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Cours : Théorie des semi-groupes pour les étudiants de première année master Pr

Cours : Théorie des semi-groupes pour les étudiants de première année master Pr. Dalila Azzam-Laouir Département de Mathématiques Faculté des Sciences Exactes et Informatique Université Mohamed Seddik Benyahia de Jijel 15 juin 2020 TABLE DES MATIÈRES 1 Introduction 3 2 Rappels 4 2.1 Opérateurs linéaires bornés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.2 Diﬀérents types de Convergence dans L(E, F) . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.2.1 Convergence en norme (uniforme) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.2.2 Convergence ponctuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.3 Théorèmes de l’application ouverte et du graphe fermé . . . . . . . . . . . . 8 2.4 Opérateurs inversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.5 L’opérateur exponentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.6 Résolvante et spectre d’opérateurs linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.7 Fonctions à valeurs dans un espace de Banach (Fonctions abstraites) . . . . . 12 2.7.1 Limite et continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.7.2 Diﬀérentiabilité et analycité des fonctions abstraites . . . . . . . . . . 13 2.7.3 Intégration des fonctions abstraites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.8 Espaces Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3 Semi-groupes 18 3.1 Semi-groupes d’opérateurs bornés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.2 Semi-groupes fortement continus (C0-semi-groupes) . . . . . . . . . . . . . . 28 3.3 Théorème de Hille-Yosida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1 TABLE DES MATIÈRES 3.4 Théorème de Lumer-Phillips . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.5 Un exemple d’application du théorème de Hille-Yosida . . . . . . . . . . . . 54 2 CHAPITRE 1 Introduction Ce cours s’adresse aux étudiants de première année master : Analyse Fonctionnelle. Il a pour objectif de donner les déﬁnitions et les propriétés fondamentales des semi-groupes ainsi que leurs applications à la résolution des problèmes de Cauchy abstraits. Néanmoins, ce cours peut intéresser les étudiants d’autres disciplines de mathématiques, vu qu’on trouve plusieurs applications de cette théorie non seulement dans la théorie des EDP ou la théorie des processus stochastiques, mais les semi-groupes deviennent aujourd’hui un outil très puis- sant dans la résolution des équations intégro-diﬀérentielles et des équations diﬀérentielles fonctionnelles issues de la mécanique quantique et aussi dans la théorie du contrôle. Les méthodes utilisant les semi-groupes sont également appliquées aujourd’hui dans la ré- solution des équations concrètes qui se produisent dans la dynamique de la population ou dans la théorie du transport. Au cours de la préparation de ce manuscrit, je me suis essentiellement basée sur les références [4] et [1]. Les étudiants peuvent aussi consulter la référence [3]. 3 CHAPITRE 2 Rappels Dans le but de faciliter à l’étudiant la lecture et la compréhension des preuves des princi- paux théorèmes du chapitre 3, nous rappelons ici quelques notions de l’analyse fonctionnelle, en particulier, des opérateurs, mais sans aller loin dans les détails, vu que ces notions ont été déjà enseignées dans des modules prérequis. 2.1 Opérateurs linéaires bornés Soit (E, ∥· ∥E) et (F, ∥· ∥F) deux espace vectoriels normés sur le même corps K = R ou C, et soit A : E − →F un opérateur. Pour x ∈E, nous adoptons la notation Ax au lieu de A(x), pour son image. On note par D(A) le domaine de déﬁnition de A, i.e., D(A) = ¦ x ∈E : Ax ∈F © = ¦ x ∈E : Ax existe © . Déﬁnition 2.1.1. L’opérateur A : D(A) ⊂E − →F est dit linéaire si D(A) est un sous espace vectoriel de E et pour tous x, y ∈D(A), et tous α, β ∈K, A(αx + βy) = αAx + βAy. On note par Im(A) et Ker(A) l’image et le noyau de l’opérateur A, i.e., Im(A) = ¦ Ax : x ∈D(A) © et ker(A) = ¦ x ∈D(A) : Ax = 0 © . Théorème 2.1.1. Soit A : E − →F un opérateur linéaire. Alors les propriétés suivantes sont équivalentes. 4 2.2. Diﬀérents types de Convergence dans L(E, F) 1. A est continu sur E ; 2. A est continu au point 0 ; 3. il existe une constante c ≥0 telle que ∥Ax∥F ≤c∥x∥E pour tout x ∈E. Déﬁnition 2.1.2. L’opérateur linéaire A : E − →F est dit borné, si pour tout sous ensemble borné M de E, A(M) est un borné de F. Proposition 2.1.2. L’opérateur linéaire A : E − →F est borné si et seulement si A(BE) est un borné de F, où BE est la boule unité fermée de E. Proposition 2.1.3. Soit A : E − →F un opérateur linéaire. Alors A est borné si et seule- ment si A est continu. Par cette dernière proposition, on voit bien que les notions d’opérateur linéaire borné et d’opérateur linéaire continu sont équivalentes. On note par L(E, F) l’ensemble des opérateurs linéaires continus (bornés) déﬁnis sur E à valeurs dans F. Si E = F, on note cet espace L(E) au lieu de L(E, E) et si F = K, on note E′ = L(E, K), appelé le dual de E. Proposition 2.1.4. Soit A : E − →F un opérateur linéaire continu. Alors l’application A 7→supx∈BE ∥Ax∥F déﬁnit une norme sur L(E, F), que l’on notera ∥· ∥L. De plus, nous avons sup x∈BE ∥Ax∥F = sup x∈SE ∥Ax∥F = sup x∈E\{0} ∥Ax∥F ∥x∥E = inf ¦ c ≥0 : ∥Ax∥F ≤c∥x∥E ∀x ∈E © , et ∥Ax∥F ≤∥A∥L ∥x∥E ∀x ∈E. Ici, SE est la sphère unité de E. 2.2 Diﬀérents types de Convergence dans L(E, F) Soit (An) ⊂L(E, F) et A ∈L(E, F). 5 2.2. Diﬀérents types de Convergence dans L(E, F) 2.2.1 Convergence en norme (uniforme) Déﬁnition 2.2.1. On dit que (An) converge en norme (ou uniformément) vers A sur E si lim n→∞∥An −A∥L = 0. Ceci se traduit par lim n→∞sup x∈BE ∥Anx −Ax∥F = 0. Remarquons que la convergence en norme de (An) vers A est équivalente à sa convergence uniforme sur la boule unité fermée de E, ou plus généralement sur toute partie bornée de E. D’où la terminologie de convergence en norme ou convergence uniforme. 2.2.2 Convergence ponctuelle Déﬁnition 2.2.2. On dit que (An) converge ponctuellement vers A si pour tout x ∈E, (Anx) converge fortement dans F vers Ax, ie., pour tout x ∈E lim n→∞∥Anx −Ax∥F = 0. On dit aussi que (An) converge ponctuellement fortement vers A. Remarque 2.2.1. La convergence uniforme (en norme) implique la convergence ponctuelle forte. En eﬀet, si (An) converge uniformément vers A, alors tout x ∈E on a lim n→∞∥Anx−Ax∥F = lim n→∞∥(An −A)x∥F ≤lim n→∞∥An −A∥L∥x∥E = ∥x∥E lim n→∞∥An −A∥L = 0. Proposition 2.2.1. Si (F, ∥·∥F) est un espace de Banach, alors (L(E, F), ∥·∥L) l’est aussi. Théorème 2.2.2 (Théorème de Banach-Steinhaus). Soit E un espace de Banach et F un espace vectoriel normé. Soit (Ai)i∈J ⊂L(E, F). On suppose que pour tout x ∈E, sup i∈J ∥Aix∥F < +∞. Alors sup i∈J ∥Ai∥L < +∞. Autrement dit, il existe une constante c ≥0 (c = sup i∈J ∥Ai∥L) telle que ∥Aix∥F ≤c∥x∥E ∀x ∈E, ∀i ∈J, 6 2.2. Diﬀérents types de Convergence dans L(E, F) c’est à dire, qu’à partir d’estimations ponctuelles pour les opérateurs Aj, on peut en dégager une estimation uniforme. Preuve. Soit k ∈N et soit Ok = ¦ x ∈E : sup uploads/Philosophie/ theorie-des-semigroups.pdf