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Distributions, analyse de Fourier, ´ equations aux d´ eriv´ ees partielles F. G

Distributions, analyse de Fourier, ´ equations aux d´ eriv´ ees partielles F. Golse Octobre 2012 ii Table des mati` eres I Distributions 1 1 Fonctions C∞` a support compact 3 1.1 Calcul diﬀ´ erentiel : rappels et notations . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Fonctions de classe C∞` a support compact . . . . . . . . . . . . 6 1.3 R´ egularisation des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.1 Convolution des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.2 R´ egularisation par convolution . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.4 Partitions de l’unit´ e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.5 Appendice : In´ egalit´ es de H¨ older et de Minkowski . . . . . . . . . 28 1.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2 E.D.P. d’ordre un 35 2.1 L’´ equation de transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2 Equations de transport ` a coeﬃcients variables . . . . . . . . . . . 38 2.3 E.D.P. non lin´ eaires d’ordre un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3 Calcul des distributions 53 3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.2 Les distributions : d´ eﬁnitions et exemples . . . . . . . . . . . . . 55 3.2.1 Notion de distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.2.2 Distributions positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.2.3 Remarques sur la d´ eﬁnition des distributions . . . . . . . 63 3.3 Convergence des suites de distributions . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.4 Op´ erations sur les distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.4.1 D´ erivation des distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.4.2 Multiplication par une fonction de classe C∞. . . . . . . 78 3.4.3 Localisation et recollement des distributions . . . . . . . . 80 3.4.4 Changement de variables dans les distributions . . . . . . 82 3.4.5 D´ erivation/Int´ egration sous le crochet de dualit´ e . . . . . 84 3.4.6 Produit de distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 3.5 La formule des sauts et ses variantes . . . . . . . . . . . . . . . . 89 3.5.1 Formule des sauts en dimension N = 1 . . . . . . . . . . . 89 3.5.2 Formule de Green-Riemann : rappels . . . . . . . . . . . . 91 iii iv TABLE DES MATI` ERES 3.5.3 Formule de Green(-Ostrogradsky) . . . . . . . . . . . . . 93 3.5.4 Formule des sauts en dimension quelconque . . . . . . . . 96 3.6 Distributions homog` enes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 3.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 4 Support et convolution des distributions 115 4.1 Les distributions ` a support compact . . . . . . . . . . . . . . . . 116 4.1.1 Support d’une distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 4.1.2 Distributions ` a support compact . . . . . . . . . . . . . . 119 4.1.3 Structure des distributions ` a support dans un singleton . 121 4.2 Convolution C∞ c ⋆D′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 4.3 Op´ erations sur les distributions (suite) . . . . . . . . . . . . . . . 133 4.3.1 Produit tensoriel de deux distributions . . . . . . . . . . . 133 4.3.2 Composition d’une distribution et d’une application C∞. 136 4.4 Produit de convolution des distributions . . . . . . . . . . . . . . 139 4.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 5 Transformation de Fourier 149 5.1 La classe de Schwartz S(RN) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 5.2 La transformation de Fourier sur S . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 5.3 Les distributions temp´ er´ ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 5.4 La transformation de Fourier sur S′ . . . . . . . . . . . . . . . . 166 5.5 Transformation de Fourier partielle . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 5.6 Transformation de Fourier et s´ eries de Fourier . . . . . . . . . . . 178 5.7 Espaces de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 5.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 6 Appendice 193 6.1 Rappels de topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 6.2 Int´ egration sur les surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 6.2.1 Int´ egrales curvilignes : rappels . . . . . . . . . . . . . . . 196 6.2.2 El´ ement d’aire sur une surface ; int´ egrale de surface . . . . 199 6.3 Int´ egration sur une hypersurface de RN . . . . . . . . . . . . . . 204 6.3.1 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 6.4 Quelques propri´ et´ es de la fonction Γ . . . . . . . . . . . . . . . . 209 II Applications aux EDP 215 7 Op´ erateurs diﬀ´ erentiels 217 7.1 Op´ erateurs diﬀ´ erentiels : exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 7.2 Solutions ´ el´ ementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 7.2.1 Solution ´ el´ ementaire du laplacien . . . . . . . . . . . . . uploads/Marketing/ poly-431.pdf