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Généralités sur les fonctions Cours  Gérard Hirsch – Maths54 1 2. GENERALITES

Généralités sur les fonctions Cours  Gérard Hirsch – Maths54 1 2. GENERALITES SUR LES FONCTIONS 1. Fonction d'une variable réelle à valeurs réelles 1.1. Fonction et ensemble de définition Définition On appelle fonction d'une variable réelle à valeurs réelles une application qui à tout élément x d'une partie D de R associe un réel et un seul noté ( ) f x Le réel ( ) f x est appelé image de x par f La partie D est appelée ensemble de définition de la fonction Notation : f D →R ( ) x f x a Exemple La fonction identité x x a est définie sur D = R La fonction élévation au carré 2 x x a est définie sur D = R La fonction inverse 1 x x a est définie sur { } 0 D ∗ = = − R R La fonction racine carrée x x a est définie sur [ [ 0; D + = = + ∞ R Généralités sur les fonctions Cours  Gérard Hirsch – Maths54 2 Remarque Il ne faut pas confondre l'être mathématique appelé fonction (et désigné par f) avec l'être mathématique (désigné par ( ) f x ou par y) qui est le réel associé par f à un élément donné de x. 1.2. Courbe représentative d'une fonction Définition Soit f une fonction définie sur D La courbe représentative de f dans un repère est l'ensemble des points ( , ( )) M x f x avec x D ∈ On dit que ( ) y f x = est une équation de cette courbe dans le repère considéré 1.3. Restriction de f Définition Soit f une fonction définie sur D, et A une partie de R telle que A ⊂R On appelle restriction de f à A la fonction g telle que A D ⊂ →R ( ) , ( ) ( ) x g x telle que x A g x f x ∀∈ = a Exemple Soit f la fonction ] [ ] [ ; 0 0; 1 x x ∗= −∞ ∪ + ∞→ a R R et g la fonction définie sur ] [ 0; A = + ∞ par 1 ( ) g x x = Nous dirons que g est la restriction de f à ] [ 0; A = + ∞ Généralités sur les fonctions Cours  Gérard Hirsch – Maths54 3 1.4. Image et antécédent Définition Soit f une fonction définie sur D, et A une partie contenue dans D, alors ( ) f A désigne l'ensemble des images des éléments de A. Si ( ) y f x = , on dit que y est l'image de x par f, mais aussi que x est un antécédent de y. 2. Opérations sur les fonctions 2.1. Egalité de deux fonctions Définition f et g sont deux fonctions définies respectivement sur f D et g D Les deux fonctions f et g sont égales , ( ) ( ) f g f D D x D f x g x =   ⇔∀ ∈ =   2.2. Somme de deux fonctions f et g sont deux fonctions définies respectivement sur f D et g D On définit sur f g D D D = ∩ la somme f g + par : ( ) ( ) x D f g x f x g x ∀∈ + + a Remarque On peut aussi écrire la somme de deux fonctions ( )( ) ( ) ( ) x D f g x f x g x ∀∈ + = + Généralités sur les fonctions Cours  Gérard Hirsch – Maths54 4 2.3. Produit d’une fonction par un réel Définition f une fonction définie sur D et pour tout réel k, le produit d'un réel k par la fonction f est noté : k f et se définit par : ( ) k k f x kf x x D ∀∈ ∀∈ a R Remarque On peut aussi écrire le produit k f d'un réel k par une fonction f ( )( ) ( ) k k f x k f x x D ∀∈ = ∀∈ R Dans le cours d’algèbre, on dira que : Muni de ces deux lois, l'ensemble (E) des fonctions numériques d'une variable réelle définies sur une partie D de R possède une structure d'espace vectoriel sur R . 2.4. Produit de deux fonctions Définition On définit sur f g D D D = ∩ le produit f g par : ( ) ( ) x D f g x f x g x ∀∈ a Remarque On peut aussi écrire le produit de deux fonctions ( )( ) ( ) ( ) x D f g x f x g x ∀∈ = Toujours dans le cours d’algèbre, on dira : L'ensemble (E) possède une structure d'anneau commutatif unitaire (l'élément neutre étant la fonction constante égale à 1 sur D). Généralités sur les fonctions Cours  Gérard Hirsch – Maths54 5 Attention (E) n'est pas un anneau d'intégrité ( c’est-à-dire que le produit de deux fonctions peut être nul sans qu’aucune des deux fonctions soit identiquement nulle) comme le montre l'exemple suivant : [ ] ] ] 0 0 ; 1 : 1 ; 2 si x f x x si x  ∈   ∈   a et [ ] ] ] 0 ; 1 : 0 1 ; 2 x si x g x si x  ∈   ∈   a Le produit [ ] 0 0 ; 2 f g x si x∈ a est la fonction nulle sur [ ] 0 ; 2 bien que ni f ni g ne soit la fonction nulle. 2.5. Quotient de deux fonctions Définition On définit sur f g D D D = ∩ le quotient f g tel que pour tout x de D tel que ( ) 0 g x ≠ par ( ) : ( ) f f x x g g x a On peut aussi écrire le quotient de deux fonctions tel que pour tout x de D tel que ( ) 0 g x ≠ par ( ) ( ) ( ) f f x x g g x   =     Exemple Soit 1 : 1 f x x + a et 1 : 1 g x x − a deux fonctions définies sur l'intervalle ] [ 1;1 − La somme 2 1 1 1 1 2 : 1 1 ( 1)( 1) 1 x x x f g x x x x x x −+ + + + = = + − + − − a est définie sur ] [ 1;1 − Le produit 2 1 1 1 : . 1 1 1 f g x x x x = + − − a est défini sur ] [ 1;1 − Le quotient 1 1 1 : 1 1 1 f x x x g x x − + = + − a est défini sur ] [ 1;1 − Généralités sur les fonctions Cours  Gérard Hirsch – Maths54 6 Remarque ] ] 1 le quotient : est même défini sur 1;1 1 f x x g x − − + a 3. Composition de deux fonctions Définition f et g sont deux fonctions définies respectivement sur f D et g D On appelle D l'ensemble des éléments x de f D tels que ( ) g f x D ∈ La composée g f ο ("g rond f") est la fonction d'ensemble de définition D telle que [ ] ( )( ) ( ) g f x g f x = o Dans l’écriture g f o la première application est f et la seconde est g Exemple Soit 2 1 : 1 : f x x et g x x − a a On a f D = R et { } 0 g D ∗ = = − R R Pour tout x∈R tel que 2 1 0 x −≠ c'est-à-dire pour { } 1 ; 1 x D ∈ = −− R la composée des deux applications f et g dans cet ordre est [ ] 2 2 1 ( )( ) ( ) ( 1) 1 g f x g f x g x x   = = − =   − o et donc { } 2 : 1,1 1 1 g f x x −− → − o a R R Généralités sur les fonctions Cours  Gérard Hirsch – Maths54 7 Exemple ] ] : 1;1 1 1 Soit f x x x − → − + a R Calculer 2 f f f = o ] [ 2 1 1 1 1 1 1 1 1;1 ( ) ( )( ) 1 1 1 1 1 1 1 x x x x x x x f x f f x f x x uploads/Marketing/ generalites-sur-les-fonctions-1.pdf