Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Traitement du Signal (Introduction) P. Nayman École Analogique 2014 1 «La perce

Traitement du Signal (Introduction) P. Nayman École Analogique 2014 1 «La perception d'un signal est proportionnelle au caractère acceptable, non dérangeant, du contenu.» Edgar Morin Mais qu’est-ce qu’un signal ? Introduction La grande question : Temps ou fréquence ? Selon ce que l’on veut faire, on travaille indifféremment dans l’un ou l’autre es- pace. Deux représentations d’un même signal. Un certain nombre d’outils sont disponibles pour changer d’espace : • Séries de Fourier • Transformée de Fourier • Transformée de Fourier à fenêtre • Transformée en ondelettes • Etc. Espace Temporel Espace Fréquentiel FOURIER P. Nayman École Analogique 2014 2 Classification des signaux P. Nayman École Analogique 2014 3 La classification des signaux en catégories peut sembler, à première vue, théo- rique, mais : Pour chaque rubrique de signaux on définira des traitements bien particuliers. Classification déterministe-aléatoire P. Nayman École Analogique 2014 4 Certains outils sont bien adapter pour manipuler les signaux déterministes et d’autres sont mieux adapter pour les signaux aléatoires. Déterministes Ce sont les signaux dont l’évolution en fonction du temps est prévisible par un modèle ma- thématique approprié (signaux de test, d’étalonnage, etc.). Aléatoires Ce sont les signaux qui ont un caractère non-reproductible et imprévisible. Par exemple, les signaux issus de capteurs, de détecteurs ou encore la parole. Classification énergétique/Puissance Quelque soit le signal, on peut définir l’énergie du signal (si elle existe) ou la puissance moyenne (si elle existe) : signal (somme de toutes les énergies instantanées). et la puissance moyenne : x – + xt 2 correspond à une énergie instantanée et E =  xt 2dt correspond à l’énergie du x T  T –T  2 1 +T  2 P = lim -- xt 2dt La puissance est l’énergie par unité de temps Remarque : • Les signaux tels que 0  Ex   sont des signaux à énergie finie Px = 0 , par exemple, les signaux transitoires. • Les signaux tels que 0  Px   sont des signaux à puissance moyenne finie Ex =  . Par exemple, les signaux permanents, comme les signaux périodiques ou encore les signaux aléatoires permanents. P. Nayman École Analogique 2014 5 Autres types de signaux La distribution de Dirac : t + Propriété :  tdt = 1 – On peut trouver de nombreuses représentations de la distribution de Dirac. Exemple : on suppose que :   0 . – P. Nayman École Analogique 2014 6 + t 1   t Le peigne de Dirac Un peigne de Dirac, représente une suite d’impulsions de Dirac décalées dans le temps. Le peigne de Dirac est défini par la relation suivante : t – kT +  k = – pngt = t 1 t P. Nayman École Analogique 2014 7 Les signaux nuls à gauche Exemple : l’échelon unité. La figure représente l’échelon unité Ut u(t) P. Nayman École Analogique 2014 8 t 0 On remarquera que : d- - - -- -U- - - - -- -t- -- - -- = t dt Les distributions tempérées sont infiniment dérivables (intégrables). Exemple : Pour spécifier que le signal xt est nul pour les temps négatifs, on peut définir un nouveau signal : xt  Ut . Classification continu/discret Exemple de représentation continue. Exemple de représentation discrète, dans ce cas la fonction est définie par une suite d’échantillons. L’intérêt de la représentation discrète est le passage dans le monde numérique. -1 -0,5 1 0,5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x(tk) P. Nayman École Analogique 2014 9 t Représentation vectorielle des signaux P. Nayman École Analogique 2014 10 L’intérêt d’une représentation vectorielle Un signal peut se décomposer selon une combinaison linéaire de fonctions connues Développement en série de fonctions orthogonales Simplifie considérablement les calculs, un simple produit scalaire permet d’obtenir un coeffi- cient. Le produit scalaire est la base du traitement du signal. – 1 2  1 2 + * x  x  = x tx tdt Approximation de xt L’idée est de chercher l’approximation d’une fonction par un ensemble de composantes connues. On peut approcher xt par xˆt défini comme étant la somme pondérée de fonctions : +  aii i = 1 xˆt = L’erreur quadratique donne une mesure absolue de l’approximation : +T  2 = x – xˆ 2 =  xt – xˆt 2dt –T  2 P. Nayman École Analogique 2014 11 Théorème de Parseval Concrètement : L'énergie d’un signal calculée en temporelle est identique à celle calculée en fréquence (ne dé- pend pas du mode de représentation). L’énergie du signal xt est égale à la somme des énergies de chacune de ses composantes et ne dépend pas de son mode de représentation. Ce résultat important est très utilisé en traitement du signal. ai 2 n  i = 1 x 2 = P. Nayman École Analogique 2014 12 Série de Fourier Le signal (à gauche) peut être décomposé en une somme de sinus/cosinus (à droite) +  aii i = 1 xˆt = ikt On prend k = e (fonction orthogonale, bien adaptée aux fonctions périodiques). k k k T –T  2 comme a = x   alors les coefficients : a = -1- +T  2 xte–iktdt P. Nayman École Analogique 2014 13 Décomposition en série de Fourier d’un signal rectangulaire Un seul terme le fondamental Le fondamental et la première harmonique Le fondamental et les deux premières harmoniques Le fondamental et les trois premières harmoniques P. Nayman École Analogique 2014 14 Décomposition en série de Fourier Problèmes de convergence pour les signaux à variation rapide : phénomène de Gibbs Approximation à l’ordre 10 Approximation à l’ordre 50 n=10 P. Nayman École Analogique 2014 15 n=50 Cas d’une rampe Conséquences du phénomène de Gibbs Comme le signal que l’on étudie n’est pas dans l’intervalle de temps – + il peut y avoir une transition rapide au début et à la fin du signal quelque soit le signal. Pour éviter ce phénomène, il faut éviter les transitions rapides sur les bords : Utilisation du fenêtrage. On multiplie le signal par une fenêtre (d’apodisation) à variation douce (Hamming, Hanning, Blackman, Kaiser, etc.). P. Nayman École Analogique 2014 16 Exemple de fenêtres P. Nayman École Analogique 2014 17 Transformée de Fourier P. Nayman École Analogique 2014 18 i k k k T–T  2 x = a  avec a = -1- +T  2 xte–iktdt puis l’on passe à la limite : T   + xˆ =  xt  e-2itdt (construction) – –  + xt = xˆ  e2itd (reconstruction) xˆ est la représentation spectrale de xt La transformée de Fourier est bien adaptée pour tous les types de signaux (périodiques ou non périodiques) Spectre unilatéral et bilatéral Spectre bilatéral Attention : La théorie n’interdit pas les fréquences négatives et l’énergie du signal est donc ré- partie dans les 2 raies. Spectre unilatéral Le spectre du signal n’est que positif et pour conserver l’énergie la raie à une valeur double. A/2 s(f) f A s(f) f Spectre bilatéral P. Nayman École Analogique 2014 19 Spectre unilatéral Quelques transformées de Fourier A A T s(t) s(f) t T/2 -T/2 f Tf Sf = A T-s- -i- -n- - - - - - -T- - - -f s(t) -1/T 0-1/T s(f) t f 0 -f0 f0 A 2f0 0 -1/2f0 1/2f0 sin 2f0t 2f0t st = 2Af0 - - - - - - - - - - - - - - - - - - --- s(t) s(f) t f 0 0 K P. Nayman École Analogique 2014 20 K st = Kt  Sf = K s(t) s(f) -5t -2/t -1/t 0 1/t -t 0t 5t t 2/t f t – kt  k = – +  t  t f – - -k- -  k = – +  st = Sf = - -1- - s(t) s(f) t f A A/2 0 0 f0 -f0 2 2 0 0 st = Acos 2f0t  Sf = A---f – f  + A---f + f  s(t) t f s(f) A/2 -f0 f0 A 2i P. Nayman École Analogique 2014 21 A A 2i st = A sin 2f0t  Sf = ----f – f0–----f + f0 0 t t0 L’intégrale de convolution (1) Considérons le produit d’une fonction ft par une impulsion D rectangulaire. On suppose que D a une largeur  petite devant la variation de ft . ft Dt – t0 ft0  Le produit ft  Dt – t0 est égal à la fonction au point t0 , soit ft0 . ft  Dt – t0 = ft0  Dt – t0 . ft0 est le poids de l’impulsion de D. Cette opération correspond à échantillonner ft par une impulsion rectangulaire. P. Nayman École Analogique 2014 22 L’intégrale de convolution (2) Approximation d’une fonction par une suite d’impulsions rectangulaires.  On considère 2 fonctions rectangulaires : • R0t de largeur  normalisée en amplitude 1  - - 0 uploads/Philosophie/ signal.pdf