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Licence de Mathémati ues Henri BUCHWAL TER Henri BUCHWALTER Professeur à l'Univ

Licence de Mathémati ues Henri BUCHWAL TER Henri BUCHWALTER Professeur à l'Université Claude Bernard - Lyon 1 LE CALCUL INTÉGRAL en Licence de Mathématiques Ali rights reserved. No part of this book may be reproduœd or transmitted in any form or by any means, electronic or mechanical, including photocopying, recording or by any information storage and retrieval system, without permission in writing from the Publisher. La loi du 11 mars 1957 n'autorise que les •copies ou reproductions strictement réservées à l'usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective•. Toute représentation ou reproduction, intégrale ou partielle, faite sans le consentement de l'éditeur, est illicite. © COPYRIGHT 1991 EDITION MARKETING EDITEUR DES PREPARATIONS GRANDES ECOLES MEDECINE 32, rue Bargue 75015 PARIS ISBN 2-7298-4129-6 Introduction La théorie de l'intégrale de Riemann a fourni, dès le milieu du XIXème siècle, une première réponse sérieuse au problème de l'existence d'une primitive pour les fonctions continues. Du même coup, elle a permis d'intégrer certaines fonctions discontinues, ouvrant ainsi la voie à diverses extensions. Mais cette théorie s'est avérée insuffisante sur plus d'un point. En particulier elle rencontrait des difficultés quasiment insurmontables pour ramener le calcul des intégrales doubles au cas des intégrales simples successives, dès l'instant où l'on sortait du cadre privilégié de la continuité. Elle ne permettait pas non plus de mettre naturellement en évidence des espaces normés complets, pour les normes liées directement à la notion d'intégrale. Bien entendu ces défauts de complétude n'étaient pas perçus comme tels puisque les notions relatives aux ensembles et aux structures n'étaient pas encore élaborées. Néanmoins la théorie se fermait sur elle-même, sans progresser de façon spectaculaire, malgré l'avancée, située sur un autre plan, due à Stieltjes dans les années 1890 (intégrale de Riemann-Stieltjes). C'est alors que Borel, en introduisant la mesure des ensembles et les axiomes de dénombrabilité, puis au début du siècle, Lebesgue, en utilisant cette mesure pour résoudre le problème général de la primitive, ont permis de sauter le pas en offrant des outils de calcul, riches de potentialités entièrement nouvelles. Le paradoxe est même que Lebesgue, n'ayant pas complètement résolu le problème de la primitive (puisqu'il a fallu attendre Denjoy en 1915 pour cela) a cependant résoluĐ ou contribué à résoudre, d'autres problèmes aux implications plus vastes et plus fondamentales: C'est ainsi que la théorie de Lebesgue, et ses généralisations plus ou moins abstraites relevant des mêmes idées, ont envahi, comme outils indispensables la plupart des domaines liés à l'Analyse, que ce soit en Mathématiques pures (espaces LP et espaces de Banach, espace L 2 et espaces de Hilbert, Analyse harmonique, théories spectrales, ... ), en Mathématiques appliquées (Distributions, espaces de Sobolev, ... ) en Physique (espaces de Hilbert et théories quantiques), sans oublier le vaste univers probabiliste. Tout cela, brièvement résumé, permet de dire quđ l'intégrale de Lebesgue est maintenant une nécessité contemporaine, et qu'elle doit figurer naturellement assez tôt dans un cursus universitaire, de manière à être utilisée, comme outil banalisé mais performant, tout au long des études ultérieures. C'est pourquoi nous l'avons considérée comme l'un des piliers de la Licence de Mathématiques. Mais, dans le cadre contraignant de l'enseignement, il a fallu évidemment faire des choix, entre en dire trop ou en dire trop peu. Et pour évaluer ces choix, mieux vaut . donc consulter la table des matières des trois chapitres développés. On y verra que, sans entrer dans des développements trop raffinés, nous sommes allés à l'essentiel de la théorie: construction de l'intégrale et de la mesure (Carathéodory), théorèmes de passage à la limite (Beppo Lévi, Fatou, convergence dominée), intégrales doubles et multiples (Tonelli, Fubini, changement de variables), liens avec la topologie (Riesz Alexandroff et mesures de Radon) et avec l'Analyse fonctionnelle (espaces L 1 et L 2>. Quant aux applications elles n'ont été développées que dans deux directions : en offrant tout au long du cours une introduction au langage probabiliste, et en exposant une théorie, succincte mais assez complète, de la transformation de Fourier pour les groupes IRn. Le choix consistant à privilégier la notion d'ensembles, avec les mesures abstraites sur les tribus, se justifie facilement par un argument pédagogique. La théorie peut ainsi démarrer et progresser très vite, en allant cependant assez loin, avec un minimum de prérequis élémentaires de topologie des espaces métriques. Signalons encore que les résultats énoncés sont complètement démontrés (quand ils ne sont pas triviaux), soit sous forme directe, soit sous forme d'exercices, à l'exception du théorème de Riesz-Alexandroff, dont la preuve (pour la partie "existence"), trop longue et trop technique, est renvoyée à un cours de Maîtrise. En particulier la preuve du théorème de Carathéodory, sur l'extension d'une mesure, et celle du théorème du changement de variables pour la mesure de Borel sur lRn, sont toutes deux explicitées de façon complète et détaillée. Nous espérons donc que, tel qu'il est, ce cours rendra de nombreux services à ceux qui voudront s'initier à la théorie de Lebesgue. Nous souhaitons ainsi leur ouvrir l'accès à des ouvrages plus spécialisés, où cette théorie va alors de soi et n'est employée que comme outil indispensable et puissant, permettant des développements plus approfondis. SOMMAIRE CHAPITRE 1: FONCTIONS INTÉGRABLES 1.1 Rappels ensemblistes . ....... .. ........ ............. ................................................... 1 1.2 Arithmétique de i+ = [0, +oo ] ................................................................ ....... 3 1.3 Ann eaux et tribus .. . .. .. .. .. .. .... .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ................... ... .. .. .. .. .. .. .. ... .... .. .. 3 Tribu borélienne de lR P.................................................................................. 5 Tribus et partitions .. .. .. .. . .... . .... .. ...... . .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. 5 1.4 . Applications mesurables et fonctions mesurables réelles................................ 6 Les fonctions mesurables positives finies ou non............................................. 7 Les fonctions mesurables réelles...... .... .......................................................... 8 Les fonctions étagées .. .. .... .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. . ... .. .. ................................ 9 Théorème d'approximation ......................................................................... 9 1.5 Intégrales et mesures ... .. ........ ...... . .. .. .. ............... ................ ......... ...... .. .. ..... .. 10 Intégrale (supérieure) et mesure ........... ....... ................. .... ......... .............. ..... 10 Propriété de Bep po Lévi .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. ..... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . .. .................... 12 Mesure image, mesure à densité .. .. . .... .. .... .. .. .. .. . .... .. .. .. . .. .. . .. .. .. .. ...... . .. .. .. .. .. . .. 13 1.6 Construction des mesures .. .... ...... ............... .... .. ....... .... .. .. .... .. ........... .... .... .. . .. 14 Mesuressur un anneau ffi. ................................................ ..................... ........ 14 Théorème de monotonie décroissante . .. .. . .. .. .. .. ................... .... ...... .. .. .. .. .. .. . .. .. 15 Mesure longueur sur lR ou mesure de Borel ...................................................... 15 Extension d'une mesure. Mesure extérieure..................................................... 16 Ensembles négligeables ..................... :.......................................................... 17 Théorème de Carathéodory ........................... ................. ..... ....... . .. ,.............. 18 Problème de l'unicité. Les 1t-classes et les Â.-classes ......... .......... .. ...... ............ 20 Théorème de Dynkin........ ............................................ ........ ........................ 20 Mesures cr-finies et unicité du prolongement ............ .... ......... ........... .......... ... 21 1.7 Mesures sur R et lR P ...... .................... .... .. .... ·................................................ 22 Mesure de Borel sur JR. Tribu de Lebesgue .. .... ...... ......... ..... .... ......... .... .. ......... 22 Mesure de Borel sur lR? .... ............ ............ ............... .... .... .. .... ..... ............ ....... 23 Mesures boréliennes sur lR .... ... .. .. .. .. .... ... .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. 24 Mesures diffuses et mesures discrètes .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. ............. .... .............. 28 1.8 Fonctions intégrables . .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. 28 Théorème de Fatou .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .......... ..... .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. .. 28 Fonctions intégrables . . .. ... .. .. .. .. .. .. . .. .. . . .. .. .. .. . . .. . . . ..... ............ ............... ... .. ..... 30 II sommaire Théorème de convergence dominée de Lebesgue . . uploads/Philosophie/ tips-le-calcul-integral-licence-de-mathematiques-pdf.pdf