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UNIVERSITÉ ZIANE ACHOUR – DJELFA RAPPELS MATHÉMATIQUES jileking@live.com 1 RAPP

UNIVERSITÉ ZIANE ACHOUR – DJELFA RAPPELS MATHÉMATIQUES jileking@live.com 1 RAPPELS MATHÉMATIQUES I. VECTEURS ET ALGÈBRE VECTORIEL Certaines grandeurs physiques ne nécessitent qu’un nombre réel pour leur caractérisation, comme la longueur, la masse ou les intervalles de temps. Ces quantités sont appelées scalaires. Pour d’autres grandeurs physiques il nous faut à la fois, un nombre réel dit module, une direction dans l’espace et un sens suivant cette direction. De telles grandeurs sont appelées grandeurs vectorielles ou vecteurs et sont représentées géométriquement dans l’espace euclidien à trois dimensions par un segment de droite orientée. Un vecteur est symbolisé mathématiquement par une lettre surmontée d’une flèche ( A  par exemple). La longueur du segment exprime la valeur de la grandeur A  ou son module noté A A   . I.1. DÉFINITIONS 1. Deux vecteurs sont égaux s’ils ont le même module, la même direction et le même sens, quelles que soit leurs origines.  B A    2. Un vecteur ayant le même module, la même direction que A  mais le sens opposé est noté A   3. La somme (ou la résultante) de deux vecteurs A   et B   est un autre vecteur C  défini comme suit :  B A C        cos . . . 2 2 2 B A B A C       0  le vecteur C  part de l’origine du vecteur A  et rejoint l’extrémité du vecteur B  tout en plaçant l’origine de B  sur l’extrémité de A  . 4. La différence de deux vecteurs A  et B  est notée B A    , et elle est équivalente à la somme du vecteur A  et du vecteur ( B   ). 5. Le produit du vecteur A  par un scalaire p est le vecteur p A A p A . .       tel que :  A p A   .     A   à la même direction que A  .  Il a le même sens que A  si p est positif ; le sens opposé à A  si p est négatif. 6. Le vecteur nul 0  est un vecteur de module égal à zéro et de direction non définie. A  A  B  A    A  B  C  UNIVERSITÉ ZIANE ACHOUR – DJELFA RAPPELS MATHÉMATIQUES jileking@live.com 2 I.2. VECTEUR UNITAIRE Tout vecteur dont le module est égale à l’unité (01) est dit vecteur unitaire. Donc A e A A   .  où A e  est le vecteur unitaire dans la même direction et de même sens que A  . I.3. VECTEURS UNITAIRES ORTHOGONAUX N’importe quel vecteur de l’espace euclidien peut être écrit en fonction de trois vecteurs linéairement indépendants (dans notre cas trois vecteurs non parallèles deux à deux et non coplanaires globalement). Par convention nous appelons trièdre directe trois vecteurs A  , B  et C   linéairement indépendants ayant la même origine et obéissant à la règle de la main droite. Pour simplifier nous considérons comme repère un ensemble de trois vecteurs unitaires formant un trièdre directe et perpendiculaires deux à deux notée i  , j  , k  ou x e  , y e  , z e  . L’ensemble (O, x e  y e  z e ) est dit base orthonormée. I.4. COMPOSANTES D’UN VECTEUR DANS UN REPÈRE ORTHONORMÉ Tout vecteur peut être décomposé en une somme de trois vecteurs orthogonaux z y x A A A A        tel que : x x x e A A   .  y y y e A A   .  z z z e A A   .  donc z z y y x x e A e A e A A     . . .    ou bien           z y x A A A A  En utilisant le théorème de Pythagore on trouve que 2 2 2 z y x A A A A A      Ax , Ay et Az sont dits composantes du vecteur A  dans le repère orthonormé (O, x e  y e  z e ). Ax , Ay et Az sont des valeurs algébriques. Exemple : Les composantes de x e  , y e  et z e  dans le repère orthonormé (O, x e  y e  z e ) sont           0 0 1 x e            0 1 0 y e            1 0 0 z e  O z e  y e  x e  X Y Z z e  z A  O y e  x e  y A  X Y Z x A  A  UNIVERSITÉ ZIANE ACHOUR – DJELFA RAPPELS MATHÉMATIQUES jileking@live.com 3 Les composantes de la résultante de deux vecteurs B A C      deviennent alors            z z z y y y x x x B A C B A C B A C I.5. LOIS DE L’ALGÈBRE VECTORIEL Si A  et B  sont des vecteurs et si p et q sont des scalaires alors :  A B B A        loi de commutativité pour l’addition      C B A C B A            loi d’associativité pour l’addition        A p q A q p A q p    . . . . . .   loi d’associativité pour la multiplication    A q A p A q p    . . .    loi de distributivité    B p A p B A p     . . .    loi de distributivité Remarque : tout être mathématique qui obéit à ces lois est dit vecteur et l’ensemble de ces vecteurs définissent un espace vectoriel. I.6. PRODUIT SCALAIRE On appelle produit scalaire de deux vecteurs A   et B  et on note B A    le produit des modules de A   et de B   et du cosinus de l’angle aigu formé par les deux vecteurs.    cos . .B A B A     0≤  ≤  Propriétés :  Si 0  B A   alors 0    A ou 0    B ou B A      ij j i e e     i ; j = x ; y ; z δij est le nombre de Dirac (δij = 0 si i ≠ j et δij = 1 si i = j )   z z y y x x B A B A B A B A         2 2 2 2 z y x A A A A A A           A B B A            C A B A C B A                     p B A B p A B A p B A p . . . .                 A  B   UNIVERSITÉ ZIANE ACHOUR – DJELFA RAPPELS MATHÉMATIQUES jileking@live.com 4 I.7. PRODUIT VECTORIEL Le produit vectoriel de deux vecteurs A   et B  est un vecteur C  noté B A C       Dont le module est donné par C = A.B.sin 0≤  ≤  Et de direction u  perpendiculaire au plan sous tendu par A   et B  tel que ( A  , B  ,C  ) est un trièdre direct, donc : u B A C   . sin . .   0≤  ≤  Propriétés :  Si 0     B A alors 0    A ou 0    B ou B A   //  0 uploads/Marketing/ chap-1-rappels-mathematiques.pdf