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Université Abderrahmane Mira de Bejaia Faculté des sciences et sciences de l’in

Université Abderrahmane Mira de Bejaia Faculté des sciences et sciences de l’ingénieur Département d’électrotechnique ASSERVISSEMENT ET REGULATION CALCULATEUR ANALOGIQUE (MODELISATION) TP 1 0 Introduction 1. Objectifs 2. Principe 3. Mode opératoire 4. Conclusion Calculateur analogique (modélisation) Introduction Un calculateur analogique est un dispositif qui traite des informations représentées par des variations continues d'une grandeur, comme la tension électrique, plutôt que par un codage numérique. Les calculateurs analogiques sont surtout utilisés pour des applications scientifiques ou industrielles. Un micro-ordinateur fonctionne avec des données numériques, mais peut aussi traiter des données analogiques préalablement transformées par un convertisseur analogique-numérique, et rendre des résultats analogiques à partir de résultats numériques traités par un convertisseur numérique-analogique. Cependant l’étude d’un système dynamique nécessite la connaissance des relations liant les grandeurs d’entrées et de sortie. La connaissance de ces grandeurs nous conduit à la modélisation mathématique des systèmes. 1 Objectifs Le calculateur analogique peut être utilisé pour résoudre deux problèmes 1/ résolution d’équations 2/ simulation des systèmes continus Le calculateur analogique peut de même servir à la modélisation de quelques éléments typiques à savoir : - étude des système du 1er ; 2ieme et 3ieme ordre en utilisant les opérateurs de simulation analogique. - étude de l’influence du gain K et de la constante de temps  sur le comportement des systèmes. 2 Principe En simulation, le calculateur analogique est un système électrique constitué par un ensemble de modules ; blocs opérateurs élémentaires. Chaque module comprend un amplificateur opérationnel et, dans le cas le plus simple, des résistances et des condensateurs. 3 mode opératoire En donnant un échelon positif de 1 V à l’entrée par l’intermédiaire d’un interrupteur, on observe les réponses indicielles pour K = 0.5 et K = 1 pour le montage suivant : 3.1) Amplificateur : 1 H(p) = S(p) / E(p) → H(p) = K Fig 1 La représentation du signal d’entrée et de sortie est portée sur la feuille millimétrique -1- Calculateur analogique (modélisation) 3.1.1) Commentaire : On remarque que pour un K=1 et K= 0,5, les deux échelons positifs ; la sortie est inversée. Mais quand on a mis des échelons négatifs la sortie est positive. On peut déduire que cet amplificateur joue le rôle d’un inverseur. Et aussi pour un K=1 de l’atténuateur la sortie reste égale à l’entrée mais pour K = 0.5 la sortie n’est divisée pas deux par rapport à l’entrée. On peut déduire qu’un atténuateur est un amplificateur de gain inférieur à 1. 3.2) Intégrateur : Son équation de transfert est : H(p) = S(p) / E(p) → H(p) = K / p Les réponses pour les deux valeurs de K sont représentées la feuille millimétrique -1- 3.2.1) Commentaire : Pour ce cas le signal de sortie rampe de pente K, négative pour un échelon positif et positive pour un échelon négatif. 3.3) Elément d’inertie (système du première ordre) : On appelle un système du premier ordre ou élément apériodique un système décrit par l’équation différentielle du premier ordre : ) ( ) ( ) ( t cx t by dt t dy a   Qui admet pour solution S(t) = K (1- e -t/) Sa fonction de transfert est donnée par : 1 ) (  Tp K p H Avec K : gain statique. T : constante de temps. Nous avons là un exemple d’un système du premier ordre appeler élément d’inertie H(p) = (K/p) / (1+K/p) → H(p) = 1 / (p/K+1) Les réponses indicielles d’un tel système pour des entrées échelon K = 0.5 et K = 1 : 2 On constate que la sortie est de la forme exponentielle qui change d’allure pour des K différents. Dans ce cas la réponse s’approche de l’entrée plus rapidement pour K = 0.5 Calculateur analogique (modélisation) 3.4) Régulateur PI : Les réponses de ce système sont portées sur la feuille millimétrique. 3.4.1) Remarque : Remarque : lorsqu’on a appliqué un échelon négatif aux systèmes A et B la sortie est de signe positif et quand l’entrée est un échelon positif la sortie est négative. Or dans le cas de C et D le singe de la sortie suit celui de l’entrée. Système du deuxième ordre : Un système linéaire est dit de deuxième ordre lorsque l’équation différentielle qui régit son comportement est linéaire de type : ) ( ) ( ) ( ² ) ( ² t dx t cy dt t dy b dt t y d a    Sa fonction de transfert est donnée par : ² 2 ² ² . ) ( ) ( ) ( n n n p p K p X p Y p H        Avec n  : Pulsation propre non amortie [rad/s] = a c . 3  : Coefficient d’amortissement = ac b 2 . K : gain statique = d c . Calculateur analogique (modélisation) Le montage suivant représente un système du deuxième ordre : Détermination de la fonction de transfert : 100 10 ² 100 1 1 * 1 * 10 1 10 * 10 1 * 1 * 10 1 10 * 10 ) ( 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 K K p K p K K p p p K K p K p p p K K p K p H        Par identification avec la forme canonique on aura : n = 100 2 1K K . K=1. = 2 1 2 2 K K K Les réponses indicielles : 1. K1=0.5, K2 = 0.5. 4 2. K1=0.5, K2 = 1. Calculateur analogique (modélisation) 3. K1=1, K2 = 0.5. 4. K1=1, K2 = 1. Système du troisième ordre : Un système linéaire est dit de troisième ordre lorsque l’équation différentielle qui régit son comportement est linéaire de type : ) ( ) ( ) ( ² ) ( ) ( 2 3 3 t ex t dy dt t dy c dt t y d b dt t y d a     Le montage suivant représente un système du troisième ordre : 5 Détermination de sa fonction de transfert : 100 10 100 1 1 * 10 1 10 * 10 1 * 10 1 10 * 10 ) ( 2 1 2 2 3 2 1 2 2 1 2 2 1 K K p K p K K p p K p K p K p p K p K p K p H        n = 100 2 1K K Calculateur analogique (modélisation) La réponse indicielle pour ce système est : Pour des valeurs de K1= K2 = 0.1 Détermination du temps de montée (tm) et du dépassement (d) Dépassement Temps de montée (ms) K1= K2 = 1 0,28 0,4 K1=1, K2 = 0,5 0,28 0,4 K1=0.5, K2 = 1 0,07 0,4 K1= K2 = 0.5 0,14 0,4 d = 6 L’influence des gains K1et K2 sur le comportement du système du troisième ordre (dans ce cas de figure) : On voit que la pulsation propre de système et le premier dépassement de la réponse indicielle d’un tel système changent avec la variation de K1et K2. Calculateur analogique (modélisation) Conditions de stabilité des deux systèmes : 1. système du 2ème ordre : On a : On définit l’équation caractéristique B1 (p) = p²+K2 10p+K1K2100 = 0. Condition de stabilité : Il faut que les éléments de la 1er colonne soit tous supérieur a 0 Donc il faut que : K210 >0 et K1K2100 > 0 De ces deux inéquation en voie bien qu’il n y a pas changement de signe donc le système est stable 2. système 3ème ordre : B2 (p) = p3+K210p²+K1K2100. On remarque qu’il y a deux changements de signe dans la 1er colonne donc l’équation admet deux pôles a partie réel positive d’où le système est instable. 7 Calculateur analogique (modélisation) Conclusion L’étude de ce TP nous a permis de nous de se familiariser avec les différents types de simulation ; analogique à l’aide des consoles Tergane et par des logiciels de simulation. Dans la première partie de cette manipulation on a vu que les amplificateur et intégrateur utilisés sont des inverseur de signe, donc si la chaîne directe du système comporte un nombre paire de ces composants le signe de la sortie reste inchangé pas rapport à l’entrée, par contre si leur nombre est impaire le signe de la sortie est l’inverse de celui de l’entrée Sachant que τ = 1/K, on peut déduit que lorsque on augmente K,  diminue et vis versa, et comme Tr et Tm sont proportionnel à  donc Tr et Tm sont inversement proportionnels à K. Pour le système du 2ème ordre, la variation de K1 et K2 influe sur la valeur du coefficient d’amortissement ξ = 2 1 2 2 K K K et de la pulsation propre de système n = 100 2 1K K puisque Tm, Tr et d sont en uploads/Philosophie/ sam-tp-asservissement-calculateur-analogique-modelisation.pdf