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Ressources mathématiques > Base de données d'exercices > Exercices d'analyse > Accéder à mon compte > Accéder à ma feuille d'exercices > Exercices corrigés - Nombres réels Techniques usuelles de majoration et de minoration Exercice 1 - Pour réviser... [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Encadrer , , et sachant que et . Indication Corrigé Exercice 2 - Somme, produit, carré [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Soit trois nombres réels. 1. Démontrer que . 2. Démontrer que . 3. Démontrer que . Indication Corrigé Exercice 3 - Des inéquations [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Déterminer les nombres réels solution des inéquations suivantes : Indication Corrigé Exercice 4 - Une équation avec des racines carrées [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Déterminer les réels tels que . Indication Corrigé Exercice 5 - Une inéquation avec des racines carrées [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Résoudre l'inéquation . Indication Corrigé Valeur absolue Exercice 6 - Maximum et valeur absolue [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Soient et deux nombres réels. Démontrer que Indication Corrigé On va séparer deux cas : Si , alors et donc . On a aussi et Si , alors et Dans ce cas Dans les deux cas, on a bien démontré la relation demandée. La démonstration pour le minimum est exactement similaire. Exercice 7 - Ordre et [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Démontrer les propositions suivantes : 1. Si est un réel tel que, pour tout , on ait , alors . 2. Si et sont deux réels tels que, pour tout , , alors . Indication Corrigé Exercice 8 - Egalités et inégalités avec des valeurs absolues [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Résoudre dans les équations et inéquations suivantes : Indication Corrigé Exercice 9 - Équation avec des valeurs absolues [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé On cherche à résoudre l'équation 1. On suppose . Simplifier et . En déduire les solutions de l'équation dans l'intervalle . 2. On suppose que . Simplifier et . En déduire les solutions de l'équation dans cet intervalle. 3. On suppose que . Simplifier et . En déduire les solutions de l'équation dans cet intervalle. 4. Conclure. Indication Corrigé Exercice 10 - Inégalités [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Résoudre dans ou les inégalités suivantes : Indication Corrigé Exercice 11 - Une inégalité [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Démontrer que, pour tout , . Indication Corrigé Exercice 12 - Égalités et inégalités avec des valeurs absolues [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Résoudre dans les équations et inéquations suivantes : Indication Corrigé Exercice 13 - Inégalités avec des valeurs absolues [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Soient et des réels. Démontrer les inégalités suivantes : Indication Corrigé 1. On écrit et . Par l'inégalité triangulaire, on obtient Il suffit de sommer ces deux inégalités pour trouver le résultat voulu. 2. Posons et . Alors 3. Une rapide étude montre que la fonction est croissante sur . Puisque , on en déduit que Exercice 14 - Inégalité avec un maximum et des valeurs absolues [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Soit deux réels non nuls. Démontrer que Indication Corrigé Partie entière Exercice 15 - Partie entière du successeur [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Démontrer que, pour tout , . Indication Corrigé Exercice 16 - Une somme avec des parties entières [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Soit un nombre réel. Pour , on pose et . 1. Démontrer que, pour tout , 2. En déduire la limite de la suite . Indication Corrigé Exercice 17 - Partie entière et somme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Soient deux réels. Prouver que Indication Corrigé Exercice 18 - Produit et division [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Soit et . Démontrer que Indication Corrigé Exercice 19 - Une somme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Calculer . Indication Corrigé Exercice 20 - Somme décalée [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Soit un nombre réel. 1. Démontrer que . 2. Plus généralement, démontrer que pour tout , Indication Corrigé Exercice 21 - Partie entière et somme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Soit des réels. Démontrer que Indication Corrigé Exercice 22 - Avec des racines carrées [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Soit . Vérifier que est un entier pair. En déduire que la partie entière de est un entier impair. Indication Corrigé Exercice 23 - Partie entière et racine carrée [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Pour , comparer et . Indication Corrigé Borne inférieure, borne supérieure Exercice 24 - Quelques exemples [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Soient deux réels strictement positifs. Les parties suivantes sont-elles majorées, minorées? Si oui, déterminer leurs bornes supérieures, inférieures. Indication Corrigé Dans la suite, on notera l'ensemble considéré. 1. Les éléments de sont , , . On a alors que est minoré par , et puisque , c'est la borne inférieure de . n'est pas majoré : on ne peut avoir pour tout , sinon on aurait et serait majoré. 2. Si est pair, et si est impair, . L'ensemble est donc constitué des deux élements et . Il est donc majoré, minoré, avec et . 3. Les éléments successifs de sont . On voit facilement que est majoré par et que est minoré par (on a bien pour tout ). De plus, est élément de , et donc . Enfin, prouvons que est la borne inférieure de . Si est un minorant de strictement supérieur à , alors pour tout , on a Comme n'est pas majoré, n'est pas un minorant de . est donc le plus grand des minorants de , c'est sa borne inférieure. 4. Les éléments successifs de sont . On remarque que est un minorant de , et en utilisant le raisonnement précédent (mais en se limitant aux entiers impairs), on prouve que . De plus, on a pour tout entier impair et pour tout entier pair. est donc un majorant de . C'est aussi un élément de , donc c'est sa borne supérieure. 5. Les éléments successifs de sont . On prouve alors que est un minorant de et que est un majorant de . Comme ils sont tous les deux élements de , ce sont respectivement la borne inférieure et la borne supérieure de . Exercice 25 - Des exemples [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Les ensembles suivants sont-ils majorés? minorés? Si oui, déterminer leur borne inférieure, leur borne supérieure. Indication Corrigé Exercice 26 - Atteint ou non? [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Les parties de suivantes sont elles-minorées, majorées? Dans chaque cas, déterminer s'il y a lieu la borne inférieure, la borne supérieure, et dire s'il s'agit d'un minimum ou d'un maximum. Indication Corrigé Commençons par . On a, pour tout , est donc minorée par et majorée par . Montrons que . Si est un minorant de , alors pour tout couple , on a Prenons , on obtient Comme ceci doit être vrai pour tout entier , c'est une contradiction car n'est pas majoré. Ainsi, est le plus grand des minorants de , et . Démontrons de même que . Si est un majorant de , alors pour tout couple , on a Pour , on obtient Cette inégalité est impossible à réaliser pour tout entier , et donc . De plus, 0 n'est pas un élément de -c'est trivial, et 1 non plus car on a toujours pour . Étudions désormais . est toujours un minorant de , mais cette fois il est aussi élément de . On a donc . De plus, on a (choisir ). Ainsi, n'est pas majoré. Exercice 27 - Somme et somme des carrés [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Soit . 1. Soit des réels. Exprimer en fonction de et de . 2. On note est-il majoré? est-il minoré? Possède-t-il un plus grand élément? Un plus petit élément? Indication Corrigé Exercice 28 - Plus petit et plus grand [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Soient et deux parties non-vides de telles que : Démontrer que est majoré, est minoré et . Indication Corrigé Exercice 29 - Borne sup non atteinte [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Soit une partie de majorée et on note . On suppose que . Démontrer que, pour tout , l'intervalle contient une infinité d'éléments de . Indication Corrigé Exercice 30 - Diverses opérations [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos] Enoncé Soient et deux parties non-vides et bornées de , et . On note 1. Montrer que . 2. uploads/Philosophie/ exercices-corriges-nombres-reels.pdf