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Lycée Louis-Le-Grand, Paris Année 2018/2019 Exercices de mathématiques MPSI 4 A

Lycée Louis-Le-Grand, Paris Année 2018/2019 Exercices de mathématiques MPSI 4 Alain TROESCH Version du: 2 septembre 2018 Table des matières 1 Logique et raisonnements 3 2 Ensembles 8 3 Applications 11 4 Sommes, binôme 15 5 Relations 19 6 Nombres réels 24 7 Nombres complexes 29 8 Limites, dérivation 36 9 Fonctions usuelles 41 10 Calcul intégral 44 11 Équations diﬀérentielles linéaires 48 12 Suites 50 13 Calcul asymptotique 57 14 Approximations polynomiales 62 15 Séries numériques 67 16 Continuité et dérivabilité sur un intervalle 72 17 Intégration 77 18 Pivot de Gauss 81 19 Structures algébriques 83 20 Groupes symétriques 89 Table des matières 2 21 Arithmétique 91 22 Polynômes et fractions rationnelles 96 23 Espaces vectoriels 101 24 Applications linéaires 105 25 Matrices 110 26 Déterminants 121 27 Algèbre bilinéaire 125 28 Combinatoire 132 29 Espaces probabilisés, calculs de probabilité 137 30 Variables aléatoires 142 1 Logique et raisonnements Manipulation d’expressions logiques formelles Exercice 1.1 – Soit R, S et T des propositions. Montrer à l’aide de tables de vérité, puis par un ☆☆☆☆ raisonnement déductif, que les propositions suivantes sont vraies : 1. R Ô ⇒(S Ô ⇒R). 2. (R Ô ⇒S) Ô ⇒((S Ô ⇒T ) Ô ⇒(R Ô ⇒T )). 3. (R ∨S) ⇐ ⇒((R Ô ⇒S) Ô ⇒S). 4. (R Ô ⇒(S ∨T )) ⇐ ⇒(S ∨¬R ∨T ). 5. (R Ô ⇒S) Ô ⇒((R ∧T ) Ô ⇒(S ∧T )). 6. (R ⇐ ⇒S) Ô ⇒((T Ô ⇒R) ⇐ ⇒(T Ô ⇒S)). Exercice 1.2 – ☆☆☆☆ Nier formellement les propositions suivantes. 1. ∀x ∈A, ∃y ∈B, (P(y) Ô ⇒Q(x,y)) ; 2. ∀x ∈A, ((∃y ∈B, P(y)) Ô ⇒Q(x,y)) ; 3. (A Ô ⇒(∀x, B(x))) ⇐ ⇒(∀y, C(y)) ; 4. A Ô ⇒((∀x, B(x)) ⇐ ⇒(∀y, C(y))) ; 5. A Ô ⇒(∀x, (B(x) ⇐ ⇒(∀y, C(y)))). Exercice 1.3 – Négations logiques ★☆☆☆ Nier formellement les propositions suivantes : 1. ((A ∨B) Ô ⇒C) Ô ⇒(D ∧E) ; 2. (A Ô ⇒B) ⇐ ⇒(A Ô ⇒¬C) ; 3. ∀x ∈E, ∃y ∈E, A(x,y) ∨B(x) ; 4. (∃x ∈E, A(x)) Ô ⇒(∀x ∈E, A(x)) ; 5. ∃x ∈E, A ⇐ ⇒(∃y ∈E, A(x,y) ∧B(y)) ; 6. ∃!x, A(x). Exercice 1.4 – Nier les propositions suivantes : ☆☆☆☆ 1. ∀x ∈A, ∃y ∈B, (x ∈C et (x,y) ∈D) ou x / ∈C. 2. ∀x,∃y,((x,y) ∈A Ô ⇒x ∈B). 3. ∀x,((∃y,(x,y) ∈A) Ô ⇒x ∈B). 4. (A et (B Ô ⇒C)) ⇐ ⇒(B Ô ⇒(A ⇐ ⇒C)). Quelle diﬀérence de sens faites-vous entre les phrases 2 et 3 ? Exercice 1.5 – Donner la contraposée des expressions suivantes : ☆☆☆☆ 4 1. (A et (B ou C)) Ô ⇒(B ou (A et C)). 2. (∃!x,(x ∈A et x ∈B)) Ô ⇒(∀y,∃!x,(x ∈A et (y −x) ∈B)). Raisonnements par l’absurde et la contraposée Exercice 1.6 – Soient n un entier strictement positif, et pn, s’il existe, le n-ième nombre premier. ★★☆☆ 1. Montrer qu’il existe une inﬁnité de nombres premiers (considérer p1p2⋯pn + 1) 2. Montrer que pour tout entier n strictement positif, pn ⩽22n−1. Exercice 1.7 – Soient a et n ⩾2 deux entiers. Montrer les assertions suivantes. ★★☆☆ 1. Si an −1 est premier, alors a = 2 et n est premier. 2. Si an + 1 est premier, où a ⩾2, alors n est pair. 3. Si an + 1 est premier, où a ⩾2, alors a est pair et n est une puissance de 2. Exercice 1.8 – Soit p un nombre premier. Montrer que √p est irrationnel. Généraliser à √n, pour n ★☆☆☆ entier quelconque, lorsque n n’est pas un carré parfait. Exercice 1.9 – Soit n ∈N∗. Soient x1,... ,xn+1 des points de l’intervalle [0,1]. Montrer qu’il existe ★★☆☆ (i,j) ∈[[1,n + 1]]2 tel que i ≠j et ∣xi −xj∣⩽1 n. Exercice 1.10 – (Autour des triplets pythagoriciens) Soit (a,b,c) un triplet pythagoricien, c’est à dire un élément de (N∗)3 tel que a2 + b2 = c2. On suppose que a, b et c n’ont pas de diviseur commun. Montrer que c est impair. Exercice 1.11 – (Rallye mathématique d’Alsace 2012) ★★★☆ Dans un plan sont placés 66 points distincts. On trace toutes les droites déterminées par deux de ces points et on en compte 2012 distinctes. Justiﬁer que parmi ces 66 points, 4 au moins sont alignés. Analyse-Synthèse Exercice 1.12 – Deux joueurs s’aﬀrontent de la manière suivante : au début du jeu, ils disposent 100 ★★☆☆ allumettes sur la table. Ils jouent chacun à leur tour. À chaque étape, le joueur qui joue enlève au choix de 1 à 7 allumettes. Le joueur qui retire la dernière allumette gagne. 1. Montrer que le premier joueur a une stratégie gagnante, et décrire cette stratégie. 2. Généraliser à un nombre n quelconque d’allumettes, les joueurs pouvant enlever de 1 à k allumettes à chaque tour ((k,n) ∈(N∗)2). Exercice 1.13 – ☆☆☆☆ 1. Trouver les solutions de l’équation √ x(x −3) = √ 3x −5, x ∈R. 2. De même avec l’équation (xx)x = xxx, x ∈R∗ + Exercice 1.14 – ★☆☆☆ 1. Montrer que toute fonction continue f ∶[0,1] Ð →R s’écrit sous la forme f = g+c où ∫ 1 0 g(t) dt = 0 et c ∈R. Cette décomposition est-elle unique ? 2. Montrer que toute fonction continue f ∶[0,1] Ð →R s’écrit sous la forme f = g +h, où h ∶x ↦ax+b est une fonction polynomiale de degré au plus 1, et où pour toute fonction polynomiale P de degré au plus 1, ∫ 1 0 P(t)g(t) dt = 0. Cette décomposition est-elle unique ? Si oui, exprimer g, a et b en fonction de f. 5 Exercice 1.15 – Soit, pour tout x ∈R ∖{−1,1,2,5}, f(x) = 1 (x + 1)(x −1)(x −2)(x −5). ★☆☆☆ En évaluant (x + 1)f(x) en un réel bien choisi, montrer qu’il existe des réels uniques a, b, c et d que l’on déterminera, tels que : ∀x ∈R ∖{−1,1,2,5}, f(x) = a x + 1 + b x −1 + c x −2 + d x −5. Exercice 1.16 – Soit X = (x1,... ,xn) un vecteur de Rn tel que x1+⋯+xn ≠0. et soit H le sous-ensemble ★☆☆☆ de Rn déﬁni par : H = {Y = (y1,... ,yn) ∈Rn ∣y1 + ⋯+ yn = 0.} Montrer que tout vecteur Z de Rn se décompose sous la forme Z = λX + Y , où λ ∈R et Y ∈H. Justiﬁer que cette décomposition est unique. Exercice 1.17 – (d’après Rallye mathématique d’Alsace 2012) ★★★☆ 1. Mon code secret de téléphone portable est composé de quatre chiﬀres diﬀérents et tous non nuls. Quand j’eﬀectue la somme de tous les nombres possibles que je peux former avec deux de ces quatre chiﬀres (dans un sens ou dans un autre), je retrouve mon code. Quel est mon code ? 2. Oups, je m’étais trompé, il faut encore multiplier le résultat par 7 pour trouver mon code. Quel est mon code ? Récurrences Exercice 1.18 – Montrer que pour tout entier n positif, n4n+1 −(n + 1)4n + 1 est divisible par 9. ★★☆☆ Exercice 1.19 – Pour i1,⋯,in ⩾0 tels que i1 + ⋯+ in = k, on note ( k i1,⋯,in ) = k! i1!⋯in!. Par convention, ★★★☆ ( k i1,⋯,in ) est nul dans les autres cas. Montrer la formule du multinôme : ∀n ∈N, ∀(x1,⋯,xn) ∈Rn, ∀k ∈N, (x1 + ⋯+ xn)k = ∑ (i1,⋯,in)∈Nn tq i1+⋯+in=k ( k i1,⋯,in )xi1 1 ⋯xin n . Exercice 1.20 – Montrer que : ∀n ∈N∗, (2n 3 + 1 3)√n ⩽ n ∑ k=1 √ k ⩽(2n 3 + 1 2)√n. ★★★☆ En déduire la limite quand n tend vers l’inﬁni de la suite (un)n∈N∗déﬁnie pour tout n ∈N∗par : un = 1 n√n n ∑ k=1 √ k. Exercice 1.21 – (Suite harmonique) ★★☆☆ Soit Hn la suite harmonique, déﬁnie par : H0 = 0, et ∀n ∈N∗, Hn = n ∑ k=1 1 k . On rappelle que par convention, (n p) est nul si p > n. Montrer que : 1. ∀(m,n) ∈N2, n ∑ k=1 ( k m)Hk = (n + 1 m + 1)(Hn+1 − 1 m + 1), 2. ∀n ∈N∗, n ∑ k=1 Hk = (n + 1)Hn −n, 3. ∀n ∈N∗, n ∑ k=1 H2 k = (n + 1)H2 n −(2n + 1)Hn + 2n. 6 Exercice 1.22 – (Multiplication par la méthode dite « du paysan russe ») ★★☆☆ On propose l’algorithme suivant. Soient m et n deux entiers strictement positifs. Sur une première ligne, on écrit côte à côte m et n. Sur la ligne suivante, on écrit le quotient de la division euclidienne de m par 2 (on oublie donc les décimales) sous la valeur de m, et on écrit 2n sous la valeur de n. On continue ainsi : dans la première colonne, on passe d’une ligne à l’autre en divisant par 2, dans la deuxième colonne, on multiplie par 2. On s’arrête lorsqu’on a obtenu 1 dans la uploads/Philosophie/ exercices.pdf