Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Mathématiques : résumés du cours ECE 1re et 2e années Gabriel Baudrand Cours

Mathématiques : résumés du cours ECE 1re et 2e années Gabriel Baudrand Cours Exemples Applications Conseils Mathématiques : résumés du cours ECE 1re et 2e année Gabriel Baudrand Professeur agrégé de mathématiques en classes préparatoires au lycée Madeleine Michelis (Amiens) © Dunod, Paris, 2008 ISBN 978-2-10-053972-7 Table des matières Introduction 1 1. Ensembles, applications 1 2. Notions de logique 5 3. Signes S , P 9 4. Dénombrement — Formule du binôme 12 5. Équations, inéquations 18 6. Polynômes 22 7. Manipulation des inégalités 25 Analyse 29 1 Étude de fonctions 31 1. Recherche de limites 32 2. Continuité 42 3. Calcul différentiel 47 4. Fonctions usuelles 53 5. Fonctions de deux variables 56 2 Suites et séries numériques 61 1. Généralités 61 2. Suites numériques calculables 66 3. Suites un+1 = f (un) 71 4. Séries numériques 76 5. Suites déﬁnies implicitement 82 3 Calcul intégral 85 1. Primitives 85 2. Intégrale déﬁnie 87 3. Intégrales généralisées 98 4. Séries et intégrales 104 Algèbre linéaire 107 4 Systèmes linéaires Calcul matriciel 109 1. Systèmes linéaires 109 III TABLE DES MATIÈRES 2. Calcul matriciel 114 3. Un exemple d’espace vectoriel 125 5 Espaces vectoriels applications linéaires 131 1. Espaces vectoriels, sous-espaces vectoriels 131 2. Applications linéaires 138 3. Espace vectoriel L (E,F), algèbre L (E) 142 4. Noyau et image d’une application linéaire 144 5. Deux applications 148 6 Diagonalisation 153 1. Théorie du changement de base 153 2. Diagonalisation 156 3. Autres réductions — Applications 165 Probabilités 173 7 Probabilité sur un ensemble ﬁni 175 1. Espaces probabilisés ﬁnis 175 2. Variables aléatoires sur un ensemble ﬁni 182 3. Couple de variables aléatoires ﬁnies 186 4. Lois ﬁnies usuelles 189 8 Variables aléatoires discrètes 197 1. Espaces probabilisés quelconques 197 2. Variables aléatoires inﬁnies discrètes 200 3. Couple de variables aléatoires discrètes 206 4. Variables inﬁnies discrètes usuelles 208 9 Variables aléatoires à densité Convergences, approximations estimation 217 1. Généralités 217 2. Variables aléatoires à densité usuelles 221 3. Convergences et approximations 227 4. Estimation 230 Informatique 235 10 Éléments d’algorithmique 237 1. Le langage PASCAL 237 2. Exemples d’algorithmes 245 Index 253 IV Mode d’emploi Ce livre contient l’intégralité du cours de mathématiques pour les classes préparatoires ECE, première et deuxième années. Il intéressera aussi les étudiants en Licence de sciences économiques, et tous ceux qui désirent acquérir des connaissances élémentaires mais solides en analyse, algèbre linéaire, probabilités. Quand on donne la déﬁnition d’un mot, celui-ci est imprimé en gras. Les résultats essentiels sont encadrés. Des éléments pour la démonstration d’un résultat sont donnés quand celle-ci utilise des techniques signiﬁcatives et utiles pour la résolution des exercices. Ces éléments demandent au lecteur une participation active (rédiger complètement, faire les calculs omis), qui est la clé des progrès en mathématiques. Les notions nouvelles sont illustrées par des exemples. Ceux-ci sont signalés en tant que que tels, ou par un liseré en marge gauche. Ils sont inspirés par des exercices très classiques ou provenant des annales de concours. Ils sont plus nombreux quand une grande variété de situations se présente. Dans le même esprit, un certain nombre d’applications sont données. Elles ne font pas partie du cours, mais elles en sont le prolongement naturel, et inspirent de nombreux exercices d’annales. Ces caractéris- tiques sont signalées à chaque fois qu’il est nécessaire. Sur fond grisé vous trouverez des conseils d’ordre pédagogique : écueils à éviter, erreurs à ne pas commettre, conseils de rédaction, remarques utiles à la mémorisation. V MODE D’EMPLOI Quelques indications pour les différentes sections de ce livre L’introduction expose les connaissances et techniques de base deman- dées par le programme. S’y ajoutent des considérations qui ne sont pas explicitement demandées, mais néanmoins indispensables : les éléments de logique aideront le lecteur à raisonner juste, ce qui aidera à une meilleure compréhension du cours. Les rappels sur les équations, inéqua- tions, inégalités visent à consolider des acquis des classes antérieures et qui prennent maintenant toute leur importance. En ce qui concerne l’analyse, la totalité du programme de terminale ES est reprise et bien sûr complétée. Les points les plus délicats du programme (recherche de limites, suites récurrentes, séries, intégrales généralisées) sont exposés progressivement et illustrés par de nombreux exemples. Pour l’algèbre linéaire, la difﬁculté est d’une part technique (recherche des valeurs propres et vecteurs propres), et d’autre part théorique (utili- sation des théorèmes abstraits du cours dans des situations diverses). On s’est efforcé de bien cerner les difﬁcultés et ici aussi de donner sufﬁsam- ment de variété dans les exemples. En probabilités, on a choisi de traiter dans trois chapitres différents les problèmes concernant les variables aléatoires ﬁnies, discrètes, à densité. Cela oblige à quelques répétitions, mais les techniques différentes mises en œuvre (respectivement sommes ﬁnies, séries, calcul intégral) justiﬁent une telle démarche. On a privilégié ici les démonstrations des résultats du cours, ou des applications les plus typiques, car leur maitrise est essentielle pour la résolution des exercices. S’y ajoute un chapitre sur l’algorithmique : on y trouvera les éléments du langage PASCAL à connaître, et quelques programmes emblématiques. Conformément au programme, les algorithmes (rédigés en PAS- CAL) viennent illustrer le cours. Ils sont encadrés par un liséré poin- tillé. Pour ce qui concerne la répartition du travail sur les deux années de classe préparatoire, devraient être maitrisés en ﬁn de première année : • l’introduction ; • le chapitre 1, sauf § 1.1.5 ; • le chapitre 2 sauf § 2.3 : notion de point ﬁxe, et § 2.4 : critères de convergence et séries de Riemann ; • le chapitre 3 : § 3.1 et 3.2, sauf sommes de Riemann et formules de Taylor ; • le chapitre 4 ; VI MODE D’EMPLOI • les chapitres 7 et 8 (uniquement loi d’un couple, lois marginales et indépendance de deux v.a en ce qui concerne l’étude simultanée de plusieurs v.a). • Pour ce qui concerne l’algorithmique, l’ensemble du programme est traité tout au long de la formation, à l’exception des algorithmes de gestion des listes, et tout ce qui concerne les v.a à densité et l’estimation, qui seront traités en deuxième année. Dans le texte, les renvois commencent toujours par le numéro du cha- pitre (§ 2.3 renvoie au chapitre 2 paragraphe 3). VII Introduction Techniques de base 1. Ensembles, applications 1.1 Vocabulaire de la théorie des ensembles x ∈E : « x est élément de E », ou « x appartient à E ». On ne cherche pas à déﬁnir les notions primitives d’élément, d’appartenance, d’ensemble. On peut distinguer deux façons de déﬁnir un ensemble : • Par extension : on donne la liste des éléments de l’ensemble. On notera en particulier, avec n ∈N : 0, n = {0 ; . . . ; n} • Par compréhension : on donne une propriété caractéristique P des élé- ments de l’ensemble. L’élément x appartient à l’ensemble E si, et seule- ment si, il vériﬁe la propriété P, ce que l’on note P (x). Par exemple, a, b étant deux réels : [a, b] = {x | x ∈R ; a ⩽x ⩽b} Ici la propriété P (x) est : « x ∈R et a ⩽x ⩽b ». On rencontre des variantes de notation : [a, b] = {x ∈R | a ⩽x ⩽b} = {x ∈R ; a ⩽x ⩽b} . . . Certains ensembles ont des notations réservées : ∅: l’ensemble vide (il ne contient aucun élément). N : l’ensemble des entiers naturels. N = {0 ; 1 ; 2 ; . . .}. N∗: l’ensemble des entiers naturels non nuls. Z : l’ensemble des entiers relatifs. Q : l’ensemble des nombres rationnels. 1 Introduction R : l’ensemble des nombres réels. R+ : l’ensemble des nombres réels positifs ou nuls. On déﬁnit de même R∗, R+∗, R−. . . A, B, E étant des ensembles, on déﬁnit : Relation d’inclusion. On note A ⊂E (lire « A est inclus dans E », ou « A est une partie de E », ou « A est un sous-ensemble de E ») si et seulement si tout élément de A est élément de E. On note aussi E ⊃A (« E contient A »). • Pour tout ensemble E, on a l’inclusion ∅⊂E. • N ⊂Z ⊂Q ⊂R. Réunion de deux ensembles. On note A ∪B (lire « A union B ») l’ensemble ainsi déﬁni : A ∪B = {x | x ∈A ou x ∈B} Intersection de deux ensembles. On note A ∩B (lire « A inter B ») l’ensemble ainsi déﬁni : A ∩B = {x | x ∈A et x ∈B} Généralisation : avec I un ensemble d’indices : i∈I Ai = {x ; il existe i ∈I tel que x ∈Ai} i∈I Ai = {x ; pour tout i ∈I, x ∈Ai} Complémentaire d’un ensemble dans un ensemble. Soit A ⊂E. Le complémentaire de A dans E est l’ensemble des éléments de E qui n’appartiennent pas à A. On le note E \ A, ou, s’il n’y a pas d’ambiguïté sur uploads/Philosophie/ mathematiques-fst.pdf