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Topologie générale Notes provisoires Pierre Mathonet Faculté des Sciences Dépar

Topologie générale Notes provisoires Pierre Mathonet Faculté des Sciences Département de Mathématique Année académique 2013-2014 Introduction Ce cours est une introduction à la topologie générale. Cette branche des mathématiques a pour objet principal l’étude abstraite de notions telles que la continuité, la convergence, la compacité, la connexité etc... et généralise les notions qui sont utilisées en analyse, dans le cas particulier la topologie euclidienne. Dans le premier chapitre, on déﬁnit la notion de topologie sur un en- semble quelconque X. Il s’agit de se donner une collection de sous-ensembles de X que l’on appellera ouverts, et qui doivent avoir les propriétés bien connues des ouverts euclidiens en termes d’unions et d’intersections. Le fait étonnant est que ces simples propriétés des ouverts permettent de recons- truire une bonne partie des notions vues en analyse à l’aide de la distance euclidienne dans Rn (intérieur, adhérence, frontière, continuité, connexité, compacité), tout en gardant de bonnes propriétés. Dans ce même chapitre, on passera également en revue diﬀérentes mé- thodes pour déﬁnir une topologie sur un ensemble (par les fermés, par les systèmes de voisinages, par une base, par une sous-base), on déﬁnira les no- tions élémentaires d’intérieur, d’adhérence et de frontière ou d’applications continues. On introduira diﬀérentes constructions d’espaces topologiques (les sous- espaces, les produits et les quotients). Enﬁn, on appliquera les diﬀérents résultats dans une étude sommaire des groupes topologiques et de leurs actions. Dans le deuxième chapitre, on introduit quelques propriétés supplémen- taires des espaces topologiques. Il s’agit de propriétés de dénombrabilité, ainsi que de propriétés de séparation (encore appelées axiomes). La déﬁ- nition extrêmement générale et peu restrictive des topologies ne permet en eﬀet pas d’obtenir certains résultats qui seront fondamentaux dans les applications de la topologie. On étudiera le comportement de ces proprié- tés vis-à-vis des constructions de topologies citées plus haut et on étudiera quelques théorèmes importants pour les espaces normaux en particulier. Enﬁn, les chapitres 3 et 4 sont consacrés aux notions de compacité et de connexité des espaces topologiques, ainsi qu’aux notions semblables. Pour rompre avec la tradition consistant à omettre les références biblio- graphiques dans les notes de cours, je voudrais mentionner quelques ouvrages 1 classiques. Ces notes sont basées essentiellement sur le cours de topologie du professeur Marc De Wilde [2]. J’ai donné des détails et développé certains aspects en consultant notamment les ouvrages suivants. Le livre [5] est très complet et couvre bien plus que le contenu de ce cours. L’ouvrage [4] est classique. Citons également [1], qui est cependant assez ardu. J’ai aussi re- gardé un ouvrage moins classique et plus abordable disponible sur le web, sur demande à l’auteur [3]. Je compléterai cette bibliographie dans les versions suivantes de ce cours. Université de Liège (ULg), Fac. des Sciences, Dépt. de Mathématique 2 Chapitre 1 Espaces topologiques Dans ce chapitre, nous allons déﬁnir le concept de topologie en général, et passer en revue plusieurs moyens de se donner une topologie sur un ensemble X quelconque. Nous généraliserons ensuite les notions étudiées dans le cours de première année, telles que l’intérieur, l’adhérence, la frontière d’un en- semble, ou les applications continues. Nous introduirons des constructions classiques en topologie qui permettent de déﬁnir de nouvelles topologies à partir d’anciennes : les sous-espaces, les produits et les quotients. Nous appliquerons ensuite les quelques résultats obtenus pour étudier quelques propriétés des groupes topologiques et de leurs actions. 1.1 Topologies Donnons la déﬁnition d’une topologie. Comme souvent, nous ne déﬁnis- sons pas un exemple particulier, mais les conditions qui font d’un ensemble une topologie. Déﬁnition 1.1.1. Une topologie sur un ensemble X est une partie T de 2X telle que • Toute union d’éléments de T est un élément de T ; • Toute intersection ﬁnie d’éléments de T est un élément de T . Les éléments de T sont appelés ouverts. Un couple (X, T ) formé d’un en- semble X et d’une topologie T sur X est appelé espace topologique. Dans cette déﬁnition, parmi les unions quelconques d’éléments de T , il y a l’union sur la famille vide, qui est l’ensemble vide. Parmi les intersections ﬁnies, il y a l’intersection sur la famille vide, qui est X. On peut donc reformuler la déﬁnition comme suit. Déﬁnition 1.1.2. Une topologie sur un ensemble X est une partie T de 2X telle que • L’ensemble T contient ∅et X ; 3 Chapitre 1. Espaces topologiques • Toute union (non triviale) d’éléments de T est un élément de T ; • L’intersection de deux éléments quelconques de T appartient à T . Voici quelques exemples. Exemple 1.1.1. 1. L’ensemble T = {∅, X} est la topologie triviale sur X ; 2. L’ensemble T = 2X est la topologie discrète sur X ; 3. La topologie euclidienne de Rn, notée E est constituée des sous-ensem- bles ω de Rn tels que, pour tout x ∈ω, il existe une boule ouverte bx,r a de centre x et de rayon r strictement positif telle que bx,r ⊂ω. Cette déﬁnition peut être étendue à tout espace muni d’une distance ou d’une pseudo-distance. 4. La topologie coﬁnie sur un ensemble X est déﬁnie par Tcof = {∅} ∪{ω ⊂X : X \ ω est ﬁni}. 5. Si (X, T ) est un espace topologique et Y un sous-ensemble de X, alors la topologie induite par (X, T ) sur Y est {Ω∩Y : Ω∈T }. Nous passons maintenant en revue divers moyens de se donner une topo- logie. Ce sont les systèmes de voisinages, les bases de topologie, les sous-bases et les fermés. Dans chaque cas, nous aurons deux types de résultats : étant donné un espace topologique, on déﬁnira la notion concernée et ses proprié- tés, ensuite on montrera qu’un objet ayant ces propriétés déﬁnit une seule topologie. Nous commençons par les voisinages. Déﬁnition 1.1.3. Soient (X, T ) un espace topologique et x ∈X. Un sous- ensemble V de X est un voisinage de x s’il existe ω ∈T tel que x ∈ω ⊂V . On appelle système de voisinages de x et on note Vx l’ensemble des voisinages de x. On appelle base de voisinages de x tout sous-ensemble Bx ⊂Vx tel que pour tout V ∈Vx il existe B ∈Bx tel que B ⊂V . Par exemple, dans (Rn, E) une boule ouverte, ou fermée centrée sur x et de rayon strictement positif est un voisinage de x. Plus généralement, on peut montrer qu’une partie V de Rn est un voisinage de x si, et seulement si, V contient une boule ouverte centrée sur x, ou une boule fermée centrée sur x (de rayon strictement positif). L’ensemble Bx (resp. B′ x) formé des boules ouvertes (resp. fermées) de rayon strictement positif constitue une base de voisinages de x. On montre facilement que pour toute suite (rn)n∈N de nombres strictement positifs qui converge vers 0, l’ensemble des boules ouvertes (ou fermées) centrées sur x et de rayon rn est une base de voisinages de x. a. On déﬁnit bx,r = {y ∈Rn : |y −x| < r}. Université de Liège (ULg), Fac. des Sciences, Dépt. de Mathématique 4 Chapitre 1. Espaces topologiques Pour la topologie discrète sur un ensemble X, on constate que Vx est l’ensemble des parties de X contenant x, et que Bx = {{x}} est une base de voisinages de x, quel que soit x ∈X. Pour l’ensemble X = {a, b, c, d} muni de la topologie T = {∅, X, {a}, {a, b, c}, {b, c}, {b, c, d}}, on a Vd = {{b, c, d}, X} tandis que Va est l’ensemble des parties de X qui contiennent a. Le lien fondamental entre ouverts et voisinages est donné par la propo- sition suivante. Proposition 1.1.1. Soit (X, T ) un espace topologique. Une partie A de X est ouverte si, et seulement si pour tout x ∈A, on a A ∈Vx. b Nous utiliserons très fréquemment ce proposition pour démontrer qu’un ensemble est ouvert. Démonstration. Pour tout Ω∈T , et tout x ∈Ω, on a x ∈Ω⊂Ω, donc Ω est voisinage de x. Inversement, si pour tout x ∈V , il existe ωx ∈T tel que x ∈ωx ⊂V , alors on a V = ∪x∈V ωx, et V est ouvert. La proposition suivante donne les propriétés des systèmes de voisinages. Proposition 1.1.2. Soit (X, T ) un espace topologique. Les systèmes de voisinages déﬁnis par T ont les propriétés suivantes : 1. Pour tout V ∈Vx, on a x ∈V ; 2. Si V ∈Vx et W ∈Vx, alors on a V ∩W ∈Vx ; 3. Pour tout x ∈X, on a X ∈Vx ; 4. Si V ∈Vx et V ⊂W, alors W ∈Vx ; 5. Si V ∈Vx, il existe V ′ ∈Vx tel que pour tout y ∈V ′, on a V ∈Vy. Démonstration. Soient x ∈X et V ∈Vx. Il existe ω ∈T tel que x ∈ω ⊂V . Cela montre en particulier que x est dans V . Si W ∈Vx, alors il existe ω′ ∈T tel que x uploads/Philosophie/ topologie-ulg.pdf