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C h a p i t r e 1 L a l o g i q u e 1. L o g i q u e 1 . 1 . A s s e r t i o n

C h a p i t r e 1 L a l o g i q u e 1. L o g i q u e 1 . 1 . A s s e r t i o n s Une assertion est une phrase soit vraie, soit fausse, pas les deux en même temps. Exemples : – « Il pleut. » – « Je suis plus grand que toi. » – « 2+2 = 4 » – « 2×3 = 7 » – « Pour tout x ∈R, on a x2 Ê 0. » ( P r o p o s i t i o n s ) Si P est une assertion et Q est une autre assertion, nous allons déﬁnir de nouvelles assertions construites à partir de P et de Q. L’opérateur logique « et » L’assertion « P et Q » est vraie si P est vraie et Q est vraie. L’assertion « P et Q » est fausse sinon. On résume ceci en une table de vérité : P \ Q V F V V F F F F F I G U R E 1 – Table de vérité de « P et Q » Par exemple si P est l’assertion « Cette carte est un as » et Q l’assertion « Cette carte est cœur » alors l’assertion « P et Q » est vraie si la carte est l’as de cœur et est fausse pour toute autre carte. L’opérateur logique « ou » L’assertion « P ou Q » est vraie si l’une des deux assertions P ou Q est vraie. L’assertion « P ou Q » est fausse si les deux assertions P et Q sont fausses. On reprend ceci dans la table de vérité : P \ Q V F V V V F V F F I G U R E 2 – Table de vérité de « P ou Q » C o u r s d e 1 e r e S S c i e n c e s E x p i r é m e n t a l e s B I O F A . A F A A D A S a . a f a a d a s @ g m a i l . c o m Si P est l’assertion « Cette carte est un as » et Q l’assertion « Cette carte est cœur » alors l’assertion « P ou Q » est vraie si la carte est un as ou bien un cœur (en particulier elle est vraie pour l’as de cœur). Remarque Pour déﬁnir les opérateurs « ou », « et » on fait appel à une phrase en français utilisant les mots ou, et ! Les tables de vérités permettent d’éviter ce problème. La négation « non » L’assertion « non P » est vraie si P est fausse, et fausse si P est vraie. P V F non P F V F I G U R E 3 – Table de vérité de « non P » L’implication = ⇒ La déﬁnition mathématique est la suivante : L’assertion « (non P) ou Q » est notée « P = ⇒Q ». Sa table de vérité est donc la suivante : P \ Q V F V V F F V V F I G U R E 4 – Table de vérité de « P = ⇒Q » L’assertion « P = ⇒Q » se lit en français « P implique Q ». Elle se lit souvent aussi « si P est vraie alors Q est vraie » ou « si P alors Q ». Par exemple : – « 0 É x É 25 = ⇒px É 5 » est vraie (prendre la racine carrée). – « x ∈]−∞,−4[ = ⇒x2 +3x−4 > 0 » est vraie (étudier le binôme). – « sin(θ) = 0 = ⇒θ = 0 » est fausse (regarder pour θ = 2π par exemple). – p 2 = 2 » est vraie ! Eh oui, si P est fausse alors l’assertion « P = ⇒Q » est « 2 + 2 = 5 = ⇒ toujours vraie. L’équivalence ⇐ ⇒ L’équivalence est déﬁnie par : « P ⇐ ⇒Q » est l’assertion « (P = ⇒Q) et (Q = ⇒P) ». On dira « P est équivalent à Q » ou « P équivaut à Q » ou « P si et seulement si Q ». Cette assertion est vraie lorsque P et Q sont vraies ou lorsque P et Q sont fausses. La table de vérité est : P \ Q V F V V F F F V F I G U R E 5 – Table de vérité de « P ⇐ ⇒Q » C o u r s d e 1 e r e S S c i e n c e s E x p i r é m e n t a l e s B I O F A . A F A A D A S a . a f a a d a s @ g m a i l . c o m Exemples : – Pour x,x′ ∈R, l’équivalence « x· x′ = 0 ⇐ ⇒(x = 0 ou x′ = 0) » est vraie. – Voici une équivalence toujours fausse (quelque soit l’assertion P) : « P ⇐ ⇒non(P) ». On s’intéresse davantage aux assertions vraies qu’aux fausses, aussi dans la pratique et en dehors de ce chapitre on écrira « P ⇐ ⇒Q » ou « P = ⇒Q » uniquement lorsque ce sont des assertions vraies. Par exemple si l’on écrit « P ⇐ ⇒Q » cela sous-entend « P ⇐ ⇒Q est vraie ». Attention rien ne dit que P et Q soient vraies. Cela signiﬁe que P et Q sont vraies en même temps ou fausses en même temps. Proposition 1 Soient P,Q,R trois assertions. Nous avons les équivalences (vraies) suivantes : 1. P ⇐ ⇒non(non(P)) 2. (P et Q) ⇐ ⇒(Q et P) 3. (P ou Q) ⇐ ⇒(Q ou P) 4. non(P et Q) ⇐ ⇒(non P) ou (non Q) 5. 6. P et (Q ou R) non(P ou Q) ⇐ ⇒(non P) et (non Q) ¡ ¢ ⇐ ⇒(P et Q) ou (P et R) 7. ¡P ou (Q et R)¢ ⇐ ⇒(P ou Q) et (P ou R) 8. « P = ⇒Q » ⇐ ⇒« non(Q) = ⇒non(P) » Démonstration Voici des exemples de démonstrations : 4. Il sufﬁt de comparer les deux assertions « non(P et Q) » et « (non P) ou (non Q) » pour toutes les valeurs possibles de P et Q. Par exemple si P est vrai et Q est vrai alors « P et Q » est vrai donc « non(P et Q) » est faux ; d’autre part (non P) est faux, (non Q) est faux donc « (non P) ou (non Q) » est faux. Ainsi dans ce premier cas les assertions sont toutes les deux fausses. On dresse ainsi les deux tables de vérités et comme elles sont égales les deux assertions sont équivalentes. P \ Q V F V F V F V V F I G U R E 6 – Tables de vérité de « non(P et Q) » et de « (non P) ou (non Q) » 6. On fait la même chose mais il y a trois variables : P, Q, R. On compare donc les tables de vérité ¢ p d’abord dans le cas où P est vrai ¡ (à gauche), uis dans le cas où P est faux (à droite). Dans les deux cas les deux assertions « P et (Q ou R) » et « (P et Q) ou (P et R) » ont la même table de vérité donc les assertions sont équivalentes. Q \ R V F V V V F V F Q \ R V F V F F F F F 8. Par déﬁnition, l’implication « P = ⇒Q » est l’assertion « (non P) ou Q ». Donc l’implication « non(Q) = ⇒non(P) » est équivalente à « non(non(Q)) ou non(P) » qui équivaut encore à « Q ou non(P) » et donc est équivalente à « P = ⇒Q ». On aurait aussi pu encore une fois dresser les deux tables de vérité et voir quelles sont égales. C o u r s d e 1 e r e S S c i e n c e s E x p i r é m e n t a l e s B I O F A . A F A A D A S a . a f a a d a s @ g m a i l . c o m 1.2. Quantiﬁcateurs Le quantiﬁcateur ∀: « pour tout » Une assertion P peut dépendre d’un paramètre x, par exemple « x2 Ê 1 », l’assertion P(x) est uploads/Philosophie/ logique-mathematique-cours-fr-2.pdf