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Situation d’apprentissage I- Premiers outils de dénombrement  Dénombrer c’est

Situation d’apprentissage I- Premiers outils de dénombrement  Dénombrer c’est compter  Il existe plusieurs outils de dénombrement : le comptage, l’arbre de choix, le tableau cartésien, le diagramme de VENN, les p-uplets, les arrangements, les permutations, les combinaisons … Exercice1: Un restaurant propose du riz ; du foutou ; de la sauce arachide ; de la sauce graine et de la sauce aubergine. Combien de plats ce restaurant peut-il offrir ? Arbre de choix 6 Exercice2:Tous les élèves d’une classe littéraire étudient l’allemand ou l’espagnol. 30 élèves étudient l’allemand ; 22 étudient l’espagnol et 13 étudient les deux langues à la fois. Quel est l’effectif de cette classe ? Diagramme de VEN 39 Exercice3: Un code est constitué d’une voyelle suivie d’un chiffre de 0 à 4. En utilisant un tableau cartésien, combien de codes peut-on former ? II-Complément sur les ensembles 1. Cardinal d’un ensemble fini Définition Remarque   2. Réunion et intersection de deux ensembles finis Définition Remarque Léçon 4 : Denombrement (1èreC) Dans le cadre des festivités de fin d’année, les élèves de 1ere d’un lycée moderne participent à la kermesse organisée par une O.N.G. Pour gagner des tee-shirts, il faut miser la somme de 10 000 F avant de faire le tirage de deux cartons dans une urne contenant quatre cartons numérotés de 1 à 4. Le nombre de résultats possibles de chaque tirage correspond au nombre de tee-shirts gagnés. Les organisateurs proposent à cet effet trois types de tirages : * « Tirer simultanément deux cartons de cette urne » * « Tirer successivement sans remise deux cartons de cette urne » * « Tirer successivement avec remise deux cartons de cette urne » Après s’être informés, les élèves décident de s’organiser pour faire des calculs avant de faire un choix. Pour cela, il décide de s’informer sur les dénombrements. Soit E un ensemble fini non vide. On appelle cardinal de E le nombre d’éléments de E. On note card (E).  Le cardinal de l’ensemble vide est 0. On a card (∅)=0.  Le cardinal de l’ensemble des chiffres du système décimal est 10. Soit A et B deux ensembles finis non vides  On appelle réunion de A et B l’ensemble des éléments de E qui appartiennent à A ou à B. On note A∪B et on lit « A union B »  On appelle intersection de A et B l’ensemble des éléments de E qui appartiennent à la fois à A et à B. On note A∩B et on lit « A inter B » Soit A et B deux parties d’un ensemble fini non vide E A et B sont disjoints si et seulement si A∩B=∅ E  Propriété 3. Complémentaire d’un ensemble Définition Propriété Exercice10: Un club sportif comprend 25 membres : 10 font la natation, 17 du tennis et 8 pratiquent ces 2 sports. Déterminer le nombre de personnes : 1. Qui font au moins un sport ? 2. Qui ne pratiquent aucun de ces 2 sports ? 3. Qui font seulement la natation ? 4. Produit cartésien : Définition Définition Soit A et B deux ensembles finis non vides. On appelle produit cartésien de A et B l’ensemble des couples (a;b) tels que : a∈A et b∈B On note A×B et on lit « A croix B ». Remarque : Si A≠B alors A×B≠B× A Propriété : On a card (A×B )=card (A)×card(B) Exemple : 3 femmes et 5 hommes sont réunis pour une soirée dansante. Combien de couples mixtes différents peut-on former pour ouvrir le bal ? Réponse : Soit F l’ensemble des femmes ; H l’ensemble des hommes et C l’ensemble des couples mixtes. On a : C=F×H. Donc card (C )=card (F)×card (H )=3×5=15 Il y a donc 15 couples mixtes différents qu’on peut former ? Remarques :  Le produit cartésien des ensembles E1, E2,…, Ep est noté E1×E2×…×E p et on a : card ( E1× E1×…×Ep)=card (E1)×card (E2)×…×card ( Ep)  Le produit cartésien E×E×…×E ⏟ pfois est noté E p et on a : card ( E p)=[card (E)] p EXERCICE : N°7 ET 8 PAGE 222 II- P-UPLETS, ARRANGEMENTS ET PERMUTATION 1. p-uplets ou p-listes Activité Soit E l’ensemble formé par les chiffres {0 ; 1}. On a : card (A∪B)=card (A )+card (B)−card( A∩B) Si A et B sont disjoints alors card (A∪B)=card (A )+card (B) Soit E un ensemble fini non vide et A une partie non vide de E. On appelle complémentaire de A dans E l’ensemble des éléments de E qui n’appartiennent pas à A. On note ou E \ A ou . On a : card ( ´ A )=card (E)−card( A) Soit A et B deux ensembles finis non vides. On appelle produit cartésien de A et B l’ensemble des couples (a;b) tels que : a∈A et b∈B On note A×B et on lit « A croix B ». Déterminer tous les triplets de E. Réponse : On a : (0 ; 0 ; 0), (0 ; 0 ; 1), (0 ; 1 ; 0), (1 ; 0 ; 0), (0 ; 1 ; 1), (1 ; 0 ; 1), (1 ; 1 ; 0), (1 ; 1 ; 1). Les triplets de E dont des éléments peuvent être répétés ou non sont appelés 3-uplets de E. Ce sont des éléments de E3. Définition Soit E un ensemble à n éléments et pun nombre entier naturel non nul. On appelle p-uplets de E tout élément de E p. Remarque : Dans un p-uplets, les p éléments sont ordonnés et peuvent être répétés. Propriété Le nombre de p-uplets d’un ensemble à n éléments est n p Exemple : Le code PIN d’une puce téléphonique est un nombre de 4 chiffres distincts ou non du système décimal. Combien de codes PIN distincts peut-on former ? Réponse : Soit E l’ensemble des chiffres du système décimal. E = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9} Un code PIN est un 4-uplet de E. Donc le nombre de 4-uplet est 104 =10 000. EXERCICE : 3A ; 3C PAGE 215. 2. Arrangements Activité Soit E l’ensemble formé par les chiffres {0 ; 1 ; 2}. Déterminer tous les 2-uplets de E dont les éléments ne sont pas répétés. Réponse : On a : (0 ; 1), (1 ; 0), (0 ; 2), (2 ; 0), (1 ; 2), (2 ; 1). Les 2-uplets de E dont les éléments ne sont pas répétés sont appelés arrangement de 2 éléments de E. Définition Soit E un ensemble à n éléments et p un nombre entier naturel non nul tel que : p≤n. On appelle arrangement de p éléments de E tout p-uplets d’élément de E deux à deux distincts. Remarque : Dans un arrangement, les p éléments sont ordonnés et ne sont pas répétés Propriété Le nombre d’arrangements de p éléments d’un ensemble à n éléments, noté An p est tel que : An p=n×(n−1)× (n−2 )×…×(n−p+1). Remarque : An p est le produit de p facteurs décroissant à partir de n Exemple 1 : Calculer A6 3 ; A10 5 et A5 4 Exemple 2 : De combien de façons différentes peut-on garer 5 voitures sur un parking de 7 places ? Réponse : Une façon de garer ces voitures est un arrangement de 5 places dans 7. Donc le nombre de façons de le faire est A7 5=7×6×5×4×3=2520 3. Permutation Activité Soit E l’ensemble formé par les chiffres {0 ; 1 ; 2}. Déterminer tous les arrangements de 3 éléments de E. Réponse : On a : (0 ; 1 ; 2), (0 ; 2 ; 1), (1 ; 0 ; 2), (1 ; 2 ; 0), (2 ; 0 ; 1), (2 ; 1 ; 0). Les arrangements de 3 éléments de E sont appelés des permutations de E. a) Définition Soit E un ensemble à n éléments. On appelle permutation de E tout arrangement des n éléments de E. b) Propriété Le nombre de permutation d’un ensemble à n éléments, note n! est tel que : n!=An n=n× (n−1)× (n−2)×…×2×1. Remarque : Par convention : 0!=1. On a : n!=n×(n−1)! Exercice 1 : Lors d’une manche de WOZO VACANCES, 5 artistes doivent prester. De combien de manières différentes, l’animatrice peut-elle organiser leur passage. Exercice 2 : Combien y a-t-il d’anagrammes du mot AFRIQUE ? du mot BAOBAB ? Réponse : Une façon d’organiser leur passage est une permutation des 5 artistes. Donc le nombre de résultats possibles est 5!=120. c) Conséquences  Soit n et p deux entiers naturels non nuls tels que : p≤n. On a : An p= n! (n−p)!  On a : An 0=1. Exemple : On a : A7 4= 7! (7−4 )!= 7! 3!= 5040 6 =840. EXERCICE DE MAISON : N°16 PAGE 223. III- COMBINAISON Activité Soit E l’ensemble formé par les chiffres {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4}. Déterminer tous uploads/Marketing/ ibs-ch-4-denombrement-1c.pdf