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© M.ESSAID. B Page 1 Introduction à la théorie du signal La théorie du signal :

© M.ESSAID. B Page 1 Introduction à la théorie du signal La théorie du signal : qu’est-ce que c’est ? Quels sont ces objectifs ? 1.1 Théorie du signal 1.1.1 Signal et bruit Consultons d’abord le Petit Larousse sur le sens du mot signal. Définition 1.1.1 (Signal) vient du latin signum : signe ; variation d’une grandeur physique de nature quelconque porteuse d’information. Un signal est donc la représentation physique de l’information qui évolue dans le temps ou dans l’espace.Sa nature physique peut être très variable : acoustique, électronique, optique, etc. Le mot signal est pratiquement toujours associé au mot bruit. Ce dernier est utilisé dans le langage commun, mais il revêt, dans la théorie du signal, un sens bien particulier Définition 1.1.2 (Bruit) vient du latin populaire brugere : braire et rugire : rugir; perturbation indésirable qui se superpose au signal et aux données utiles, dans un canal de transmission ou dans un système de traitement de l’information. Théorie du signal : est l’ensemble des outilles mathématiques qui permettent de décrire les signaux émis par une source, ou modifies par un système de traitement.  Théorie de l’information : est l’ensemble des outils mathématiques qui permet de décrire la transmission de messages véhiculés d’une source vers un destinataire.  Traitement du signal : est l’ensemble des méthodes et des algorithmes qui permet d’élaborer ou d’interpréter les signaux porteurs d’information. Plus précisément : - élaboration : codage, modulation, changement de fréquence. - interprétation : décodage, démodulation, filtrage, détection, identification, etc……… ; - échantillonnage : représentation en temps discret. - numérisation : par conversion A/N. On s’intéresse à la Théorie du signal, Cette discipline donne une description mathématique des signaux. Cette théorie fait appel à l’algèbre linéaire, l’analyse fonctionnelle, l’électricité et l’étude des processus aléatoires. Elle est apparue en 1930 avec les premiers travaux de Wiener et Kintchin sur les processus aléatoires, et ceux de Nyquist et Hartley sur la quantité d’information transmise sur une voie télégraphique. Les contributions essentielles au TS n’interviennent qu’après la guerre mondiale. © M.ESSAID. B Page 2 Chapitre 1: Généralités sur les signaux Signaux Analogiques / Discrets, Signaux particuliers, Signaux Déterministes et Signaux Aléatoires, Notions de Puissance et Énergie. Sur le plan théorique, le modèle d’un signal est une fonction, réelle ou complexe, ou une fonctionnelle dépendant par exemple de la variable temps t. Il est avantageux d’attribuer chaque modèle a une classe spécifique regroupant les signaux jouissant de propriétés communes. 1. Modes de classification: Différents modes de classification des modèles de signaux peuvent être envisagés. Parmi les principaux, on peut citer:  classification phénoménologique : on met ainsi en évidence le type évolution du signal, son caractère prédéterminé ou son comportement aléatoire.  classification énergétique : on sépare les modèles de signaux satisfaisant a une condition d’énergie finie d’autres plus idéalisés, a puissance moyenne finie et énergie infinie.  classification morphologique : celle-ci permet de distinguer les signaux selon le caractère continu ou discret de l’amplitude et de la variable libre.  classification spectrale : on met en évidence le domaine des fréquences dans lequel s’inscrit le spectre du signal.  classification dimensionnelle : on considère les signaux unidimensionnels x(t), les signaux bidimensionnels -ou image- i(x,y), voire les signaux tridimensionnels i(x,y,t) représentant par exemple l’évolution d’une image en fonction du temps. I. SIGNAUX ANALOGIQUES ET NUMÉRIQUES Définition : Un signal analogique est un signal variant continûment dans le temps. © M.ESSAID. B Page 3 Exemple : Un microphone est un capteur qui transforme en une tension électrique analogique le signal associé à l'onde acoustique en un point M. Définition : Au contraire, un signal numérique est un signal variant de façon discontinue dans le temps. Exemple : La télévision numérique terrestre (TNT) repose sur des signaux numériques. Remarque : tout signal analogique peut être converti en un signal numérique en utilisant des convertisseurs analogique/numérique et vis versa. II. SIGNAUX DÉTERMINISTES OU ALÉATOIRES Cette classification est obtenue en considérant la nature profonde de l’évolution du signal en fonction du temps. Elle fait apparaitre deux types fondamentaux de signaux :  Les signaux déterministes (ou certains), dont l’évolution en fonction du temps peut être parfaitement prédite par un modèle mathématique approprie.  Les signaux aléatoires, dont le comportement temporel est imprévisible et pour la description desquels il faut se contenter d’observations statistiques. Signaux Déterministes Aléatoires Périodiques Non-Périodique s Stationnaires Non-Stationnaires © M.ESSAID. B Page 4 Parmi les signaux déterministes, on distingue : 1) Les signaux périodiques, satisfaisant à la relation ) ( ) ( kT t x t x   , k entier. Qui obéissent a une loi de répétition cyclique régulière, de période T. 2) Les signaux non périodiques, qui ne jouissent pas de cette propriété. Les signaux sinusoïdaux, d’équation générale :                      t T A t T A t x 2 sin 2 sin ) ( forment le groupe le plus familier de signaux périodiques. Parmi les signaux aléatoires, on distingue : 1) Les signaux stationnaires, qui ont des propriétés statistiques qui ne dépendent pas du temps. 2) Les signaux non-stationnaires, qui ont des propriétés statistiques en fonction du temps. III. SIGNAUX PARTICULIERS Dans ce paragraphe, on présente la description mathématique de signaux élémentaires, souvent idéaux (ne sont pas réalisable physiquement), mais très pratiques pour la description de modèles mathématique. 1) fonction signe : noteé sgn(t) C’est une fonction réelle de la variable réelle t définie par : La fonction sgn est une fonction impaire, sgn(t)=-sgn(-t), t Par convention, on définit : sgn(0)=0 2) fonction échelon unité : notée ε(t) ou u(t) Echelon unité, échelon ou fonction de Heaviside, est une fonction réelle de la variable réelle t défini par : © M.ESSAID. B Page 5 Avec par convention : ε(0)=1/2 On peut écrire la fonction échelon en fonction de la fonction signe comme suite : 3) fonction rampe : notée r(t) : NB : 4) fonction rectangle ou porte : notée rect : П(t) La fonction rectangle unité ou fonction porte, de largeur 1, est une fonction réelle de la variable réelle t définie par : NB : rect(t)= ε(t+1/2)- ε(t-1/2) RQ : On remarque que l’aire (la surface) de la fonction rectangle de largeur unité vaut 1. La fonction rectangle, ou porte, de largeur T, notée rectT, est une fonction réelle du variable réelle définie par : Où : rectT(t)=rect(t/T)= ε(t+T/2)- ε(t-T/2) NB : l’aire de la fonction rectangle de largeur T vaut T. En introduisant le changement : t = t/T on obtient d'une manière plus générale pour une impulsion rectangulaire de durée T centrée en t = : © M.ESSAID. B Page 6 5) fonction triangle : notée Tri(t) ou Δ(t) La fonction triangle est une fonction réelle de la variable réelle t définie par : NB : l’aire de la fonction triangle unité 1 et la largeur de son support vaut 2. La fonction triangle de largeur 2T (ou d’aire égale à T) est notée : De même, on peut écrire : C’est une fonction triangle d’amplitude A, centré en  et de largeur qui vaut 2T. 6) Impulsion de Dirac : notée δ(t) Impulsion de Dirac δ(t), ou distribution de Dirac, vérifie : Propriété :   Pour toute fonction x(t) continue en t=t0, on a :       © M.ESSAID. B Page 7 7) Suite périodique d’impulsions de Dirac : notée δT(t) Une suite d’impulsions de Dirac se répétant sur l’axe du temps avec une période T est notée δT(t) avec : Cette suite est parfois appelée : Fonction d’échantillonnage ou peigne de Dirac (en anglais Comb). 8) L’opérateur de répétition : noté repT{x(t)} Est une notation commode à utiliser pour la représentation de signaux périodiques : Une illustration en est donnée sur la figure suivante : IV. VALEURS CARACTÉRISTIQUES D’UN SIGNAL Soit un signal x(t) définit sur un intervalle [t1, t2] 1) Valeur moyenne : 2) Valeur quadratique, ou énergie : (1) 3) Valeur quadratique moyenne ou puissance : (2) Ou 4) Valeur efficace : VALEURS © M.ESSAID. B Page 8 V. SIGNAUX A ENERGIE OU PUISSANCE MOYENNE FINIE Une distinction fondamentale peut être faite entre deux grandes catégories de signaux :  Les signaux à énergie finie ;  Les signaux à puissance moyenne finie non nulle. La première catégorie comprend tous les signaux de type transitoire. La deuxième catégorie englobe presque tous les signaux périodiques, quasi périodiques et les signaux aléatoires permanents. Certains signaux n’appartiennent à aucune de ces deux catégories : c’est le cas par exemple de x(t)=exp(a t) pour - < t < . L’énergie totale et la puissance moyenne totale d’un signal sont obtenues en considérant un intervalle s’étendant à tout l’axe réel. Les relations (1) et (2) sont alors modifiées comme suit : Pour les signaux périodiques, la puissance moyenne totale est égale à la puissance moyenne sur une période. Si le signal est représenté par une fonction complexe de la variable réelle t, on remplace uploads/Philosophie/ chapitre-1 4 .pdf