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Support de Cours Algèbre 1 ENSA-TETOUAN, 2AP1 Loubna ZLAIJI Table des matières

Support de Cours Algèbre 1 ENSA-TETOUAN, 2AP1 Loubna ZLAIJI Table des matières 1 Logique Mathématique 1 1.1 Assertion et Proposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Les connecteurs logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2.1 Négation, conjonction, disjonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2.2 Implication, équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Les quantiﬁcateurs mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.1 Les quantiﬁcateurs simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.2 Les quantiﬁcateurs multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4 Méthodes de raisonnement mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4.1 Raisonnement par hypothèse auxiliaire . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4.2 Raisonnement par contraposée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4.3 Raisonnement par l’absurde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4.4 Raisonnement par contre-exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4.5 Raisonnement par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 ii Chapitre 1 Logique Mathématique 1.1 Assertion et Proposition Déﬁnition 1.1.1 — On appelle assertion un énoncé qui peut être vrai (noté V ) ou faux (noté F), on appelle ces derniers valeurs de vérité de l’assertion. On utilise généralement des lettres majuscules pour noter une assertion (par exemple P, Q, R . . .). On peut décrire une assertion à l’aide d’une table de vérité P V F Exemples 1. L’assertion " 24 est un multiple de 2 " est vraie. 2. L’assertion " 3>10 " est fausse. 3. " 5+8 " n’est pas une assertion. Considérons maintenant l’énoncé " n est un multiple de 2 " où n ∈N. On ne peut pas dire si cette énoncé est vrai ou faux, puisque sa valeur de vérité dépend de n. Par conséquent l’énoncé " n est un multiple de 2 " n’est pas une L’assertion. On dit que c’est une proposition. 1 Introduction Déﬁnition 1.1.2 — On appelle proposition un énoncé qui dépend d’une ou de plusieurs variables, vrai pour certaines valeurs de ces variables et faux pour les autres. Exemples 1. l’énoncé P(n) : n est un nombre pair est une proposition à une variable, vraie pour les nombres pairs et fausse pour les nombres impairs. Mais — P(6) : " 6 est un nombre pair " est une proposition vraie — P(7) : " 7 est un nombre pair " est une proposition fausse 2. l’énoncé P(x,A) : x ∈A est une proposition à deux variables. Mais — P(1/3, Q) : " 1/3 ∈Q " est une assertion vraie — P(i-1, R) : " i −1 ∈R " est une assertion fausse Remarque 1.1.1 — On peut considérer une assertion comme une proposition sans variable. Ce qui permet de n’utiliser par la suite que les propositions. 1.2 Les connecteurs logiques Les connecteurs logiques permettent de créer de nouvelles propostions à partir d’autres déjà existantes. Les connecteurs logiques usuels sont : "et", "ou", "non", "= ⇒" et "⇐ ⇒". 1.2.1 Négation, conjonction, disjonction Déﬁnition 1.2.1 — La négation d’une proposition P, notée non(P) ou ¯ P, est vraie lorsque P est fausse, fausse lorsque P est vraie. 2 Introduction P non(P) V F F V Exemples • Non (x ∈A) ⇐ ⇒x / ∈A. • Non (x ≤1) ⇐ ⇒x > 1. Déﬁnition 1.2.2 — Soient P et Q deux propositions. • La proposition "P et Q", appelée conjonction de P et Q, n’est vraie que lorsque P et Q sont toutes les deux vraies. On la note aussi P ∧Q. • La proposition "P ou Q", appelée disjonction de P et de Q, est vraie lorsque l’un au moins des deux propositions P et Q est vrai, faux quand les deux sont fausses. On la note aussi P ∨Q. Les tables de vérité des deux connecteurs logiques "et" et "ou" sont comme suit : P Q P ∧Q V V V V F F F V F F F F P Q P ∨Q V V V V F V F V V F F F 3 Introduction Exemples • Les propositions : P : 10 est divisible par 2 est vraie Q : 10 est divisible par 3 est fausse Par suite, "P et Q" est fausse, et "P ou Q" est vraie. • Pour x ∈R, on considère les propositions : P(x) : x ≤1 Q(x) : x ≥2 Alors les propositions : – P(x) ou Q(x) : x ≤1 ou x ≥2 est vraie sur ] −∞, 1] ∪[2, +∞[ et fausse sur ]1, 2[. – P(x) et Q(x) : x ≤1 et x ≥2 est fausse pour tout x ∈R. 1.2.2 Implication, équivalence Déﬁnition 1.2.3 — Soient P et Q deux propositions. • La proposition "P = ⇒Q",qui se lit P implique Q, est fausse lorsque P est vraie et Q fausse, et vraie dans tous les autres cas. • La proposition "P ⇐ ⇒Q",qui se lit P équivaut à Q, est vraie lorsque P et Q sont toutes les deux vraies ou fausses, et fausse dans tous les autres cas. Exemple 1. « 4 est un nombre premier » = ⇒« Rabat est la capitale du Maroc » est vraie. Remarque 1.2.1 — L’implication Q = ⇒P s’appelle l’implication réciproque de P = ⇒Q. 4 Introduction P Q P = ⇒Q V V V V F F F V V F F V P Q P ⇐ ⇒Q V V V V F F F V F F F V Voici les principaux propriétés concernant la négation, la conjonction et la disjonction : Proposition 1.2.1 — Soit P, Q et R trois propositions. Alors : 1. P ⇐ ⇒P 2. P ∧P ⇐ ⇒P 3. P ∨P ⇐ ⇒P 4. P ∨Q ⇐ ⇒Q ∨P (commutativité du "ou" logique) 5. P ∧Q ⇐ ⇒Q ∧P (commutativité du "et" logique) 6. (Lois de Morgan) P ∨Q ⇐ ⇒P ∧Q P ∧Q ⇐ ⇒P ∨Q 7. (P ∨Q) ∨R ⇐ ⇒P ∨(Q ∨R) (associativité du "ou" logique) 8. (P ∧Q) ∧R ⇐ ⇒P ∧(Q ∧R) (associativité du "et" logique) 9. P ∨(Q∧R) ⇐ ⇒(P ∨Q)∧(P ∨R) (distributivité de "ou" par rapport à "et") 10. P ∧(Q∨R) ⇐ ⇒(P ∧Q)∨(P ∧R) (distributivité de "et" par rapport à "ou") 5 Introduction Preuve — La démonstration de chacune des propriétés ci-dessus se fait en comparant les valeurs de vérités des deux propositions liées par équivalence. Par exemple, pour la première loi de Morgan, on a P Q P ∨Q P ∨Q P Q P ∧Q V V V F F F F V F V F F V F F V V F V F F F F F V V V V Pour l’implication et l’équivalence on a la proposition suivante : Proposition 1.2.2 — Soit P, Q deux propositions. Alors : 1. (P = ⇒Q) ⇐ ⇒(P ∨Q) 2. (P = ⇒Q) ⇐ ⇒(P ∧Q) 3. (P = ⇒Q) ⇐ ⇒(Q = ⇒P) 4. (P ⇐ ⇒Q) ⇐ ⇒(Q ⇐ ⇒P) 5. (P ⇐ ⇒Q) ⇐ ⇒(P = ⇒Q et Q = ⇒P) 6. (P = ⇒Q)∧(Q = ⇒R) = ⇒(P = ⇒R) (l’implication est transitive) 7. (P ⇐ ⇒Q)∧(Q ⇐ ⇒R) = ⇒P ⇐ ⇒R (l’équivalence est transitive) 8. ( ¯ P = ⇒Q) ∧( ¯ P = ⇒¯ Q) ⇐ ⇒P 9. (P ∧(P = ⇒Q)) = ⇒Q Remarques 1.2.1 — • L’implication non(Q) = ⇒non(P) s’appelle la contraposée de l’implication P = ⇒Q. On dit aussi que non(Q) = ⇒ non(P) s’obtient par contraposition de P = ⇒Q. 6 Introduction • Il est immediat que P ∨P ( appelé principe du tiers exclu) alors que P ∧P est toujours fausse P = ⇒P P ⇐ ⇒P P ∧Q = ⇒P P = ⇒P ∨Q 1.3 Les quantiﬁcateurs mathématiques 1.3.1 Les quantiﬁcateurs simples Une proposition quantiﬁée est construite uploads/Philosophie/ suppcours-chp1-logique.pdf