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Chapitre 1: Introduction à la théorie des probabilités LAKHEL El Hassan Départe

Chapitre 1: Introduction à la théorie des probabilités LAKHEL El Hassan Département: Informatiques et Réseaux-Télécom. ENSA, A. U. 2020-2021 Page Web: https://sites.google.com/view/lakhelelhassan/probabilites-stochastiques LAKHEL El Hassan Introduction à la théorie des probabilités Université Cadi Ayyad 1 / 44 Plan 1 Introduction à la théorie et au calcul des probabilités. 2 Variables aléatoires réelles. 3 Variables aléatoires vectorielles : Généralités sur les vecteurs aléatoires. Couples aléatoires discrets, couples aléatoires à densité. Couple formé de variables aléatoires indépendantes. Distribution conjointe. Indépendance et espérance de produits. Distributions conditionnelles. Covariance et coeﬃcients de corrélation linéaire. Vecteurs aléatoires gaussiens. Théorème d’existence de la densité gaussienne. 4 Introduction aux Processus stochastiques : Déﬁnitions- Premiers exemples : -Processus de Bernoulli, Marche aléatoire... - Processus de comptage, processus de renouvellement - Processus de Poisson -Caractéristiques d’un processus stochastique 5 Chaînes de Markov discrétes : Déﬁnition et premières propriétés, Matrice de transition d’une chaine de Markov, dynamique markovienne, matrice stochastique, propriété de Markov. Exemples de chaine de Markov, Equation de Chapman-Kolmogorov, Le graphe de transition, Caractérisation de la loi d’une chaînes de Markov . Applications : Google et chaînes de Markov. LAKHEL El Hassan Introduction à la théorie des probabilités Université Cadi Ayyad 2 / 44 INTRODUCTION GENERALE THÉORIE DES PROBABILITÉS • Une théorie mathématique pour quantiﬁer le Hasard. - La théorie des probabilités a mis beaucoup de temps à émerger. - Le mot Hasard est un mot d’origine arabe : az-zahr. - Au cours du 17ème siècle, le calcul probabiliste commence réellement à être rigoureusement développé par Pascal, - 19ème siècle et début 20ème siècle : essor des probabilités grâce aux méthodes d’analyse. ⋄ Calcul intégral et diﬀérentiel : (Laplace, Gauss) ⋄ Théorie de la mesure : (Borel - Lebesgue) - La période moderne, caractérisée par l’étude systématique des processus aléatoires, débute vers 1930. Modéliser des phénomèmes aléatoires qui évoluent au cours du temps : Processus de Markov, mouvement Brownien, processus de Poisson,... LAKHEL El Hassan Introduction à la théorie des probabilités Université Cadi Ayyad 3 / 44 INTRODUCTION GENERALE • Les prérequis de ce cours sont des connaissances mathématiques dispensées durant les deux premières années d’un cursus universitaire. Nous allons developper les notions dont nous avons besoin au fur et à mesure de ce module. • L’objet de la théorie des probabilités est l’analyse mathématique de phénomènes dans lesquels le hasard intervient. Ces phénomènes sont appelés des expériences aléatoires. • Les processus stochastiques servent à la modélisation des phénomnes aléatoires qui évolue dans temps. Le terme modéliser signiﬁe ici l’opération qui consiste à associer à une expérience aléatoire un espace de probabilité (Ω, A, P) et une famille (Xt)t∈T de variables aléatoires déﬁnies sur le même espace de probabilité. Le plus souvent, T est un ensemble ordonné qui joue le rôle du temps. • La notion d’une chaînes de Markov fait partie de cette branche de la théorie des probabilités. • Les processus stochastiques trouvent des applications dans plusieurs domaines tels que : ♦Iternet : Google par exemple fonctionne avec des chaînes de Markov. ♦Résaux et télécom : la théorie des ﬁles d’attente est basée essentiellement sur la théorie des probabilités. ♦Les mathématiques ﬁnancières, le traitement d’images, etc. LAKHEL El Hassan Introduction à la théorie des probabilités Université Cadi Ayyad 4 / 44 INTRODUCTION GENERALE EXPÉRIENCE ALÉATOIRE La phrase typique dans la théorie et les exercices est la suivante : Soit (Ω, F, P) un espace de probabilité. Essayons d’expliciter chacun des trois termes de ce triplet. C’est un peu abstrait, on verra des exemples plus usuels dans les paragraphes suivants. Déﬁnition Une expérience est dite aléatoire si, reproduite dans des conditions identiques, peut conduire à plusieurs résultats possibles, et dont on ne peut prévoir le résultat par avance. Déﬁnition L’ensemble des résultats d’une expérience aléatoire est appelé l’univers (ou espace d’états). Il est noté Ω. LAKHEL El Hassan Introduction à la théorie des probabilités Université Cadi Ayyad 5 / 44 INTRODUCTION GENERALE Exemple 1. Le jet d’un dé : Ω= {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 2. Le jet successif de n pièces de monnaie : Ω= {P, F}n (pour n = 2, on a Ω= {PP, PF, FP, FF} = {P, F}2). 3. La durée de vie d’une ampoule : Ω= R+. 4. La durée d’une communication téléphonique : Ω= R+. 5. Cours d’un actif ﬁnancier sur un intervalle de temps [a, b] : Ω= C([a, b], R+). LAKHEL El Hassan Introduction à la théorie des probabilités Université Cadi Ayyad 6 / 44 INTRODUCTION GENERALE Exemples On peut aussi modéliser des phénomènes aléatoires plus complexes. Donnons deux exemples : 1. Etude d’une ﬁle d’attente. Des clients arrivent successivement d’une manière aléatoire et forment ainsi une ﬁle d’attente devant un guichet. On étudie la longueur de la ﬁle d’attente, en fonction des paramètres qui interviennent dans la modélisation, à savoir la “loi” d’arrivée des clients, “loi” de la durée des services, combien de serveurs ? comment s’organise la ﬁle ? On se demande si la ﬁle à tendance à se diminuer ou au contraire à augmenter. Exemples de ﬁles d’attente : Traﬁc aérien Télécommunications (téléphonie, call-centers) Serveurs informatiques. ... File (système) d’attente décrite par : A/B/m/N/S où : A est la distribution des arrivées : une grandeur aléatoire ou stochastique B est la distribution des temps de service : idem ; m est le nombre de serveurs ; N est le nombre maximum de clients dans le système ; S est la discipline de service (FIFO, LIFO, RAND. . .) LAKHEL El Hassan Introduction à la théorie des probabilités Université Cadi Ayyad 7 / 44 INTRODUCTION GENERALE Exemples Objectif : dimensionnement, organisation D’innombrables questions se posent naturellement, aﬁn d’optimiser la rentabilité de certains services et de diminuer les attentes. Par exemple, quel est le temps moyen d’attente ? quel est le nombre moyen de clients dans la ﬁle ? quel est le nombre de serveurs occupés ? quelle est la probabilité que la ﬁle soit vide / pleine ? quelle est la longueur de la queue à un instant donné ? combien de serveurs faudrait-il au minimum pour éviter la saturation de la salle d’attente ? ... Autant de questions auxquelles la théorie des chaînes de Markov et des processus stochastiques apporte des réponses plus ou moins explicites. LAKHEL El Hassan Introduction à la théorie des probabilités Université Cadi Ayyad 8 / 44 INTRODUCTION GENERALE Exemples Chaîne de Markov et l’algorithme PageRank de Google 2. Le succès de google se base sur l’algorithme Pagerank. Cet algorithme permet de trier les résultats des recherches. Que fait un moteur de recherche ? L’utilisateur lance une requête : mots clés cherchés. Le moteur de recherche exécute : liste des pages contenant les mots clés tri par ordre de pertinence aﬃchage des résultats Il y a donc plusieurs aspects dont modélisation mathématique : comment déﬁnir/calculer la pertinence ? (personne n’est chargée de lire toutes les pages web !) ressource informatique : stockage, traitement d’une quantité énorme d’informations L’idée : pour mesurer l’importance d’une page est de travailler sur le fait qu’il y a des liens reliant les pages les unes aux autres. Google voit le web comme un graphe, dont les sommets sont les pages et les arcs sont les liens allant d’une page vers l’autre. Chaque ﬂèche est aﬀectée d’un poids, correspondant à la probabilité qu’on a, lorsqu’on quitte une page, d’aller vers la page suivante. si la page Pj contient un lien vers la page Pi on matérialise cela par une ﬂèche Pj →Pi . on utilise les chaîne de Markov ; les marches aléatoires sur les graphes et le Théorème de Perron-Frobenius pour calculer l’importance d’une page, aussi appelée PageRank. Voir le dernier chapitre pour plus de détails. LAKHEL El Hassan Introduction à la théorie des probabilités Université Cadi Ayyad 9 / 44 INTRODUCTION GENERALE ÉVÉNEMENT Déﬁnition Un événement est une partie A de Ω, c’est un fait lié à une expérience qui peut se produire ou non. Exemple Dans nos situations précédentes, A pourrait, par exemple, être : 1. A1 = {2, 4, 6} : "obtenir un nombre pair." 2. A2 = {P} × {P, F}n−1 : " Le premier lancer est pile." 3. A3 = [100, +∞[ : "l’ampoule fonctionne plus de cent heures." 4. A4 = [3, 7] : "la durée de communication est entre 3 et 7 min. Ainsi, un événement aléatoire est représenté par l’ensemble des résultats pour lesquels il est réalisé. LAKHEL El Hassan Introduction à la théorie des probabilités Université Cadi Ayyad 10 / 44 INTRODUCTION GENERALE Notation ensembliste Correspondance entre le langage probabiliste et le langage ensembliste : Notation vocabulaire ensemblite vocabulaire probabiliste Ω événement certain ∅ ensemble vide événement impossible {ω} singleton ω événement élémentaire ω A ⊂B A est inclus dans B A implique B Ac complémentaire de A Le contraire de A est réalisé A ∪B A union B A ou B est réalisé S i∈I Ai union des (Ai)i ∈I l’un des Ai est réalisé A ∩B A inter B A et B sont réalisés T i∈I Ai intersection des (Ai)i ∈I tous les Ai sont uploads/Philosophie/ chapitre-1-processus-stochastiques.pdf