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ANALYSE I Chapitre 1 : Propriétés topologique et algébrique de R 1) Les ensembl

ANALYSE I Chapitre 1 : Propriétés topologique et algébrique de R 1) Les ensembles N, Z, Q et existence des nombres réels dans la nature (diagonale du carré unité) 2) Propriétés algébriques de R : (R,+,.) corps commutatif 3) Ordre dans R : Définition, ordre total, compatibilité avec « + » et « . », max et min de deux nombres réels, intervalles, caractérisation d’un intervalle. 4) Borne supérieure (inférieure) : Majorants, minorants, max. min, sup et inf d’un ensemble ; Axiome de la borne supérieure, Caractérisation de la borne sup et inf ; Propriétés ou compatibilité avec les opération sur les ensembles ( sup(A+B) sup(AUB), … 5) Valeur absolue 6) Partie entière et densité de Q dans R 7) Racine nième d’un nombre réel Chapitre 2 : Suites numériques 1) Généralités sur les suites réelles : définition, suite majorée, minorée bornée, croissante décroissante ; sous suites 2) Limite d’une suite réelle et propriétés algébriques de la limite 3) Critères de convergences : définition de la convergence, critère de convergence pour les suites monotones ; suites adjacentes ; Théorème de Bolzano‐Weierstrass, suites de Cauchy 4) Suites particulières Chapitre 3 : Fonction réelle d’une variable réelle, Limites 1) Généralités : domaine de définition, ensemble image, graphe d’une fonction, parité, périodicité, monotonie, bornitude, opérations algébriques sur les fonctions, fonctions complexes d’une variable réelle. 2) Limites : définitions, unicité de la limite, théorème des limites et suites, compatibilités de la limite avec les opérations algébriques et l’ordre, les limites classiques, limites des fonctions monotones. Chapitre 4 : Fonctions d’une variable réelle, continuité 1) Généralités : Continuité en un point à gauche et à droite, continuité sur un intervalle, continuité uniforme, fonctions lipchitziennes comme fonctions uniformément continue, continuité et opérations algébriques 2) Propriétés des fonctions continues : théorème de Heine (équivalence de la continuité uniforme et la continuité sur les intervalles compacts), théorème de Weierstrass, théorème des valeurs intermédiaires, Inversions des fonctions monotones continues. Chapitre 5 : Fonctions d’une variable réelle, Dérivabilité et convexité 1) Définitions et propriétés : Dérivabilité en un point a gauche et a droite, interprétation géométrique et physique (la dérivée comme vitesse ou accroissement équation de la tangente), opérations algébriques. 2) Extremum local et point critique 3) Théorème de Rolle et théorème des accroissements finis, monotonie des fonctions dérivables. 4) Théorème des accroissements finis généralisé et règle de L’Hôpital 5) Dérivées successives et fonctions de classe Ck 6) Fonctions convexes dérivables, deux fois dérivables Chapitre 6 : Fonction réelle d’une variable réelle, Intégration 1) Intégration des fonctions en escalier 2) Fonctions intégrables, 3) Intégrabilité des fonctions continues sur un intervalle compact, continues par morceaux ou monotone 4) Intégrale d’une fonction continue par morceaux sur un segment 5) Propriétés de l’intégrale 6) Sommes de Riemann 7) Intégrale et primitive 8) Intégration par parties et changement de variables Chapitre 7 : Fonctions élémentaires 1) Fonctions trigonométriques et leurs inverses 2) Fonctions Logarithme et Exponentielle 3) Fonctions Logarithme et Exponentielle de base a 4) Puissance réelle et fonction puissance 5) Comparaisons des fonctions log et exp avec les fonctions puissances a l’infini 6) Fonctions Hyperboliques et leurs inverses Chapitre 8 : Approximation 1) Formules de Taylor application (obtention de valeurs approximatives) 2) Comparaison des fonctions au voisinage d’un point et notations de Landau 3) Développements limités et DL généralisés et applications a la détermination des tangentes asymptotes et leurs positions ainsi qu’au calcul des limites 4) Formule de Stirling et développement de log(n!) Chapitre 9 : Calcul des primitives 1) Primitives des fonctions usuels 2) Intégration par parties et changements de variables 3) Primitives des fractions rationnelles 4) Changements de variables usuels 5) Primitives des polynômes trigonométriques Chapitre 10 : Equations différentielles 1) Généralités 2) Équations différentielles linéaires du premier ordre 3) Différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants ALGEBRE I Objectifs : La première partie permet à l’étudiant de se familiariser avec les différents modes de raisonnement, et de maitriser les notions de calcul algébrique, complexe et arithmétique. La deuxième partie permettra à l’étudiant d’acquérir les notions de base d’algèbre linéaire à savoir l’espace vectoriel, application linéaire et matrice. Chapitre 1 : Raisonnement et vocabulaire ensembliste 1) Eléments de logique 2) Ensembles 3) Applications et relations Chapitre 2 : Nombres complexes : rappels et compléments Nombres complexes ; Conjugaison et module ; Forme trigonométrique ; Équations algébriques ; Racines n‐ièmes ; Exponentielle complexe ; Interprétation géométrique. Chapitre 3 : Arithmétique dans Z 1) Divisibilité et division euclidienne 2) PGCD et algorithme d’Euclide 3) PPCM 4) Entiers premiers entre eux 5) Nombres premiers 6) Décomposition d’un entier en nombres premiers 7) Congruences Chapitre 4 : Structures algébriques usuelles 1) Loi de composition interne 2) Structure de groupe, groupe cyclique, groupe quotient 3) Structure d’anneau (exemple Z/nZ) 4) Théorème des restes chinois 5) Structure de corps (exemples Z/pZ, Q, R, C, quaternion) Chapitre 5 : Polynômes et fractions rationnelles 1) Anneau des polynômes à une indéterminée 2) Divisibilité et division euclidienne 3) Fonctions polynomiales et racines 4) Dérivation 5) Arithmétique dans K[X ] 6) Polynômes irréductibles de C[X ] et R[X ] 7) Formule d’interpolation de Lagrange 8) Fractions rationnelles 9) Décomposition en éléments simples sur C et sur R Chapitre 6 : Espaces vectoriels et applications linéaires I ‐ Espaces vectoriels 1) Espaces vectoriels 2) Sous‐espaces vectoriels 3) Familles de vecteurs 4) Somme de deux sous‐espaces II ‐ Espaces de dimension finie 1) Existence de bases 2) Dimension d’un espace de dimension finie 3) Sous‐espaces et dimension III ‐ Applications linéaires 1) Généralités 2) Endomorphismes 3) Déterminant d’une application linéaire 4) Théorème du rang 5) Formes linéaires et hyperplans IV ‐ Sous‐espaces affines d’un espace vectoriel Chapitre 7 : Calcul matriciel et systèmes linéaires 1) Opérations sur les matrices 2) Opérations élémentaires 3) Systèmes linéaires 4) Anneau des matrices carrées Chapitre 8 : Matrices I ‐Matrices et applications linéaires 1) Matrice d’une application linéaire dans des bases 2) Application linéaire canoniquement associée à une matrice 3) Systèmes linéaires II ‐ Changements de bases, équivalence et similitude 1) Changements de bases 2) Matrices équivalentes et rang 3) Matrices semblables et trace Statistique Descriptive Le 21ème siècle a apporté de nouveaux défis dans l'analyse des données, et il est de plus en plus évident que les solutions à ces problèmes sont à la fois statistiques et informatiques. En effet, les décideurs ont accès à plus de données que jamais auparavant, mais pour en tirer un sens et des informations exploitables, il faut des outils et une expertise spécialisée. L’étudiant sera capable, entre autres, de s'appuyer sur les probabilités et les statistiques pour interpréter les grandes quantités de données collectées afin de résoudre des problèmes majeurs. Employée la première fois dans le cadre des recensements de la population, la statistique descriptive est utilisée aujourd’hui dans de nombreux domaines et disciplines, à savoir l'économie, la finance, l'assurance, le marketing, la géologie, la biologie, la médecine, la météorologie et bien d’autres. Ce large éventail de domaines d'application s'explique par le fait qu’une fois que l'on dispose de données sur le phénomène que l'on désire analyser, il est nécessaire de les traiter afin de pouvoir les exploiter pour en extraire un certain nombre d'informations pertinentes. Ceci est principalement le but de la statistique descriptive, qui permet de résumer et synthétiser l'ensemble des données étudiées au travers de graphiques, tableaux et divers indicateurs. La statistique descriptive permet également d'analyser et quantifier la relation entre plusieurs phénomènes, i.e. plusieurs variables, et de mesurer l'intensité d'une telle liaison. Chapitre 1 : Statistiques descriptives : généralités 1 ‐ Définitions et généralités 2 ‐ Caractère qualitatif et caractère quantitatif Chapitre 2 : Les statistiques simples 1 ‐ Introduction 2 ‐ Représentations graphiques des distributions de fréquences a) Variables statistiques discrètes b) Variables statistiques groupées ou continues 3 ‐ Paramètres de position a) La moyenne des valeurs extrêmes b) La médiane c) Les quantiles (fractiles) d) Le mode (ou valeur dominante) e) La moyenne arithmétique f) La moyenne géométrique g) La moyenne harmonique h) La moyenne quadratique. i) La moyenne d’ordre r j) La ϕ‐moyenne k) Comparaisons et inégalités entre les différentes moyennes 4 ‐ Caractéristiques de dispersion a) L’étendue b) Les écarts inter‐quantiles c) Les écarts absolus d) L’écart type, [variance et coefficient de variation] e) L’écart d’ordre r moyen f) Inégalités entre les écarts absolus et les écarts d’ordre pairs moyens 5 ‐ Caractéristiques de forme a) Les coefficients d’asymétrie b) Les coefficients d’aplatissement 6 ‐ Caractéristiques de concentration a) La courbe de concentration b) L’indice de concentration (indice de Gini) c) La médiale d) Une remarque : l’intervalle de concentration 7 – Quelques indices a) Indices élémentaires b) Indices synthétiques Chapitre 3 : Statistiques doubles 1 ‐ Généralités sur les distributions à deux dimensions et statistiques marginales 2 ‐ Distributions conditionnelles ‐ Indépendance statistique ‐ Liaison fonctionnelle 3 ‐ Les représentations graphiques : nuage de points et stéréogramme 4 ‐ Paramètres d’une distribution à deux dimensions 5 ‐ Régression et corrélation a) La régression : méthode des moindres carrées et ajustement linéaire affine (droite de Mayer et droite des moindres carrées) uploads/Philosophie/ analyse-i-chapitre-1.pdf