2´ emeBac EXERCICES D’ ARITHMETIQUE AU BAC Ann´ ee scolaire 2006-2007 EXERCICES
2´ emeBac EXERCICES D’ ARITHMETIQUE AU BAC Ann´ ee scolaire 2006-2007 EXERCICES D’ARITHMETIQUE POSES AUX ANCIENS EXAMENS DU BACCALAUREAT MAROCAIN Mohamed AIT LHOUSSAIN 6 f´ evrier 2007 R´ esum´ e On propose ici une s´ erie d’exercices pos´ es aux anciennes ´ epreuves du baccalaur´ eat marocain afin de les avoir rassem- bl´ es devant soi.En effet ces exercices sont d´ ej` a dans des livres , mais dispers´ es...J’esp´ ere que ce travail rende service . Je sugg´ ere que les chers coll` egues donnent juste des commen- taires sur les questions de ces exercices ..voici un mod´ ele ci- dessous ,pour l’exercice 20...Ce n’est pas la seule fa¸ con de com- menter ; le seule chose qu’on veillera de respecter est de veiller de donner juste des indications au lieu de solutions compl´ etes pour peermettre aux ´ el` eves de se bien pr´ eparer et ne pas to- ber dans le pi´ ege que causent les ’BAC’ : c’est-` a- dire les fa- meux annales qui donnent des solutions (souvent mal faites d’ailleurs..) 1 Un mot avant de commencer J’aimerai juste signaler que ce document vient de naˆ ıtre et que tout le monde pourra contribuer pour lui donner sa forme d´ efinitive.Ceci se fera en le revisant pour detecter les ´ eventuelles erreurs de frappe car une seule personne detcte moins qu’un ensemble de personnes...on pourra aussi faire des remarques con¸ cernant le contenu ici au forum ou me les en- voyer ` a mon e-mail : maitlhoussain@yahoo.fr 2 Les exercices : Exercice 1 1. (a) D´ eterminer un couple (u, v) de nombres entiers re- latifs tel que : 123u + 2003v = 1 (b) en d´ eduire un entier relatif k tel que 123k ≡1[2003] (c) D´ emontrer que : (∀x ∈Z) 123x ≡456 [2003] ⇔x ≡ 456k [2003] (d) D´ eterminer l’ensemble des entiers x tel que : 123x ≡ 456[2003] (e) Montrer qu’il existe un unique entier naturel n tel que 123n ≡456 [2003] et 1 ≤n ≤2002. 2. Soit a un entier naturel tel que 1 ≤a ≤2002 (a) D´ eterminer a ∧2003 (b) montrer qu’il existe un entier p tel que ap ≡1[2003] (c) Montrer que : (∀b ∈N)(∃!x ∈N) 0 ≤x ≤2002 et ax ≡b[2003]. Exercice 2 On pose pour tout entier naturel n : Bn = 3n + 32n + 33n. 1. D´ eterminer suivant les valeurs de n les restes de la divi- sion euclidienne de 3n par 13. 1 www.mathsland.com 2 LES EXERCICES : 2. D´ eterminer les entiers n pour lesquels on a : Bn ≡0[13] Exercice 3 1. Soit n un entier naturel. (a) Montrer que si n est impair alors : n2 ≡1[8] (b) Montrer que si n est pair alors : n2 ≡0[8] ou n2 ≡4[8] 2. a, b et c sont trois entiers naturels impairs . (a) Montrer que : a2+b2+c2 n’est pas un carr´ e parfait . (b) Montrer que :2(ab + bc + ca) ≡6[8] (on pourra remarquer que :(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca) (c) En d´ eduire que : 2(ab + bc + ca) n’est pas un carr´ e parfait. (d) Montrer que ab + bc + ca n’est pas un carr´ e parfait. Exercice 4 1. r´ esoudre dans Z2 l’´ equation :(E) 3x −2y = 1 2. Soit n un entier naturel non nul . (a) Montrer que le couple (14n + 3, 21n + 4) est une solution de l’´ equation (E). (b) En d´ eduire que : (21n + 4) ∧(14n + 3) = 1 3. Soit d le plus grand diviseur commun de 2n+1 et 21n+4. (a) Montrer que d = 1 ou d = 13. (b) Montrer que : (n ≡6[13]) ⇔(d = 13) 4. Pour tout entier naturel n tel que n ≥2 , on pose m A = 21n2 −17n −4 et B = 28n3 −8n2 −17n −3 (a) Montrer que les entiers A et B sont divisibles par n −1 dans Z. (b) D´ eterminer en fonction de n le plus grand diviseur commun de A et B. Exercice 5 On consid` ere dans N∗2 l’´ equation : (E) x2(x2 + 7) = y(2x + y). Soit (x, y) un ´ el´ ement de N∗2 et soit δ le plus grand diviseur commun de x et y.On pose : x = aδ et y = bδ. 1. On suppose que (x, y) est une solution de (E). (a) Verifier que :a2(δ2a2 + 7) = b(2a + b) (b) En d´ eduire qu’il existe un entier naturel k tel que : 2a + b = ka2 et δ2a2 + 7 = kb (c) Montrer que a = 1 (d) En d´ eduire que : (b + 1)2 = δ2 + 8 2. R´ esoudre dans N∗2 l’´ equation (E). Exercice 6 Soit n ∈Z\{−2001, 2},on pose : g(n) = n+2001 n−2 1. (a) Montrer que :(n −2) ∧(n + 2001) = (n −2) ∧2003 (b) Verifier que 2003 est un nombre premier . (c) En d´ eduire les valeurs possibles de (n −2) ∧(n + 2001). (d) D´ eterminer l’ensemble des entiers relatifs n tel que (n −2) ∧(n + 2001) = 2003 2. D´ eterminer les valeurs de n pour lesquelles g(n) ∈Z. 3. Soit p ∈N et q ∈N tel que p ̸= q et p ∧q = 1 . (a) Montrer que q2 ∧(p2 −q2) = 1 (b) Montrer que : g(n) = p q 2 ⇔n = 2 + 2003q2 p2−q2 (c) D´ eterminer p , q et n pour que : g(n) = p q 2 et p ∧q = 1 Exercice 7 Soit n un entier naturel tel que n > 3 .On pose : A = n3 + 3n2 + 2n −4 , B = n2 + 2n −1 et C = n −3. 1. D´ eterminer l’entier xn tel que :A = Bxn + C 2. Montrer que A ∧B = C ∧14 3. D´ eterminer l’ensemble des valeurs de n ∈N tel que A ∧B = 7 maitlhoussain@yahoo.fr 2 www.mathsland.com 2 LES EXERCICES : 4. D´ eterminer les entiers naturels n pour lesquels on a : A ∧B = 1. Exercice 8 Pour tout entier naturel n tel que n ≥5 , on pose : x = n3 −n2 −12n et y = 2n2 −7n −4. 1. Montrer que (n −4)|x et (n −4)|y 2. On pose a = 2n + 1 et b = n + 3 (a) Trouver une relation entre a et b ind´ ependante de n. (b) Montrer que : (a ∧b)|5 (c) Montrer que : 5|a et 5|b ⇔5|n −2 3. Montrer que : (2n + 1) ∧n = 1 4. (a) D´ eterminer x ∧y.(On discutera suivant n ) (b) Etudier les cas respectifs : n = 11 ; n = 12. Exercice 9 Soit n un entier naturel premier.On consid` ere l’´ equation : (E) (x, y) ∈N∗2 x3 −y3 = n. 1. (a) Montrer que si (x0, y0) est une solution de (E) alors : x0 −y0 = 1 x2 0 + x0y0 + y2 0 = n 3x0y0 = n −1 (b) Montrer que si n ̸= 3k + 1 pour tout k ∈N alors l’equation (E) n’admet aucune solution. (c) Montrer que si l’equation (E) admet une solution alors elle est unique. 2. Montrer que si le syst` eme x −y = 1 3xy = n −1 admet une solution alors il existe k ∈N tel que 4n −1 = 3(2k + 1)2 Exercice 10 Soient a et b deux entiers naturels non nuls tel que a2 divise 2b2.On pose :a ∧b = d et a = da′ et b = db′. 1. Montrer que a′2 ∧b′2 = 1 2. Montrer que a′2 divise 2b′2 et d´ eduire que a′ = 1 et que a|b. 3. Soient x ,y et n des entiers naturels non nuls tels que : (x −2n)(y −2n) = 2n2 ;on pose : δ = x ∧y et d = (x −2n) ∧(y −2n). (a) Montrer que d|n puis que : d|δ. (b) Montrer que x2 + y2 = (x + y −2n)2 (c) Montrer que δ|d et d´ eduire que : x ∧y = (x −2n) ∧ (y −2n) Exercice 11 Soit p un entier naturel premier tel que : p ≥7. 1. Montrer que : p ≡1[3] ou p ≡−1[3]. 2. En d´ eduire que 3|p4 −1 3. Montrer qu’i existe k ∈N tel que : p2 −1 = 4k(k + 1) (on pourra remarquer que p est impair) et montrer que 16|p4 −1. 4. Montrer que :5|p4 −1 5. (a) Soient a,b et c des entiers naturels non nuls.Montrer que : a|c et b|c et a ∧b = 1 ⇒ab|c (b) En d´ eduire que : 240|p4 −1 Exercice 12 On consid` ere les suites (xn) et (yn) d´ efinies par : x0 = 3 et uploads/Marketing/ math-arith-by-ali-tah.pdf
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- Publié le Aoû 05, 2022
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