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- 1 - NIVEAU : 1 Sc. expérimentale NOTIONS DE LOGIQUE page - 1 - األستاذ: بنموس

- 1 - NIVEAU : 1 Sc. expérimentale NOTIONS DE LOGIQUE page - 1 - األستاذ: بنموسى محمد I. PROPOSITION - FONCTION PROPOSITIONNELLE – LES QUANTIFICATEURS : A. PROPOSITION : a. Définition : On appelle une proposition un énoncé mathématique ( texte mathématique ) qui a un sens pouvant être vrai ou faux ( mais pas les deux en même temps ). Et , on note souvent une proposition par les lettres P , Q ou R ..etc. . b. Valeur de vérité d’une proposition : vraie ou bien fausse présente la valeur de vérité de la proposition  Si la proposition est vraie on note V ou 1 .  Si la proposition est fausse on note F ou 0 .  Tableau de vérité d’une proposition est ci-contre c. Exemples : P « 2 est un nombre pair » proposition est vraie . Q « 2+3 =6 » proposition est fausse . R « ABCD est un parallélogramme alors les diagonales se coupe on leur milieux » . proposition est vraie B. FONCTION PROPOSITIONNELLE a. Définition : On appelle une fonction propositionnelle, tout énoncé contenant une variable x ou plusieurs variables   x,y,z,... et qui appartiennent à des ensembles déterminé . on note  P x ou   P x,y;z,.... b. Remarque : si on remplace les variables par un élément de ces ensembles , la fonction propositionnelle devient une proposition . c. Exemple :  2 A x : pour tout x de on a x « » x  est une fonction propositionnelle .  si x 2  on obtient une proposition vraie .  si x 3 on obtient une proposition fausse .   A x,y : pour tout x et y de on a : x y « » = x + y  est une fonction propositionnelle .  si x 2  et y 5  on obtient une proposition vraie .  si x 2  et y 5  on obtient une proposition fausse . C. les quantificateurs : a. Quantificateur universel : l’expression suivante « pour tout x de E la proposition  Q x est vraie » . On la note : «  x E , Q x  » .  Le symbole  s’appelle quantificateur universel et il se lit : pour tout .. ou quel que soit ..  Exemples : 2 x : x « » x   . « » x , y : x y x + y     b. Quantificateur existentiel: l’expression suivante « il existe un x de E la proposition  Q x est vraie » . On la note : «  x E , Q x  » .  Le symbole  s’appelle quantificateur existentiel et il se lit : il existe .. .  Exemples : x : x 3 « » 4     . 3 3 2 , b « , c : a b c a »        ( a 1;b 2,c 3    ) c. Le symbole !  : : l’expression suivante « il existe un unique x de E la proposition  Q x est vraie » . On la note : «  !x E , Q x   » .  Exemple : x : x « ! 4 » 3     p 1 0 - 2 - NIVEAU : 1 Sc. expérimentale NOTIONS DE LOGIQUE page - 2 - األستاذ: بنموسى محمد d. Remarques : L’ordre des quantificateurs identiques ( universel ou bien existentiel ) ne change pas le sens de la fonction propositionnelle. L’ordre des quantificateurs non identiques ( universel et existentiel ) change le sens de la fonction propositionnelle. La négation du quantificateur :  est le quantificateur . La négation du quantificateur : est le quantificateur . Les écritures suivantes sont équivalentes x E, y E   ou x,y E   ou   x,y E E    . Les écritures suivantes sont équivalentes x E, y E   ou x,y E   ou   x,y E E    . II. LES OPERATIONS SUR LES PROPOSITIONS : 01. La négation d’une proposition : a. Définition : La négation d’une proposition P est la proposition qu’on note P ou P  tel que les valeurs de vérité de P et P sont opposées . b. Exemple : P « 2 est un nombre pair » sa négation est P « 2 est un nombre impair » c. Tableau de vérité la négation d’une proposition : d. Propriété : p p  ou encore   p  . 02. La conjonction de deux propositions - La disjonction de deux propositions . A. La conjonction de deux propositions : a. Définition : La conjonction de deux propositions PetQ est la proposition notée P Q  ou bien PetQ ; et elle est vraie seulement dans le cas où P et Q sont toutes les deux vraie . b. Tableau de vérité de P Q  est : c. Exemple :     2 est un nombre pair 2 3 6    est une proposition fausse.     2 est un nombre pair 2 3 6    ou encore     2 est un nombre pair et 2 3 6   B. La disjonction de deux propositions : a. Définition : La disjonction de deux propositions PetQ est la proposition notée P Q  ou bien PouQ ; et elle est fausse seulement dans le cas où P et Q sont toutes les deux fausses . b. Tableau de vérité de P Q  est : c. Exemple :     2 est un nombre pair 2 3 6    ou encore     2 est un nombre pair ou 2 3 6       2 est un nombre pair 2 3 6    est une proposition vraie . d. Propriétés :  La conjonction et la disjonction sont commutatives : P Q Q P ; P Q Q P       p p   p 0 1 1 0 P Q  q p 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 P Q  q p 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 - 3 - NIVEAU : 1 Sc. expérimentale NOTIONS DE LOGIQUE page - 3 - األستاذ: بنموسى محمد  La conjonction et la disjonction sont associatives :     P Q R P Q R      ;     P Q R P Q R      .  La négation de la conjonction et la négation de la disjonction :    P Q P Q       ou bien P Q P Q       P Q P Q       ou bien P Q P Q     La conjonction est distributive sur la disjonction - La disjonction est distributive sur la conjonction       P Q R P Q P R       de même      Q R P Q P R P       .       P Q R P Q P R       de même      Q R P Q P R P       . e. Remarque :  P P P   de même P P P   . 03. L’implication de deux propositions : a. Définition : l’implication de deux propositions P puis Q est la proposition P Q  ; qu’on note par P Q  on lit P implique Q . b. Tableau de vérité de P Q  est : c. Remarque :  La proposition P s’appelle les données ( ou hypothèses ) de l’implication.  La proposition Q s’appelle la conclusion de l’implication.  L’implication P Q  est fausse seulement dans le cas P est vraie et Q est fausse .  L’implication Q P  s’appelle l’implication réciproque de l’implication P Q  ( vis versa )  L’implication Q P  s’appelle la contre posée de l’implication P Q  .  Si P Q  on n'a pas forcément Q P  . d. Exemple :      fausse vraie 2 est un nombre pair 2 3 6    est une proposition fausse.      vraie fausse 2 3 6 2 est un nombre uploads/Philosophie/ logique-mathematique-cours-1.pdf