Chapitre 1 : Logique combinatoire Objectifs : À la fin de ce chapitre, je dois

Chapitre 1 : Logique combinatoire Objectifs : À la fin de ce chapitre, je dois être capable de : - Énumérer les différents systèmes de numération - Appliquer les formules de changement de base - Faire des opérations arithmétiques dans une base quelconque - Connaître les fonctions logiques et les propriétés de l'algèbre de Boole - Construire un logigramme à l’aide d’une équation logique - construire une table de vérité par rapport à un cahier de charges - Simplifier les équations logiques par les méthodes algébrique et graphique (tableau de Karnaugh) Leçon 1 Logique combinatoire La combinaison de plusieurs variables reliées entre elles par des opérateurs logiques ou fonctions logiques s'appelle logique combinatoire. I. Notion de contact 1. Rôle Un contact permet l’ouverture ou la fermeture d’un circuit commandé. Ils sont généralement appelés variables d’entrées et ne peuvent prendre que deux valeurs 0 ou 1. (Exemple : capteurs …..) 2. Types de contacts (électriques – pneumatiques) Contacts électriques Contact à fermeture Contact à ouverture Contacts pneumatiques Contact à fermeture Contact à ouverture II- Variables Booléens et fonctions logiques 1. Variables Le fonctionnement d’un système automatisé de type combinatoire est régit par l’état de certaines variables. Chaque variable représente un phénomène physique (capteur de position, interrupteur, etc...). Si un système comporte n variables, il y a 2 n possibilités de combiner les différentes variables. Ainsi pour définir une fonction (représentative d’une certaine action au sein du système), il suffit de déterminer la valeur de cette fonction pour les 2n combinaisons. L’algèbre de Boole permet de manipuler les valeurs logiques. Une variable booléenne n’a que deux valeurs de vérité possibles. Si elle est vraie, sa valeur de vérité est égale à 1 et si elle est fausse, sa valeur de vérité est égale à 0. Ainsi, Une variable binaire ou variable booléenne est une variable susceptible de prendre deux valeurs exclusives ou non simultanées. Cette variable se note par une lettre comme en algèbre. Plusieurs valeurs logiques peuvent être combinées pour donner un résultat qui lui aussi est une valeur logique. Exemples : marche - arrêt, ouvert - fermé, vrai - faux, enclenché - déclenché, avant - arrière, oui - non, etc….  Notation La notation d’une variable Booléenne change selon qu’elle a la valeur 0 ou 1. Par exemple lorsque la variable  prend la valeur 0, elle se note  et lorsqu’elle a la valeur 1, sa notation reste inchangée : . 2. Fonctions (opérateurs) logiques élémentaires Une fonction logique possède une ou des variables logiques d’entrée et une variable logique de sortie. Cette fonction logique se note par une lettre de l’alphabet. Exemple :  = (  )  (  ) = (. ) + . () La manipulation des valeurs logiques repose sur trois fonctions (opérateurs) logiques de base :  Le produit logique ET (AND) ;  La somme logique OU (OR) ;  L’inversion NON. (NOT) Ces opérateurs (ou fonctions) peuvent être représentés par des tables de vérité et par des symboles graphiques selon deux normes : IEEE : Institute of Electrical and Electronics Engineering ; IEC : International Electrotechnical Commission. Les tables de vérité permettent la connaissance de la sortie d’un circuit logique ou d’une équation (fonction) logique en fonctions des diverses combinaisons des valeurs des entrées. Le nombre de colonnes de la table de vérité est le nombre total d’entrées et de sortie et le nombre de ligne de la table de vérité est 2n. Sachant que n est le nombre total d’entrée. Exemple : une fonction à 3 entrées et une sortie sera représentée par une table de vérité de 4 colonnes et 8 lignes. Exemple Construire la table de vérité des fonctions suivantes :  =  +  +  +   =  +  +  a. Opérateur ET (AND) a b c S 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 C’est une fonction définie au moins sur deux variables. La sortie de cet opérateur prend la valeur 1 lorsque toutes les entrées sont à 1. Table de vérité a b S Circuit électrique 0 0 0 0 1 0 Symbole IEEE Symbole IEC 1 0 0 1 1 1 S = ab 1 est élément neutre pour l’opérateur ET 0 est élément absorbant pour l’opérateur ET b. Opérateur OU (OR) C’est une fonction définie au moins sur deux variables. Dans le cas simple de 2 variables la sortie de cet opérateur prend la valeur 1 si et seulement si l’une des variables entrée est à 1. Table de vérité a b S Circuit électrique 0 0 0 0 1 1 Symbole IEEE Symbole IEC 1 0 1 1 1 1 S = a+b 0 est élément neutre pour l’opérateur OU. 1 est élément absorbant pour l’opérateur OU c. L’inversion NON (NOT) C’est une opération définie sur une seule variable. La sortie prend la valeur que n’a pas l’entrée. On dit que la sortie est l’inverse ou le complément de l’entrée. Table de vérité Circuit électrique a S Symbole IEEE Symbole IEC 0 1 1 0  =  d. L’identité ou l’égalité OUI (YES) 1 C’est une opération définie sur une seule variable. La sortie prend la valeur qu’a l’entrée. Table de vérité Circuit électrique a S Symbole IEEE Symbole IEC 0 0 1 1  =  3. Fonctions (opérateurs) logiques complets Il est possible de synthétiser les 3 opérateurs élémentaires (de base) avec un seul type d’opérateur que l’on appelle alors opérateurs complets. Il existe deux opérateurs complets : L’opérateur NON-ET (NAND) L’opérateur NON-OU (NOR) a. Opérateur NON-ET (NAND) Table de vérité a b S Circuit électrique 0 0 1 0 1 1 Symbole IEEE Symbole IEC 1 0 1 1 1 0  = . b. Opérateur NON-OU (NOR) Table de vérité a b S Circuit électrique 0 0 1 0 1 0 Symbole IEEE Symbole IEC 1 0 0 1 1 0  =  + Il existe un autre opérateur nommé OU Exclusif (XOR). Ce dernier est à 1 si et seulement si l’une des variables est à 1 et l’autre est à 0. Table de vérité a b S Circuit électrique 0 0 0 0 1 1 Symbole IEEE Symbole IEC 1 1 0 1 1 1 0  =  ⊕ =  • + •  Montrer que  ⊕ = ( • ) +  •  4. Ecritures canoniques d’une fonction logique et Simplification des fonctions logiques Considérons trois variables booléennes a, b et c. A partir de ces trois variables nous pouvons construire huit produits logiques (somme canonique de produits ou mintermes) et huit sommes logiques (produit canonique de sommes ou maxtermes) faisant intervenir a ou son complément, b ou son complément et c ou son complément. Pour chacune des huit combinaisons des variables a, b et c, nous pouvons calculer les valeurs de ces produits et sommes. Celles-ci sont rassemblées dans la table de vérité. Chacun de ces produits et sommes peut prendre la valeur 0 ou 1. Un minterme de n variables est un produit de ces n variables ou de leurs complémentaires. Un maxterme de n variables est une somme de ces n variables ou de leurs complémentaires. a. Somme canonique de produit C’est une somme de mintermes. Exemples : mintermes de 2 variables, mintermes de 3 variables, etc… b. Produit canonique de somme C’est un produit de maxtermes. Exemples : maxtermes de 2 variables, maxtermes de 3 variables, etc… 5. Logigramme C’est la représentation ou l’établissement d’un schéma logique fonctionnel ou de principe à partir d’une équation. Exemples : établir le logigramme de chacune des fonctions Booléennes suivantes :  = ( + )( + ) ;  =   +   Leçon 2 : Algèbre de Boole 1. Généralités L’algèbre binaire résulte des travaux du mathématicien Georges BOOLE qui a développé au 19ème siècle une algèbre logique portant sur des variables qui ne peuvent prendre qu’un nombre fini d’états. Il est l’outil mathématique qui permet d’établir la relation entre les sorties et les entrées d’un système logique. Réciproquement, cet outil nous permet de déterminer les règles de fonctionnement d’un système logique existant (analyse du système). 2. Propriétés de l’algèbre de Boole Considérons 3 variables (a, b, c), l’algèbre de Boole nous permet d’affirmer : ET (AND)  • = •   • ( • ) = ( • ) •  •  =   • 1 =   • 0 = 0 Commutativité Associativité Idempotence Elément neutre Elément absorbant OU (OR)  + = +   + ( + ) = ( + ) +  +  =   + 0 =   + 1 = 1 Commutativité Associativité Idempotence Elément neutre Elément absorbant NON (NOT)  =   +  = 1 .  = 0 Double inversion Complémentarité  • ( + ) = ( • ) + ( uploads/Philosophie/ chap-logique-combinatoire.pdf

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