c o s f . & s i n f ) . g :Z-. ->7?.t ^ ( e ' . e - f ) . /) : ^ - > 7 , 3 . f >->• ( c o s i . s i n * . ?)• 7.3. Limite, continuité et dérivabilité d'une fonction vectorielle 7.3.1. Limite 7.3.1.1. Définition Soit / : S C r . - 4 r . " , Í £ Ir." et t0 ~ 5. On dira que / admet comme limite / quand t tend vers ÍQ en restant dans S1, et on note lim f(i) = /. f-+fo si et seulement si : lim \f,(t) - / , | = 0. Vi = 1 n f-t-to f e s 7.3.1.2. Remarques 1) La définition 7.3.1.1 ramène la définition de la limite d'une fonction vectorielle à celle de fonctions numériques. 2) Si on note || || l'une des normes A"i.A~2.-Ve définies sur Ir." au 5.1.3.2. on a : lim J[t] = f«. lim / ( t - /11 = 0 f->fo II On rappelle que deux normes A " et X' sur Ir." sont équivalentes s'il existe deux nombres a. b (a > 0 et b > 0) tels que aX'(x) < X(x) < bX'(x). Vr G I?-" (1) La relation (1) entraîne alors: 184 Fonctions vectorielles lim X (j(t] - t) = 0 «• lim .V f7(í) - f) = 0 4) Soit (e[. e'2 e'n ) une base canonique de 31". L'application y / . — n K ~ . \ 2 • - . —^ ^*»+ X = (Xi Xn) -> -Vói'?) où les x\ sont les composantes de x dans la base (ê*). définit une norme n de !?.". équivalentes à .Vo (AT2(Í) = Y j |J?7 |) d'après les relations (.4j,) étant la matrice inversible, de changement de base. Donc, d'après 3) : lim X2 (~f(t) - i 1 = 0 ö lim .V^ (~f (i) - f] = 0 ou encore : lim ~f(t) - f o lim /, {t)=ì, V? = 1 n t-*to f-+to les f,(t) et /, étant les composantes de f¡(t) et / dans la base ( e[ e'n). D'où 7.3.1.3. Proposition •—>-f o t-*to les f,(t) et /, sont les composantes de f(t) et / dans une base t-yt O Ù 7.3.1.4. Propriétés Soient : / : / — > Ir.". / > - > • f(t) et ^ : / H-y J.". t >-^- g(t) deux applica- tions définies sur un intervalle / de 31. Soit to ~ /• Si lim /(/) = / et lim g(t) = m. alors : f —í-f o f->fo i) VA. p G ?.. lim \J(t) + pg{t] = \f+ pm : n) lim||7(ït||=||/||: r—i-fo iii) Si I?." est muni d'un produit scalaire, on a lim f(t) • g(t] = l • m : Limite, continuité et dérivabilité d'une fonction vectorielle 185 iv) Si ?.3 est orienté et muni d'un produit scalaire, on a lim f(t) A t —ït o g(t\ = ÍA m. Demonstration — On démontre aisément i) en utilisant les propriétés des limites des fonctions numériques et la proposition 7.3.1.3. n) Si lim /(it = f. alors lim \\J(t]\\ = \\f\\ f —^f a t-*t0 carO< iii) Soit \V = (]\\ \Vn) une base orthonormée de Ir." par rap- port au produit sacalaire et soient (/, (f))i<,<n. {g,(t))i<,<n- (/¡)i<¡<n. (1Tìì)i<i<n- les composantes respectives de / . g. I et m dans cette base. D'après 7.3.1.3. lim/(it = To lim/,(f) =/, t-¥t0 f-ffu l i m g(t) = m •&• l i m g¡{t) = m¡ í-í-fo t-tto Donc lim ~f{t\ g~(i] = lim V /, (t)g, (t) t-t-to f-*to z—' 1 = i • in Pour démontrer iv. il suffit d'expliciter f(t) A g(t) et /A m dans base orthonormée directe. 7.3.2. Continuité 7.3.2.1. Définition Soit : / : S C ?. — > • I?."' et ¿p 6 5. On dira que / est continue en to. si et seulement si : lim fit) = f{to) t-*t0 7.3.2.2. Proposition Soit : / : S c ? . - > ?-n. í H^ (f^t) /„(/)). Soit to E S. f est continue en to si et seulement si chacune des fonctions /,. ; = 1 n, est continue en to. Démonstration — Elle découle immédiatement de la proposition 7.3.1.3. De 7.3.2.4 on déduit : 186 Fonctions vectorielles 7.3.2.3. Proposition Soient : / : S C ?. -> ?-". } : S C ?. 4 ?." deux applications et io G S. Si f et g sont continues en #o alors A/ - f - /^(A. \i e 7.). ||/J|. / • g sont continues en to- Si ? ) = 3. / A g est aussi continue en to- 7.3.3. Dérivabilité 7.3.3.1. Définition _ 0 / : / — > • Ir.", soit / un intervalle de Ir., une application 1. et t§ £ I. Soit la fonction : i-to Si ç(t) admet une limite -4 . quand t tend vers to- on dira que / est derivable en to. de dérivée .4 . notée 7.3.3.2. Remarques 1) Comme pour les fonctions numériques on déduit aisément de la définition que / est derivable en to. si et seulement si : 3~Â e ~'. n. tel que J{t] = J{t^ + (t - to)~î + (t - to)^(t.to) a v e c l i m ~ì*{t.to) = 0 . - 4 e s t a l o r s l a d é r i v é e d e / e n to- t—tto 2) Soit / : / — > ! ? . " une fonction définie sur un intervalle / de H et soit to 6 /• / e s t derivable en fn si et seulement si ses composantes fk dans une base quelconque (e[. ei> e'n ) sont dérivables en to- et on a alors Puure — II suffit de le vérifier uploads/Marketing/ fonctions-vectorielles.pdf