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Page 1 Chapitre 4 : Fonction d’une variable Réelle Ce chapitre traitera des fon

Page 1 Chapitre 4 : Fonction d’une variable Réelle Ce chapitre traitera des fonctions qui sont la base de l’étude analytique en mathématique, tous les concepts appris dans ce chapitre seront réétudiés de manière analogue dans les autres chapitres d’analyse c’est pourquoi leur maitrise est primordiale Par : Note de cours : Cours A.DIB 2011/2012 Résumé de BELFODIL Aymen & BELFODIL Adnane Remerciement à : BOUSSENNA Redoane LAKEHAL Aymen MAOUCHE Mohammed LAMRAOUI Khaled BEY AHMED KHERNACHE Mohammed Page 2 TABLE DES MATIERES 1. Limites ................................................................................................................................... 5 1.1. Généralité ....................................................................................................................... 5 1.2. Définition et propriétés des limites ............................................................................ 5 1.2.1. Définition : ............................................................................................................... 5 1.2.2. Théorème : ............................................................................................................... 5 1.2.3. Limite à gauche, à droite ....................................................................................... 6 1.2.4. Théorème 2 : ............................................................................................................ 6 1.2.5. Autre type de limites ............................................................................................. 6 1.3. Operations sur les limites : .......................................................................................... 7 1.4. Proposition 1 .................................................................................................................. 7 1.5. Limite et relation d’ordre ............................................................................................. 7 1.6. Proposition 4 .................................................................................................................. 7 1.7. théorème ......................................................................................................................... 7 1.8. Propriété ......................................................................................................................... 8 2. Continuité ............................................................................................................................. 9 2.1. Définition : Continuite à droite et à gauche .............................................................. 9 2.2. Proposition : ................................................................................................................... 9 2.3. Opération sur les fonctions continues ....................................................................... 9 2.4. Définition : Continuité sur un intervalle ................................................................... 9 2.5. Théorème 1 : ................................................................................................................ 10 2.6. Théorème 2 : des valeurs intermédiaires ................................................................. 10 2.7. Théorème 3 .................................................................................................................. 11 2.8. Théorème 4 .................................................................................................................. 11 2.9. Proposition 2 : .............................................................................................................. 12 2.10. Prolongement par continuité : ................................................................................ 12 2.11. Continuité uniforme : ............................................................................................... 13 2.11.1. Définition : ........................................................................................................... 13 2.11.2. Proposition : ........................................................................................................ 13 2.11.3. Théorème de Heine : .......................................................................................... 13 2.11.4. Proposition : ........................................................................................................ 14 Page 3 2.11.5. Définition : Fonction Lepchzienne : ................................................................. 14 2.11.6. Proposition : ........................................................................................................ 14 3. Dérivabilité ......................................................................................................................... 15 3.1. Définition ..................................................................................................................... 15 3.2. Dérivée à droit et dérivée à gauche: ......................................................................... 15 3.3. Théorème : Dérivabilité et continuité ...................................................................... 15 3.4. Opération sur les fonction dérivable: ...................................................................... 16 3.4.1. Somme: .................................................................................................................. 16 3.4.2. Produit : ................................................................................................................. 16 3.4.3. Inverse : .................................................................................................................. 17 3.4.4. Composée: ............................................................................................................. 17 3.5. Les Extrémum: ............................................................................................................ 18 3.5.1. Définition: Maximum local ................................................................................. 18 3.5.2. Définition: Minimum local ................................................................................. 18 3.5.3. Théorème : ............................................................................................................. 18 3.6. La dérivabilité sur un intervalle: .............................................................................. 19 3.6.1. Définition: .............................................................................................................. 19 3.6.2. Théorème de Rolle: .............................................................................................. 19 3.6.3. Théorème des accroissement finis : ................................................................... 19 3.7. Fonction Dérivée: ........................................................................................................ 20 3.7.1. Définition: .............................................................................................................. 20 3.7.2. Propositions: ......................................................................................................... 20 3.7.3. Règle de l'Hôpital: ................................................................................................ 20 3.8. Dérivée d'ordre supérieur: ........................................................................................ 21 3.8.1. Dérivée première: ................................................................................................. 21 3.8.2. Dérivée seconde: .................................................................................................. 21 3.8.3. Dérivée d'ordre n: ................................................................................................ 21 3.8.4. Fonction de classe : ......................................................................................... 21 3.8.5. Formule de Taylor: ............................................................................................... 22 3.8.6. Formule de Leibnitz: ............................................................................................ 22 4. Fonction usuelles ............................................................................................................... 23 Page 4 4.1. Théorème : Fonction réciproque: .............................................................................. 23 4.2. Dérivé d’une fonction Réciproque : ......................................................................... 23 4.3. Fonction exponentiels et logarithmes ...................................................................... 24 4.3.1. Fonction exponentielle ( ................................................................................ 24 4.3.2 Logarithme népérien : .......................................................................................... 25 4.3.3. Autres fonctions ................................................................................................... 25 4.4. Fonctions de la trigonométrie circulaire .................................................................. 26 4.4.1. Cosinus : ................................................................................................................ 26 4.4.2. Sinus : ..................................................................................................................... 26 4.4.3. Tangente : .............................................................................................................. 27 4.4.4. Cotangente : .......................................................................................................... 27 4.5. Fonction réciproque de la trigonométrie circulaire ............................................... 27 4.5.1. ArcCosinus : .......................................................................................................... 27 4.5.2. ArcSinus : .............................................................................................................. 27 4.5.3. ArcTangente : ........................................................................................................... 28 4.5.4. ArcCoTangente : ...................................................................................................... 28 4.6. Trigonométrie Hyperbolique : .................................................................................. 28 4.6.1. Cosinus hyperbolique : ........................................................................................ 28 4.6.2. Sinus hyperbolique : ............................................................................................ 28 4.6.3. tangente hyperbolique : .......................................................................................... 29 4.6.4. Cotangente hyperbolique : ..................................................................................... 29 4.7. Fonctions inverses de la trigonométrie hyperbolique : ......................................... 29 4.7.1. Argument cosinus hyperbolique : ..................................................................... 29 4.7.2. Argument sinus hyperbolique : ......................................................................... 30 4.7.3. Argument tangente hyperbolique : ................................................................... 30 4.7.4. Argument Cotangente hyperbolique : .............................................................. 31 4.8. Propriétés élémentaires des fonctions trigonométrique : ..................................... 32 Page 5 1. LIMITES 1.1. GENERALITE Soit et intervalle ouvert : Croissante ( ( ( 2. Décroissante ( ( ( 3. Paire ( ) ( ( 4. Impaire ( ) ( ( 5. Périodique ( ( ( Note : la plus petite période strictement positive est appelée la période fondamentale Remarque : Soit , ( Preuve : soit on a * + / D’où avec : D’où [ ] , on a ( ( ( 1.2. DEFINITION ET PROPRIETES DES LIMITES 1.2.1. DEFINITION : Soit une fonction, point d’accumulation de On dit que admet une limite dans quand ssi : / ( On écrit : ( 1.2.2. THEOREME : Soit une fonction, point d’accumulation de : Si ( alors est unique Page 6 Preuve : Supposons / ( ( et Donc d’une part : ( D’une autre part : ( On prend ( d’où ( ( On prend donc ( et ( Impossible ! 1.2.3. LIMITE A GAUCHE, A DROITE Soit une fonction, point d’accumulation de : ( ( ( ( 1.2.4. THEOREME 2 : Soit une fonction, point d’accumulation de : ( ( ( 1.2.5. AUTRE TYPE DE LIMITES Sachant que tout ensemble { } est un voisinage de et tous ensemble { } est un voisinage de on peut définir : 1. ( ( 2. ( ( 3. ( ( Page 7 1.3. OPERATIONS SUR LES LIMITES : Soient et deux fonctions de ; Soient ( { } On pose ( et ( 1. ( ( ( ) Forme indéterminée Si : ( ) ou ( ) 2. ( ( ( ) Forme indéterminée Si : ( ) ou( ) 3. ( ( Forme indéterminée Si :( ) ou( ) 4. ( ( ( ( ( avec ( Forme indéterminée Si : ( ) ou( ) 1.4. PROPOSITION 1 ( ( (équivalence que si ) 1.5. LIMITE ET RELATION D’ORDRE Soient et deux fonctions de , , on suppose tel que ( ( 1. Si ( et ( alors 2. Si ( alors ( 3. Si ( alors ( 1.6. PROPOSITION 4 Si ( et ( alors ( ( ( 1.7. THEOREME Soit une fonctions de , ( ( ( ( ( ( ( ( est dite : Suite image de ( par Page 8 Utilité : Ce théorème est utilisé pour montrer que f n’admet pas une limite en a, puisqu’il suffit de trouver deux suites ( ( suites de tendant vers a tel que : ( ( Ou ( ( Preuve : Soit / ( D’où / Et par définition de la limite : ( On a ( d’où ( Par l’absurde : Supposons que ( ( ( et ( ( ( Posons et on a donc et ( Impossible ! Contradiction avec le fait que ( Exemple d’application : Soit ( ( ) , admet-elle une limite en 0 ? On définit et On a et Et on a ( ( ( ( ( ( D’où n’admet pas de limite en 0 1.8. PROPRIETE Soit et Si ( est bornée au voisinage de Preuve : -Pour : ( ( D’où ] [ ( -Pour ( ( D’où on a : ( Page 9 2. CONTINUITE 2.1. DEFINITION : CONTINUITE A DROITE ET A GAUCHE Soit une fonction et . On dit que est continue en ssi : ( ( On définit aussi la notion de continuité à droite et à gauche : (  est continue à droite de 2. (  est continue à droite de 2.2. PROPOSITION : 1. est continue en  est continue à droite et à gauche de / 2. Si est à la frontière de alors il suffit qu’elle soit continue d’un seul coté Exemple : 1.√ est fonction continue en 0 (malgré l’inexistence d’une continuité à gauche) 2. Soit ( [ ] cette fonction est continue en tout point de mais elle est discontinue en (continuité à droite et non à gauche puisque ( et ( or ( ). 2.3. OPERATION SUR LES FONCTIONS CONTINUES 1. Soit deux fonctions continues en donc et sont continues en 2. Si est continue en et est continue en ( alors ( ( est continue en 2.4. DEFINITION : CONTINUITE SUR UN INTERVALLE Soit ( ̅ et 1. On dit que est continue sur ] [ si et seulement si est continue en tout point de ] [. 2. On dit que est continue sur [ ] si et seulement si est continue sur ] [, à droite de et à gauche de . Page 10 2.5. THEOREME 1 : Si est une fonction continue sur ( est intervalle) alors ( est un intervalle. Preuve : Soit fonction continue sur I intervalle quelconque de , soient ( , et soit [ ], en utilisant le Théorème 3 et comme intervalle prend toutes les valeurs entre [ ] ainsi ( d’où ( intervalle. 2.6. THEOREME 2 : DES VALEURS INTERMEDIAIRES Soit une fonction continue sur [ ] , et ( ( ] [ ( Preuve : On a ( ( , on définit { [ ] ( } On a borné, on suppose que ( ( Comme alors ( On pose ( Supposons que c.-à-d. ( on a Comme [ ] continue sur ce segment alors ( ( Comme ( et garde sont uploads/Philosophie/ fonction-d-x27-une-variable-reelle-analyse.pdf