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Picchione Serge 2012-2013 COMBINATOIRES ET PROBABILITÉS 4ème année 3.1 Analyse

Picchione Serge 2012-2013 COMBINATOIRES ET PROBABILITÉS 4ème année 3.1 Analyse combinatoire 1 3.1.1 Outils 1 3.1.2 Principe de décomposition 3 3.1.3 Permutations 4 3.1.4 Arrangements 6 3.1.5 Combinaisons 8 3.1.6 Développement du binôme 9 3.1.7 Ce qu’il faut absolument savoir 15 3.2 Probabilités 16 3.2.1 Introduction 16 3.2.2 Expérience aléatoire, événement 16 3.2.3 Notion de probabilité et axiomes 18 3.2.4 Probabilités conditionnelles 25 3.2.5 Épreuves successives 28 3.2.6 Théorème de Bayes * 31 3.2.7 Evénements indépendants 33 3.2.8 La loi binomiale 36 Picchione Serge 2012-2013 3.2.9 Variables aléatoires discrètes 38 3.2.10 Moyenne ou espérance mathématique 40 3.2.11 Variance et écart-type 42 3.2.12 Cas particulier de la loi binomiale 47 3.2.13 Variables aléatoires continues 49 3.2.14 Quelques lois de probabilités continues 52 3.2.15 Ce qu’il faut absolument savoir 59 3.3 Solutions des exercices 60 Picchione Serge 2012-2013 AVANT-PROPOS • Ce document a été conçu pour l’enseignement des mathématiques dispensé au Collège de Genève en quatrième année, en combinatoires et probabilités. Cela dit, il peut servir de support de cours pour d’autres filières d’enseignement. • Vous trouverez dans ce chapitre de la théorie (définitions, théorèmes, démonstrations, etc.) et des exercices qui vous permettront progressivement de vous familiariser et de maîtriser les diverses notations et concepts mathématiques. À la fin du chapitre se trouvent les solutions des exercices, des activités et des Q.C.M. à l’exception de ceux faisant intervenir des démonstrations. • Les exercices accompagnés d’un astérisque (*), sont des exercices supplémentaires de développement destinés, par exemple, aux élèves ayant choisi l’option, niveau avancé (MA2). • Pour mieux repérer les points importants de la théorie, les définitions sont dans un encadré blanc et les théorèmes dans un encadré grisé. • Pour vérifier votre niveau de compréhension à la fin de l’étude d’un sous chapitre, vous pouvez vous référer aux sections : « Ce qu’il faut absolument savoir » et « Questionnaire à choix multiples ». • Vous pouvez télécharger ce document au format PDF à l’adresse suivante : http://disciplines.sismondi.ch/MA/espace-perso-profs/serge-picchione • Pour finir, un grand merci aux collègues de divers établissements scolaires qui ont partagé leurs cours : Nicolas Chabal, Yves Drevous, Bernard Gisin, Alain Klopfenstein, Maurizio Lalicata, Bernard Lenggenhager, Romanita Nagy Gauxachs, Adrien Schleining et Serge Zoutter. BON TRAVAIL ! Picchione Serge 2012-2013 P.S. / 2012-2013 1 Combinatoires et probabilités / 4 N-A 3.1 Analyse combinatoire L’analyse combinatoire est la science du dénombrement, elle permet de déterminer le nombre de réalisations possible d’une expérience donnée. On y rencontrera des problèmes du type : - De combien de façons peut-on asseoir 10 convives autour d'une table circulaire ? - Combien y a-t-il d'issues (résultats possibles) lorsqu'on lance trois dés à 6 faces ? - Dans une course de 20 chevaux, combien y a-t-il de podiums possibles ? Les réponses à ce type de problèmes sont souvent des nombres gigantesques (la réponse au premier problème dépasse les 300 mille). 3.1.1 Outils A. Le tableau Exemple On lance successivement deux dés à 6 faces. Combien y a-t-il d'issues (résultats possibles) ? 1 2 3 4 5 6 1 (1;1) (1;2) (1;3) (1;4) (1;5) (1;6) 2 (2;1) (2;2) (2;3) (2;4) (2;5) (2;6) 3 (3;1) (3;2) (3;3) (3;4) (3;5) (3;6) 4 (4;1) (4;2) (4;3) (4;4) (4;5) (4;6) 5 (5;1) (5;2) (5;3) (5;4) (5;5) (5;6) 6 (6;1) (6;2) (6;3) (6;4) (6;5) (6;6) Réponse : Il y a 6⋅6 = 36 résultats possibles. Inconvénient du tableau : on ne peut pas y mettre plus de deux paramètres (dans l'exemple, on ne pourrait pas y mettre trois dés). B. La liste Exemple Combien de nombres peut-on composer avec les chiffres 1, 2, 3 et 4? 1234 1243 1324 1342 1423 1432 2134 2143 2314 2341 2413 2431 3124 3142 3214 3241 3412 3421 4123 4132 4213 4231 4312 4321 Réponse : On peut composer avec les chiffres 1, 2, 3 et 4 exactement 24 nombres. Inconvénient de la liste : très long, et on risque d'oublier des éléments ou de les mettre plusieurs fois. P.S. / 2012-2013 2 Combinatoires et probabilités / 4 N-A C. L'arbre de classement Exemple Combien de nombres peut-on composer avec les chiffres 1, 2, 3 et 4? chiffre des miliers chiffre des centaines chiffre des dizaines chiffre des unités 4 3 3 4 2 4 2 2 4 3 3 2 2 3 4 1 4 3 3 4 1 4 1 1 4 3 3 1 1 3 4 2 4 2 2 4 1 4 1 1 4 2 2 1 1 2 4 3 3 2 2 3 1 3 1 1 3 2 2 1 1 2 3 4 ↑ L'arbre se lit verticalement (par exemple: la flèche indique le nombre 2431). Il est plus sûr que la liste, car de par sa symétrie, on voit s'il y a des doublons ou des éléments manquants. Il peut d'ailleurs être complété de façon partielle ou schématique selon la question qui nous intéresse. Définition Un arbre de classement est un schéma permettant de décrire et de dénombrer tous les résultats possibles d'une expérience donnée. D. La notation factorielle Sur l'exemple précédent, on voit que le premier étage comporte 4 embranchements, le deuxième 3, le troisième 2 et le dernier 1 seul. L'arbre comporte donc 4⋅3⋅2⋅1 = 24 chemins. On peut ainsi extrapoler et deviner que si l'on rajoute un chiffre à l'énoncé, (càd: "Combien de nombres peut-on former avec les chiffres 1, 2, 3, 4 et 5?") on va trouver 5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 120 possibilités. On a recours à la notation suivante : Définition Soit n un entier positif ou nul. On appelle n factorielle, noté n!, le produit des nombres entiers de 1 à n. ⎧ ⎨⋅⋅⋅ ⋅ ⎩ 1 si n = 0 n! = 1 2 3 .... n si n > 0 Exemples 5! 1 2 3 4 5 120 = ⋅⋅⋅⋅ = 7! 1 2 3 4 5 6 7 5040 = ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ = 98 69! 1 2 3 ....... 68 69 1,71 10 = ⋅⋅⋅ ⋅ ⋅ ≅ ⋅ 0! = 1 70! = ....... dépasse les capacités des calculatrices courantes ! Remarque Sur certaines calculatrices, la touche x! effectue ce type de calcul. P.S. / 2012-2013 3 Combinatoires et probabilités / 4 N-A 3.1.2 Principe de décomposition Activité Pour aller de la ville A à la ville D, on doit traverser trois rivières. Sur ces rivières, on dispose de sept ponts x1, x2, y1, y2, y3, z1, z2. (B et C sont aussi des villes) a) Combien y a-t-il de trajets différents de A à D ? (sans passer deux fois par la même ville…) b) Ajoutons deux ponts z3 et z4 sur la rivière située entre les villes C et D. Combien y a-t-il de trajets différents de A à D ? (sans passer deux fois par la même ville…) c) Ajoutons une ville E et une rivière située entre les villes D et E avec deux ponts w1 et w2. Combien y a-t-il de trajets différents de A à E ? (sans passer deux fois par la même ville…) Principe de décomposition Si une expérience globale peut se décomposer en k épreuves élémentaires successives, ces dernières pouvant s'effectuer respectivement de 1 2 k n ,n ,....n manières, alors l’expérience globale peut se faire de 1 2 k n n .... n ⋅ ⋅ ⋅ manières différentes. C'est ce principe fondamental qui sera utilisé dans les paragraphes suivants pour aboutir aux formules les plus utiles de l'analyse combinatoire. Exemples a) On lance successivement trois dés à 6 faces (une expérience globale). Combien y a-t-il d'issues possibles ? ( ) ( ) { } 121 , 641 ,....... Réponse : 1 D 6 = (6 chiffres distincts) 2 D 6 = (6 chiffres distincts) 3 D 6 = (6 chiffres distincts) Selon le principe de décomposition (3 épreuves), le nombre d'issues possibles est de 6 6 6 216 ⋅⋅ = . x1 x2 y1 y2 y3 z1 z2 A • B • C • D • P.S. / 2012-2013 4 Combinatoires et probabilités / 4 N-A b) On veut imprimer une plaque de voiture comportant de gauche à droite, 2 lettres distinctes et 3 chiffres, le premier est différent de zéro (une expérience globale). A combien s'élève le nombre de plaques de ce type ? ( ) ( ) { } CH124 , DE665 ,.........,....... Réponse : 1 L 26 = (26 lettres possibles) 2 L 25 = (pour avoir des lettres distinctes) 3 C 9 = (sans le zéro) 4 C 10 = 5 C 10 = Selon le principe de décomposition (5 épreuves), le nombre possible de plaques de ce type est de 26 25 9 10 10 585'000 ⋅ ⋅⋅ ⋅ = . Remarque Dans les exemples précédents a) et b), la représentation de l'expérience globale avec un arbre de classement n'est pas conseillée car le nombre de possibilités est trop élevée. 3.1.3 Permutations Exemple Combien de "mots" différents peut-on écrire avec toutes les lettres du mot ECROU ? Réponse : Selon le principe de décomposition (5 épreuves) : E C R O U C uploads/Philosophie/ combinatoires-et-probabilites.pdf