LM360 Math´ ematiques 2008 TD de topologie et calcul diff´ erentiel– Corrig´ e d

LM360 Math´ ematiques 2008 TD de topologie et calcul diff´ erentiel– Corrig´ e de la Feuille 2: Continuit´ e, suites, parties denses. Groupe de TD 5 Exercice 1. Soit χA : E →{0, 1} la fonction caract´ eristique de A ⊂E: χA(x) = 1 si x ∈A, χA(x) = 0 sinon. a) On munit {0, 1} de la topologie discr` ete. Montrer que χA est continue en x si et seulement si x / ∈fr A. b) Donner une condition pour que χA soit continue sur E et un exemple o` u χA n’est continue en aucun point de E. Corrig´ e 1. a) Tout d’abord, pour la topologie discr` ete de {0, 1}, {0} et {1} sont des voisinages de 0 et 1 respectivement. Donc si f : E →{0, 1} est continue en x, il existe un voisinage U de x tel que f(U) ⊂{f(x)}, i.e. que f est constante sur U. La r´ eciproque est bien sˆ ur vraie. Par cons´ equent, f n’est pas continue en x si et seulement si quel que soit le voisinage U de x, il existe y et z dans U tels que f(y) = 1 et f(z) = 0. Si f est la fonction caract´ eristique de A, cela revient ` a dire que tout voisinage de x rencontre A et son compl´ ementaire. On a vu dans l’exercice 9 de la feuille de TD 1 que ceci ´ equivaut ` a x ∈fr A. b) Si A est ` a la fois ouvert et ferm´ e dans E, alors la fronti` ere de A est vide, par cons´ equent χA est continue. Si E est le plan R2 muni de la distance usuelle et A est l’ensemble Q2 des points ` a coordonn´ ees rationnelles, alors χA n’est continue nulle part. Exercice 2. Soient X et Y des espaces topologiques et une application f : X →Y . Montrer que f est continue si et seulement si pour toute partie A de X, on a f A
⊂f(A). Corrig´ e 2. Supposons f continue. Alors f −1f(A)
est ferm´ e dans X. Comme on a A ⊂f −1(f(A)) (prenez la peine de red´ emontrer cette inclusion si vous l’avez oubli´ ee ou si vous avez un doute; vous devez savoir utiliser les images directes et r´ eciproques d’ensembles) et que f(A) ⊂f(A), on a A ⊂f −1(f(A)). Or, f −1f(A)
´ etant ferm´ e, il contient le plus petit ferm´ e contenant A, c’est ` a dire que A ⊂f −1(f(A)), ce qui implique f A
⊂f(A). R´ eciproquement, soit F un ferm´ e de Y . Posons A = f −1(F), alors f(A) ⊂F. Par hypoth` ese, f A
⊂f(A), donc f(A) ⊂F, puisque F est ferm´ e. On a alors A ⊂f −1(F) = A. Donc A est ferm´ e. On vient de montrer que l’image r´ eciproque de tout ferm´ e est un ferm´ e, autrement dit que f est continue. Exercice 3. Soient f et g deux fonctions continues sur un espace topologique X et ` a valeurs dans un espace topologique s´ epar´ e Y . V´ erifier que l’ensemble A = {x ∈X/ f(x) = g(x)} est un ferm´ e de X. Corrig´ e 3. Montrons que le compl´ ementaire de A = {x ∈X/ f(x) = g(x)} est ouvert. Si a / ∈A, alors f(a) ̸= g(a), donc Ac = {x ∈X/ f(x) ̸= g(x)}. Comme Y est s´ epar´ e, il existe un voisinage ouvert U de f(a) et un voisinage ouvert V de g(a) tels que U ∩V = ∅. La continuit´ e de f et g implique que W := f −1(U)∩g−1(V ) est un voisinage ouvert de a. Si y ∈W, on a f(y) ∈U et g(y) ∈V . Comme U et V sont disjoints, f(y) ̸= g(y), donc W ∩A = ∅. Donc le compl´ ementaire de A est ouvert. Pour comprendre cette construction, il est utile de faire un dessin ! Exercice 4. Soient f et g deux fonctions continues sur un espace topologique X et ` a valeurs dans R. 1 Montrer que l’ensemble A = {x ∈X | 1 < f(x) < 2} est ouvert. 2 Montrer que l’ensemble B = {x ∈X | f(x) ≤g(x)} est ferm´ e. Corrig´ e 4. 1 Comme f est continue et que l’intervalle ]1, 2[ est ouvert, il suit que A = f −1(]1, 2[) est ouvert. 2 On a clairement B = {x ∈X | f(x) −g(x) ≤0} = (f −g)−1(] −∞, 0]). or f, g continues implique que f −g est continue. Comme ] −∞, 0] est ferm´ e dans R, il suit que B est ferm´ e dans E. Exercice 5. Soit f : X →Y une application. 1 On suppose que Y est un espace topologique. D´ eterminer la topologie la plus grossi` ere sur X telle que f soit continue (on montrera en particulier, qu’elle existe !). 2 On suppose maintenant que X est un espace topologique. D´ eterminer la topologie la plus fine sur Y qui rende f continue. Corrig´ e 5. C’est essentiellement du cours... 1 D’apr` es le cours, on peut munir X de la topologie image inverse (qui est bien une topologie), c’est ` a dire que les ouverts de X sont les f −1(U) o` u U est un ouvert de Y . D’apr` es le cours, f : X →Y est alors continue. Supposons maintenant que X est muni d’une topologie τ quelconque telle que f : X →Y soit continue. Alors, pour tout ouvert U de Y , f −1(U) est un ouvert de X. Il suit que tout ouvert pour la topologie image inverse est un ouvert pour la topologie τ, donc τ est plus fine que la topologie image inverse. 2 D’apr` es le cours, on peut munir Y de la topologie “quotient” (qui est bien une topologie), c’est ` a dire que les ouverts de Y sont les U tels que f −1(U) est un ouvert de X. D’apr` es le cours, f : X →Y est alors continue. Supposons maintenant que Y est muni d’une topologie τ quelconque telle que f : X →Y soit continue. Alors, pour tout ouvert U de Y (pour la topologie τ), f −1(U) est un ouvert de X. Il suit que U est aussi un ouvert pour la topologie quotient. par cons´ equent, cette topologie est plus fine que τ. Exercice 6. Montrer que les projections πE et πF de E × F sur E et F respec- tivement sont continues. Montrer qu’une application f : G →E × F est continue ssi ses composantes πE ◦f et πF ◦f le sont. En application, soient f une fonction continue de E dans R et g une fonction continue de F dans R. Montrer que h(x, y) = sin(f 2(x)g3(y)) est une fonction continue de E × F dans R. Corrig´ e 6. Soit U un ouvert de E, alors π−1 E (U) = U × F est ouvert car c’est un produit d’ouverts. D’o` u πE : E × F →E est continue. On montre de mˆ eme que πF est continue. la compos´ ee de fonctins continues ´ tant continues, il est clair que f continue implique πE ◦f et πF ◦f continues. R´ eciproquement, si U × V est un produit d’ouverts, f −1(U ×V ) = (πE ◦f)−1(U)∩(πF ◦f)−1(V ) est une inteersection (finie) de deux ouverts donc est ouvert. Comme les produits U × V forment une base d’ouverts pour la topologie produit, il suit que f est continue. La fonction h est de la forme sin ◦β ◦α o` u α : E × F →R × R est d´ efinie par α(x, y) = (f 2(x), g3(y)), β : R × R →R est d´ efinie par β(s, t) = st. L’application α est continue: c’est une application ` a valeurs dans un espace produit dont chacune des composantes est continue. En effet (x, y) →f 2(x) est la composition de (x, y) →y qui est continue (premi` ere projection), y →f(y) (continue par hypoth` ese) et u →u2 (continue de R dans R). Par un raisonnement similaire, (x, y) →g3(y) est continue. Quant ` a β c’est la fonction produit de deux r´ eels qui est continue. Donc h est continue comme compos´ ee d’applications continues. Exercice 7. On consid` ere le plan R2 muni de la topologie usuelle et le cercle unit´ e S1 = {(x, y)/ x2 + y2 = 1} muni de la topologie trace. Montrer que l’application p : R →S1, α →(cos α, sin α) est continue. Soit E un espace topologique. Montrer qu’une application f : S1 →E est continue si et seulement si f ◦p l’est aussi. Corrig´ e 7. Voir la feuille de TD 3. Exercice 8. Soit f : X →Y une fonction d´ efinie sur un espace topologique X ` a valeurs dans uploads/Philosophie/ corrige-td2-lm360.pdf

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• Publié le Sep 25, 2022
• Catégorie Philosophy / Philo...
• Langue French
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