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Cours : Introduction à la Mécanique Analytique et à la Relativité Restreinte M.

Cours : Introduction à la Mécanique Analytique et à la Relativité Restreinte M. BOURICH (ENSAM) Deuxième édition 2014 Avant–propos Ce manuel de cours est une initiation aux concepts de la mécanique analytique et de la relativité restreinte. Il s’adresse aux étudiants des classes préparatoires de l’École Nationale des Sciences Appliquées et également aux étudiants de la deuxième année de la faculté. L'ambition de ce cours est de permettre une introduction aussi complète que possible aux bases de ces deux approches fécondes de la mécanique classique, ainsi que certaines de leurs applications. Pour une bonne compréhension des concepts de la mécanique analytique et de la relativité restreinte, la maîtrise des outils mathématiques usuels de la Physique, notamment des équations différentielles ; ainsi qu’une bonne connaissance de la mécanique newtonienne sont indispensables. L’introduction des concepts de la mécanique analytique et de la relativité restreinte est accompagnée par une brève évolution dans le temps, de la sorte que l’étudiant pourra relater les événements marquants de l’histoire de la mécanique théorique. Afin de mettre le lecteur en situation d’épreuve, de nombreux exercices résolus sont proposés. Pour l’élaboration de ce cours polycopié, j’ai utilisé de nombreux ouvrages, sites Web et quelques documents de mon cher enseignant Monsieur M. Hasnaoui qui sont d’ailleurs cités en bibliographie. Gageons que ce cours constituera un précieux outil pédagogique pour les étudiants, tant pour une préparation efficace des examens que pour l’acquisition d’une solide culture scientifique. M.Bourich Illustration de couverture : Ondes gravitationnelles : deux astres massifs qui se tournent autour, engendrent des vagues dans l’espace-temps qui se propagent toutes seules. (Source : http://www.actusf.com/spip/L-actu-des-sciences) La relativité générale est la meilleure théorie de la gravitation que nous connaissions. Elle décrit la force gravitationnelle, qui domine l’Univers à grande échelle, comme une courbure de l’espace-temps (figure de l’illustration de couverture). Certains phénomènes, comme la rotation de deux corps très massifs l’un autour de l’autre, peuvent générer des vagues dans l’espace-temps : on parle d’ondes gravitationnelles. Si l’existence de telles ondes a été prouvée en regardant les étoiles, plusieurs expériences tentent de mesurer le passage de ces ondes sur Terre, sans succès jusqu’à maintenant. Pilier des modèles cosmologiques, la relativité générale est une théorie déterministe, qui ne sait pas du tout décrire l’existence de fluctuations microscopiques aléatoires. Einstein formalisa sa théorie de la relativité générale en reliant la courbure de l’espace-temps et le champ gravitationnel. C’est comme si le poids de la matière, des corps célestes distend et déforme la trame de l’espace-temps. Et ce sont les déformations de l’espace-temps qui sont responsables de l’action de la force de gravitation. Donc pour Einstein, il y a uniquement des mouvements relatifs de corps par rapport à d’autres qui par leur simple mouvement dilatent et rétrécissent l’espace et le temps. Pour Einstein les objets physiques ne sont pas dans l’espace, les objets physiques ont une étendue spatiale. Vu comme ça, pour Einstein, le concept d’espace vide perd son sens. Tables des matières Avant Propos .................................................................................................................................................................................................... 2 INTRODUCTION À LA MÉCANIQUE ANALYTIQUE ........................................................................................................................................................... 8 I- APPROCHE HISTORIQUE ....................................................................................................................................................................................... 8 II- LAGRANGIEN ET ÉQUATION DE LAGRANGE ............................................................................................................................................................. 8 1- Introduction ............................................................................................................................................................................................. 8 2- Les coordonnées généralisées .......................................................................................................................................................... 8 2- Lagrangien .............................................................................................................................................................................................. 9 2-1 Définition ................................................................................................................................................................................................ 9 2-2 Exemples ............................................................................................................................................................................................... 9 3- Équations de Lagrange ........................................................................................................................................................................ 10 3-1 Introduction .......................................................................................................................................................................................... 10 3-2 Définition .............................................................................................................................................................................................. 10 4-Impulsion généralisée........................................................................................................................................................................... 10 III. HAMILTONIEN ET ÉQUATIONS CANONIQUES ........................................................................................................................................................... 11 1- Approche historique .............................................................................................................................................................................. 11 2- Espace des phases ............................................................................................................................................................................... 12 2-1 Introduction .......................................................................................................................................................................................... 12 2-2 Définition .............................................................................................................................................................................................. 12 3- Hamiltonien ............................................................................................................................................................................................ 13 3-1 Définition ............................................................................................................................................................................................... 13 3-2 Systèmes naturels ............................................................................................................................................................................. 13 4-Équations canoniques (équations de Hamilton-Jacobi) ................................................................................................................ 13 IV- LOIS DE CONSERVATION DANS UN RÉFÉRENTIEL GALILÉEN .................................................................................................................................... 14 1- Conservation de l’énergie .................................................................................................................................................................... 14 2-Conservation des moments conjugués ............................................................................................................................................. 14 V- PARTICULE CHARGÉE DANS UN CHAMP ÉLECTROMAGNÉTIQUE ................................................................................................................................ 15 1- Le lagrangien de cette particule ........................................................................................................................................................ 15 2-Impulsion d’une particule dans un champ électromagnétique .................................................................................................... 15 3- Hamiltonien d’une particule chargée ............................................................................................................................................... 16 VI- LE PRINCIPE DE MOINDRE ACTION ...................................................................................................................................................................... 16 1- Introduction ............................................................................................................................................................................................ 16 2- Postulats de la physique ..................................................................................................................................................................... 16 3- Énoncé du principe de moindre action ............................................................................................................................................ 16 4- L’action ................................................................................................................................................................................................... 16 5- Les équations de Lagrange ................................................................................................................................................................ 17 EXERCICES D’APPLICATION RÉSOLUS............................................................................................................................................................................ 18 EXERCICES COMPLÉMENTAIRES ................................................................................................................................................................................... 27 INTRODUCTION A LA RELATIVITÉ RESTREINTE ......................................................................................................................................................... 31 I- Aproche historique ..................................................................................................................................................................................... 31 II- Notion d’Événement .................................................................................................................................................................................. 31 1- Définition ................................................................................................................................................................................................. 31 2- Transformation de Galilée ................................................................................................................................................................. 32 III- Hypothèses Fondamentales de la Cinématique Relativiste ............................................................................................................ 33 1- Introduction ........................................................................................................................................................................................... 33 2- Interprétation d’Einstein - Postulats de la relativité restreinte ............................................................................................... 33 Les deux postulats de la relativité restreinte sont les suivants : ................................................................................................. 33 IV- Transformation spéciale de Lorentz ................................................................................................................................................... 34 1- Introduction ........................................................................................................................................................................................... 34 2- Intervalle entre deux événements quelconques ........................................................................................................................... 35 3- La transformation spéciale de Lorentz .......................................................................................................................................... 35 4- Dilatation des temps et contraction des longueurs .................................................................................................................... 37 V- Cinématique relativiste et notions de quadrivecteurs .................................................................................................................... 39 1- Changement de référentiel galiléen ................................................................................................................................................. 39 2- Notion de quadrivecteur vitesse propre ........................................................................................................................................ 40 3- Transformation du quadrivecteur vitesse propre lors du changement de référentiel galiléen ....................................... 42 4- Quadrivecteur accélération propre ................................................................................................................................................ 43 VI- Dynamique relativiste du point matériel et quadrivecteur impulsion énergie .......................................................................... 43 1- Introduction ........................................................................................................................................................................................... 43 2- Limite de la mécanique newtonienne .............................................................................................................................................. 43 3- Relation fondamentale et quadrivecteur impulsion énergie ..................................................................................................... 44 VII- Le paradoxe des jumeaux ..................................................................................................................................................................... 46 EXERCICES D’APPLICATION RÉSOLUS........................................................................................................................................................................... 48 BIBLIOGRAPHIE ......................................................................................................................................................................................................... 53 Introduction à la mécanique analytique M.BOURICH 6 1 Partie Introduction à la mécanique analytique Introduction à la mécanique analytique M.BOURICH 7 Objectifs : Découvrir une première introduction aux concepts de la mécanique analytique, maîtriser les fondements de la mécanique analytique et savoir les appliquer, Comprendre le principe variationnel et la formulation langrangienne, Dériver les équations d’Euler-Lagrange pour un Lagrangien donné, Comprendre la formulation hamiltonienne. Pré-requis : Bonne maîtrise des outils mathématiques usuels de la physique, notamment la résolution des équations différentielles, Une bonne maîtrise des concepts de la mécanique newtonienne. Joseph-Louis Lagrange : (1736-1813) Lagrange réalise, dans sa Mécanique analytique, dont la première édition est datée de 1788, le projet, conçu et partiellement mis en œuvre par Euler, d'un unique traité de science rationnelle (analytice exposita) englobant toutes les branches de la mécanique : statique et hydrostatique, dynamique et hydrodynamique. La lecture de Lagrange était universelle ; il avait, outre les œuvres de ses contemporains, étudié avec une remarquable objectivité les travaux de tous les précurseurs anciens et modernes connus de son temps, comme en font foi les notices historiques dont il enrichit son traité. De cette lecture, Lagrange élimine les balbutiements et les contradictions qui abondent chez les précurseurs. Adoptant les concepts et les postulats des grands créateurs du siècle précédent (Galilée, Huyghens, Newton) et dépassant Euler et d'Alembert, Lagrange se préoccupe avant tout d'organiser la mécanique, d'en fondre les principes, d'en perfectionner la langue mathématique, d'en dégager une méthode analytique générale de résolution des problèmes. Sa clarté d'esprit, son génie mathématique le servent à tel point qu'il parvient à une codification quasi parfaite de la mécanique dans le champ classique. Introduction à la mécanique analytique M.BOURICH 8 INTRODUCTION À LA MÉCANIQUE ANALYTIQUE I- APPROCHE HISTORIQUE La mécanique analytique est une branche de la mécanique, dont elle constitue une formulation très mathématisée et de portée très générale. La mécanique analytique s'est avérée un outil très important en physique théorique. En particulier, la mécanique quantique emprunte énormément au formalisme de la mécanique analytique. Contrairement à la mécanique d'Isaac Newton qui s'appuie sur le concept de point matériel, la mécanique analytique se penche sur les systèmes arbitrairement complexes, et étudie l'évolution de leurs degrés de libertés dans ce qu'on appelle un espace de configuration. Les lois du mouvement sont quant à elles déduites d'un principe variationnel qui, appliqué à une grandeur appelée action, donne le principe de moindre action. En substance, le principe de moindre action énonce que parmi toutes les trajectoires possibles pour relier deux points de l'espace de configuration, celle qui est effectivement parcourue par le système est celle qui donne une valeur extrémale à l'action. II- LAGRANGIEN ET ÉQUATION DE LAGRANGE 1- Introduction Pour un système physique, on distingue les conditions physiques qui s'exercent sur lui de ses contraintes propres qui sont des hypothèses de rigidités, de limitations de son cadre d'évolution, etc. Les contraintes du système introduisent des dépendances entre les coordonnées, et font baisser le nombre de variables numériques (coordonnées) nécessaires à sa description. Tenant compte de cela les conditions physiques déterminent l'évolution temporelle des coordonnées. 2- Les coordonnées généralisées On appelle coordonnées généralisées d'un système physique un ensemble de variables réelles, qui ne correspondent pas toutes à des coordonnées cartésiennes (par exemple : angles, positions relatives), et permettant de décrire ce système, en particulier dans le cadre de la mécanique lagrangienne. Le terme « généralisées » vient de l'époque où les coordonnées cartésiennes étaient considérées comme étant les coordonnées normales ou naturelles. Le mouvement d’un système matériel peut être étudié par un formalisme analytique développé par Lagrange et Hamilton. Ce formalisme, s’appuyant sur la notion de coordonnées généralisées, permet l’extension de la mécanique aux autres uploads/Philosophie/ cours-exercice-meecanique-analytique.pdf