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BROCHURE D'EXERCICES D'ANALYSE MATHEMATIQUE I AVEC RAPPELS DE COURS, ENONCES D'

BROCHURE D'EXERCICES D'ANALYSE MATHEMATIQUE I AVEC RAPPELS DE COURS, ENONCES D'EXERCICES AVEC REPONSES ET CERTAINS CORRIGES DETAILLES par Pr. OSMANOV Hamid et KHELIFATI Saddek (M.C.A) Année 2013 www.mathonec.com Brochure d’exercices d’analyse mathématique I par OSMANOV H et KHELIFATI S ——————————————————————————————————- 2 PREFACE. Cette première partie d’une brochure est destinée aux étudiants de première année de tronc commun d’université qui servira de support pédagogique tant pour l’étudiant que pour l’enseignant chargé des T.D, et ne prétend pas remplacer la diversité des ouvrages existant en la matière. Elle englobe les chapitres suivants d’analyse mathématique I: 1. Nombres réels.——————————————————–p 006 2. Suites numériques.—————————————————p 033 3. Fonctions réelles. Fonctions usuelles et élémentaires.———p 074 4. Limites et continuité.————————————————p 108 5. Fonctions dérivables.————————————————p 163 6. Formule de Taylor. Développements limités.——————-p 212 7. Etude des fonctions.————————————————-p 256 Le nombre d’exercices proposés couvre suffisamment le programme d’analyse I de première année universitaire. Si le nombre d’exercices théoriques est plus restreint que ceux à caratère calculatoire, cela est dû à la nature du tronc commun de première année qui regroupe plusieurs filières, à savoir: sciences exactes, technologie et informatique; mais cela ne signifie pas que la théorie n’est pas importante en technologie et en informatique. Seulement, nous pensons que les étudiants peuvent apprendre à être rigoureux en argumentant les calculs à l’aide des résultats théoriques connus. Ceci d’une part. D’autre part , l’apparition de logiciels informatiques, pouvant effectuer même le calcul symbolique, ne doit pas faire oublier que la connaissance des théories qui sont à la base des méthodes de calcul, est une nécessité pour permettre d’abord, de les comprendre, ensuite de les améliorer; et, pourquoi pas, de les développer ou même d’en concevoir de nouvelles. Cependant ce n’est qu’en résolvant beaucoup d’exercices que l’étudiant pourra comprendre et assimiler la théorie. Ceux qui se limitent à la seule théorie ou à recopier les solutions des exercices ne retiendront pas grand chose et n’iront pas loin dans leurs études. Car les mathématiques se sont avérées incontournables dans presque toutes les disciplines scientifiques. Certains exercices sont plus techniques que théoriques et inversement. La plupart des exercices sont inspirés de certains manuels d’exercices, en français et en russe et de séries d’exercices. Chaque chapitre se divise en quatre parties: 1) rappels du cours sur le chapitre en question, 2) énoncés des exercices, généralement suivant le plan du cours, 3) réponses aux exercices, 4) corrigés détaillés de certains exercices. Aussi, nous conseillons à l’étudiant : 1o/ de réviser le cours en question, 2o/ de lire attentivement les exercices, 3o/ de revoir la ou les parties du cours en relation avec l’exercice, 4o/ de résoudre les exercices avant de regarder les réponses ou les corrigés donnés, en respectant les questions posées, c’est à dire respecter la démarche proposée dans l’énoncé, 5o/ de ne pas se décourager à la première difficulté rencontrée, www.mathonec.com Brochure d’exercices d’analyse mathématique I par OSMANOV H et KHELIFATI S ——————————————————————————————————- 3 5o/ d’être rigoureux, c’est à dire justifier les calculs par les résultats théoriques connus, 6o/ de simplifier si possible les calculs à chaque étape tout en respectant les règles de simplification ( on a constaté que de nombreux étudiants ne simplifient pas les expressions mathématiques obtenues, ce qui engendre souvent des erreurs), 7o/ d’être logique et ne pas abuser de l’utilisation des ”donc” sans justification, 8o/ d’éviter de raisonner souvent par analogie ou par automatisme, tel que ”l’invention” de nouvelles formules, comme par exemple arctgx arcsinx arccosx , qui est fausse evidemment, 9o/ d’essayer de trouver la méthode la plus simple et qui correspond à celle demandée. P.S. 1) Des erreurs, que se soit sur le plan du texte, des énoncés, des réponses ou des corrigés, peuvent être relevées. Nous prions tout lecteur de les signaler aux auteurs pour une éventuelle correction. 2) Toute suggestion ou remarque pour améliorer cette brochure sont les bienvenues. 3) Nous remercions tous les collègues ayant contribué de près ou de loin à la confection de cette brochure. Symboles logiques et mathématiques. 1) : égalité, x y : x est égal à y 2) : ou, a b : a ou b 3) : et, a b : a et b 4) : implication, a b : a implique b ou a donc b; a : condition suffisante de b; pour que b,il suffit a b : condition nécessaire de a; pour que a,il faut ab 5) : équivalence, a b : a est équivalente à b : condition nécessaire et suffisante, pour que a, il faut et il suffit b, a si et seulement b 6) : appartenance, a A : a appartient à A 7) : inclusion, A B : A est inclus dans B 8) : Contenance, B A : B contient A 9) : intersection, A B : A inter B 10) : réunion, A B : A union B 11) : vide 12) , : inégalités larges, x y : x est inférieur ou égal à y 13) y x : y est supérieur ou égal à x 16) ,: inégalités strictes, x y : x est strictement inférieur à y y y : y est strictement supérieur à x 17) : infini; 18) N : ensemble des nombres entiers naturels; 19) Z : ensemble des nombres entiers relatifs, 20) Q : ensemble des nombres rationnels; 21) R : ensemble des nombres réels; 22) R Q : ensemble des nombres irrationnels. www.mathonec.com Brochure d’exercices d’analyse mathématique I par OSMANOV H et KHELIFATI S ——————————————————————————————————- 4 Alphabet grec : alpha : bêta ;: gamma ;: phi ;: delta : : Dzêta : epsilon : rho : tau ; : têta ;: pi ;: sigma : nû ;: lambda : mû ;: oméga ;: Ksi ;: Psi : nû www.mathonec.com Brochure d’exercices d’analyse mathématique I par OSMANOV H et KHELIFATI S ——————————————————————————————————- 5 Types de raisonnement mathématique. Les principaux types de raisonnement mathématiques sont les suivants: 1) Raisonnement déductif. Il se base sur le raisonnement logique suivant: si p est une proposition vraie et si la proposition p qest vraie, alors q est vraie. C’est le raisonnement le plus utilisé qui consiste à déduire un résultat à partir d’axiomes ou de propositions déjà démontrées ou supposées vraies, par une suite finie d’implications logiques de la forme suivante: supposons qu’on veut démontrer que la proposition q est vraie sachant que la proposition p, appelée hypothèse, est vraie, alors la chaîne des implications suivantes p p1 p2 ...pn q, où p1,p2,....,pn sont des résultats vrais intermédiaires, implique en fin de compte que q est vraie. 2) Raisonnement par la contraposée. Il se base sur l’équivalence logique suivante: p qq p. Ainsi, si on veut démontrer que la relation p qest vraie, il faut et il suffit de démontrer la relation q p, appelée contraposée de la première. 3) Raisonnement par l’absurde. Il se base sur le principe de tiers exclu, c’est à dire qu’en mathématiques une proposition est soit vraie, soit fausse. Il consiste, pour démontrer qu’une proposition p soit vraie, à supposer qu’elle est fausse, c’est à dire que p est vraie. Alors, par un raisonnement logique, on aboutit à une absurdité ou à une contradiction avec l’hypothèse ou avec un résultat établi comme vrai. Dans ce cas p est fausse, donc p est vraie. 4) Raisonnement par récurrence. Celui-ci permet de démontrer qu’une proprosition Pn, dépendant de l’entier n, soit vraie à partir de n0 fixé. Il constiste: i) à démontrer que Pn0est vraie, ii) à supposer que Pn, n n0 est vraie et démontrer que Pn 1est vraie. Alors, on conclut que Pnest vraie n n0. www.mathonec.com Brochure d’exercices d’analyse mathématique I par OSMANOV H et KHELIFATI S ——————————————————————————————————- 6 Chapitre I. Nombres réels. Eléments de topologie. Rappels de cours. §1. Nombres réels et leurs propriétés. I.1. Développement décimal. On rappelle que l’ensemble des entiers naturels est noté par N0,1,2, ... ,n , ... , l’ensemble des nombres entiers relatifs par: Z ...,n,...,2,1,0,1,2,...,n,... 0,1,2,...,n,...  où n vérifie l’équation n a 0, n N, et l’ensemble des nombres rationnels est défini par Q  r p q , p,q Z , q 0  p q , p Z , q N qui, muni des lois somme et produit, est un corps commutatif dans lequel: x,y Z, l’équation by a x y 0admet des solutions. On démontre que tout nombre rationnel p q peut s’écrire, en plus de sa forme fractionnaire, comme un développement décimal limité de la forme: p q 0,12 ...n ou illimité périodique de la forme : p q 0,12 ...n12...m.12...m12...m...avec 0 N , k,j  0,1, ... ,9 et 12...m étant la période. Définition. 1. On appelle nombre irrationnel tout développement décimal illimité non périodique. 2. On appelle ensemble des nombres réels l’ensemble, noté R, formé des nombres rationnels et irrationnels . Ainsi, tout nombre réel s’écrit comme un développpement décimal illimité, périodique ou non : x R déf. x 0,12 ..., avec 0 N et k 0,1,2,...,9, k 1,2,... Voir exercices 1.1 à 1.5. Remarque. Il existe d’autres méthodes pour définir l’ensemble des nombres réels uploads/Philosophie/ brochure-analyse-1-version-entire-pour-forum.pdf