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Lycée :Otman chatti M’saken Année Scolaire : 2010-2011 Prof : Salah mohsen Clas

Lycée :Otman chatti M’saken Année Scolaire : 2010-2011 Prof : Salah mohsen Classe :4ième Sc MATHEMATIQUES DEVOIR DE CONTROLE N°1 Durée : 2heures Exercice 1 : Soit la fonction f définie sur  par                       2 1 cos ( ) 1 ] ,0[ 9 ( ) 2 ² [0, [ 4 x f x si x x f x x x si x 1. a) Montrer que pour tout x< 0 on a   2 2 0 ( ) 1 f x x b) En déduire lim ( ) x f x  2. a)Calculer ( ) lim , lim lim ( ( ) ) x x x f x f et f x x x     b) Etudier la continuité de f en 0 3. a) Justifier la continuité de f sur   0, b) Montrer que f est strictement croissante sur   0, c) Déterminer     0,2 f ,en déduire que l équation  2 7 0 f x   admet une unique solution   0,2  Exercice 2 : Soient les deux suites (un) et (vn) définies sur IN par :              2 v u v u v u 2 de n tou pour 2 1 u n n n n n n 0 1 n 1 n 0 v et u lN, v et 1. a) Montrer que pour tout n  IN on a: : un > 0 et vn > 0. b) Démontrer que l'on a : Pour tout n de IN ; un < vn. 2. a) Montrer que la suite (un) est croissante et que la suite (vn) est décroissante b) En déduire que (un) et (vn) sont convergentes. On posera :  = lim n un et '= lim n vn . 3. On considère la suite (wn) définie sur IN par wn = vn-un . a) Montrer que pour tout n de IN ; wn+1 1 2  wn. b) En déduire que pour tout n de IN ; wn ( 1 2 )n. c) En déduire que ='. 4. a) Montrer que pour tout n de IN ; un.vn = 2. b En déduire la valeur de  Exercice 3: 1. Soit z le nombre complexe de module π 3 - 1 et d'argument 3 . a ) Donner la forme cartésienne de z . b) Vérifier que : 1-z = ) )( ( i 1 3 3 2 1   . c) Calculer le module et un argument de 1-z . 2. a) Représenter dans le plan complexe les points A ; B et C d’affixes respectives : 1 , z , 1-z b) Quelle est la nature du quadrilatère OBAC ? 3. Soit S =1+ z + z² +z3 +z 4 + z 5. a) Vérifier que S(1-z)=1-z6, b) En déduire un argument de S. Exercice 4 : Le plan orienté est rapporté à un repère orthonormé(O,U, V)    . A tout point M d’affixe z -i  , on associe le point M’ d’affixe : z’ = z+2i 1-iz et soient les points B et C d’affixes respectives -i et -2i . 1. a) Vérifier que pour z -i  on à : z+2i -iz' = z+i b) En déduire l’ensemble des points M tels que z’ soit réel 2. a)Montrer que : z’ = CM BM b) En déduire l’ensemble des points M lorsque M’ varie sur le cercle trigonométrique. 3. Soit le nombre complexe : W = z’-i z-i ; z\{-i,i} a) Vérifier que pour tout nombre complexe z on à (z-i)(1-iz) = -i(z²+1) . b) En déduire que W = -1 z²+1 . 4. On pose z = ei;  ,π 0 2       a) Vérifier que W = -e-i ei+e-i b) En déduire en fonction de  le module et un argument de W. uploads/Philosophie/ devoir-de-controle-n01-math-bac-sciences-exp-2010-2011-mr-salah-mohsen.pdf