QUELQUES EXERCICES CORRIGÉS D’OPTIMISATION EXERCICE I (Calcul différentiel) 1.

QUELQUES EXERCICES CORRIGÉS D’OPTIMISATION EXERCICE I (Calcul différentiel) 1. Montrer que la fonction f : R2 →R2 définie par f (x, y) = ( y2 x si x ̸= 0 y si x = 0 admet des dérivées partielles au point (0, 0), mais n’est pas continue en (0, 0). 2. Soit E, un R-espace vectoriel muni d’un produit scalaire ⟨·, ·⟩. Montrer la continuité, puis la différentiabilité et calculer la différentielle de l’application « produit scalaire » Φ : E2 →R définie par Φ(x, y) = ⟨x, y⟩pour tous (x, y) ∈E2. 3. Soit A ∈Mn,m(R), avec (n, m) ∈N∗2. (a) Montrer que l’application J : Rm →R définie par J(X) = ∥AX∥2, où la notation ∥· ∥ désigne la norme euclidienne de Rn, est différentiable et calculer sa différentielle. (b) Soit f ∈C1(R). Montrer que l’application G : Rm →R définie par G(X) = f (J(X)) est différentiable et calculer sa différentielle. Corrigé de l’exercice 1. On a pour tout t ∈R∗, f (t, 0) −f (0, 0) = 02 t = 0, ce qui montre que lim t→0 f (t, 0) −f (0, 0) t = 0, donc f admet une dérivée en (0, 0) selon le vecteur (1, 0), et que ∂f ∂x(0, 0) = 0. De même, f (0, t) = t pour tout t ∈R, donc f est dérivable en (0, 0) selon le vecteur (0, 1) et ∂f ∂y (0, 0) = 1. 2. L’application Φ étant bilinéaire, sa continuité sur E2 est équivalente à sa continuité en (0, 0). De plus, d’après l’inégalité de Cauchy-Schwarz, |Φ(x, y)| ≤∥x∥· ∥y∥pour tous (x, y) ∈E2, où ∥x∥= p ⟨x, x⟩. Étudions la différentiabilité de Φ. Fixons (x, y) ∈E2 et (h, k) ∈E2. On a : Φ(x + h, y + k) = Φ(x, y) + Φ(x, k) + Φ(h, y) + Φ(h, k), donc si L(h, k) = Φ(x, k) + Φ(h, y), on a ∥Φ(x + h, y + k) −Φ(x, y) −L(h, k)∥= ∥Φ(h, k)∥≤∥h∥· ∥k∥= o(N(h, k)), en prenant par exemple N(h, k) = max{∥h∥, ∥k∥}. De plus, L est linéaire et continue car |L(h, k)| ≤∥x∥· ∥k∥+ ∥h∥· ∥y∥≤N(x, y)N(h, k) − − − − − → N(h,k)→0 0, en vertu de l’inégalité de Cauchy-Schwarz. On en déduit simultanément que Φ est différentiable, et que dΦ(x,y)(h, k) = L(h, k) = ⟨x, k⟩+ ⟨y, h⟩. 3. (a) L’application X ∈Rn 7→∥X∥2 est C∞donc différentiable sur Rn, car polynômiale. L’ap- plication X 7→AX est linéaire, donc différentiable. Par conséquent, l’application J est dif- férentiable en tant que composée de fonctions qui le sont. De plus, pour tout X ∈Rm, on a J(X) = ⟨AX, AX⟩= ⟨A⊤AX, X⟩, avec A⊤A ∈Sm(R). On en déduit que la différentielle de J en X est l’application linéaire dXJ : h ∈Rm 7→2A⊤Ah. (b) Utilisons le théorème de composition des différentielles. On obtient dXG(h) = dJ(X) f ◦dXJ(h) = 2f ′(J(X))A⊤Ah. pour tout h ∈Rm. EXERCICE II (Calcul différentiel) On considère la fonction f : R2 →R définie par f (x, y) = ( x3+y3 x2+y2 si (x, y) ̸= (0, 0) 0 sinon . La fonction f est-elle continue sur R2 ? de classe C1 sur R2 ? Corrigé de l’exercice La fonction f est C∞sur R2\{(0, 0)} en tant que produit, quotient ne s’annulant pas etc. de fonctions qui le sont. Reste à étudier la régularité en (0, 0). On a ∀(x, y) ∈R2\{(0, 0)}, | f (x, y)| ≤|x|3 x2 + |y|3 y2 = |x| + |y| − − − − − − → (x,y)→(0,0) 0. f est donc continue en (0, 0). En revanche, f n’est pas C1 en ce point car elle n’est même pas différentiable en (0, 0). En effet, soit t ̸= 0 et (x, y) ̸= (0, 0). On a f (tx, ty) −f (0, 0) t = t3(x3 + y3) t3(x2 + y2) − − − − − − → (x,y)→(0,0) x3 + y3 x2 + y2 . Or, si f était différentiable en (0, 0), cette limite coïnciserait avec d(0,0) f (x, y) et serait en particulier linéaire par rapport à (x, y) ce qui n’est pas le cas. EXERCICE III (optimisation sans contrainte) On considère la fonction f définie sur R2 par f (x, y) = x4 + y4 −2(x −y)2. 1. Montrer qu’il existe (α, β) ∈R2 + (et les déterminer) tels que f (x, y) ≥α∥(x, y)∥2 + β pour tous (x, y) ∈R2, où la notation ∥· ∥désigne la norme euclidienne de R2. En déduire que le problème inf (x,y)∈R2 f (x, y) (P) possède au moins une solution. 2. La fonction f est-elle convexe sur R2 ? 3. Déterminer les points critiques de f, et préciser leur nature (minimum local, maximum local, point-selle, ...). Résoudre alors le problème (P). Corrigé de l’exercice 1. f est polynômiale donc de classe C∞(R2). En utilisant le fait que xy ≥−1 2(x2 + y2), on écrit f (x, y) ≥x4 + y4 −2x2 −2y2 + 4xy ≥x4 + y2 −4x2 −4y2, pour tout (x, y) ∈R2. En utilisant le fait que pour tout (X, ε) ∈R2, X4 + ε4 −2εX2 ≥0, il vient f (x, y) ≥(2ε −4)x2 + (2ε −4)y2 −2ε4. Choisissons par exemple ε = 3, on en déduit f (x, y) ≥2(x2 + y2) −162 − − − − − − − → ∥(x,y)∥→+∞+∞, ce qui prouve que f est coercive sur R2 qui est fermé et de dimension finie. D’après le théorème du cours, le problème (P) admet au moins une solution. 2. Pour étudier la convexité de f (qui est de classe C2 sur R2), calculons sa matrice hessienne en tout point (x, y) de R2. On a Hess f (x, y) = 4  3x2 −1 1 1 3y2 −1  . Rappelons que f est convexe sur R2 si, et seulement si sa matrice hessienne est semi-définie positive en tout point. Or, on vérifie aisément que les valeurs propres de Hess f (0, 0) sont 0 et −2. Par conséquent, f n’est pas convexe. 3. Les points critiques de f sont donnés par les solutions de ∇f (x, y) = (0, 0), autrement dit, les points critiques sont solutions du système :  x3 −(x −y) = 0 y3 + (x −y) = 0 ⇔  x3 + y3 = 0 y3 + (x −y) = 0 ⇔  y = −x x3 −2x = 0 On en déduit que f admet trois points critiques : O(0, 0), A( √ 2, − √ 2) et B(− √ 2, √ 2). f étant de classe C2, on va utiliser la caractérisation des points critiques à l’aide de la hessienne calculée à la question précédente. — Point A : Hess f (A) =  20 4 4 20  donc la trace de Hess f (A) vaut 40 et son déterminant 384. On en déduit que Hess f (A) possède deux valeurs propres strictement positives donc que A est un minimiseur local pour f. — Point B : Hess f (B) = Hess f (A), donc la même conclusion que pour le point A s’impose. — Point O : Hess f (O) = −4 4 4 −4  , donc la trace de Hess f (O) vaut −8 et son déterminant est nul. Il vient que ses valeurs propres sont 0 et −8. On ne peut donc rien conclure dans ce cas à l’aide de la matrice hessienne. En revanche, on peut donner un argument à la main : soit x ∈R tel que |x| < 2. On a f (x, −x) = 2x4 −8x2 = −2x2(4 −x4). Or, |x| < 2 donc 4 −x2 > 0 et on en déduit que f (x, −x) < 0. De même, soit x ∈R. On a f (x, x) = 2x4 ≥0. Puisque les inégalités précédentes sont obtenues pour des x arbitrairement petits, on en déduit que le point (0, 0) est un point-selle pour f. En conclusion, puisque le problème (P) possède une solution, la caractérisation des points cri- tiques de f nous assure que inf (x,y)∈R2 f (x, y) = f (A) = f (B) = −8. EXERCICE IV (optimisation quadratique, moindres carres) Soit N ∈N∗. On considère un nuage de points {(ti, xi)}1≤i≤N, et on cherche à mettre en œuvre une régression parabolique, autrement dit, on recherche la parabole P d’équation y = at2 + bt + c, où a, b et c sont trois réels à déterminer, telle que la somme sur tous les indices i variant de 1 à N du carré de la distance du point (ti, xi) au point de même abscisse sur P soit minimale. 1. Écrire ce problème comme un problème de minimisation quadratique, c’est-à-dire un problème de la forme inf X∈Rn J(X) avec J(X) = 1 2⟨AX, X⟩−⟨b, X⟩, (Q) avec A ∈Sn(R), b ∈Rn. On devra donc expliciter n, A et b. On utilisera la notation Sk = ∑N i=1 tk i . 2. Discuter de l’existence des solutions d’un uploads/Philosophie/ mines1516-exercices-corriges 1 .pdf

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Philosophieproblème fonction points définie déduit
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