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Lecon1 pdf Th ?eorie Spectrale et M ?ecanique Quantique Christian Ge ?rard D ?epartement de Math ?ematiques Ba t UMR du CNRS Universit ?e de Paris-Sud F- Orsay C ?edex FRANCE email Christian Gerard math u-psud fr October Formalisme de la M ?ecanique Quant

Th ?eorie Spectrale et M ?ecanique Quantique Christian Ge ?rard D ?epartement de Math ?ematiques Ba t UMR du CNRS Universit ?e de Paris-Sud F- Orsay C ?edex FRANCE email Christian Gerard math u-psud fr October Formalisme de la M ?ecanique Quantique Nous d ?ecrivons brievement dans ce chapitre le formalisme math ?ematique de la M ?ecanique quantique Espaces de Hilbert ?etats A un systeme physique on associe un espace de Hilbert complexe H avec un produit scalaire Nous suivrons la convention des physiciens et le produit scalaire u v sera lin ?eaire par rapport av et antilin ?eaire par rapporta u L ? ?etat du systeme est d ?ecrit par un vecteur ? ?? H ? De tels vecteurs sont appel ?es des ?etats purs Les ?etats purs correspondent a des situations oul ? ?etat du systeme quantique est en principe compl ?etement d ?etermin ?e On verra dans la suite la notion d ? ?etats m ?elang ?es utilis ?es en physique statistique quantique Observables A chaque grandeur physiquement mesurable sur le systeme on associe un op ?erateur A sur H appel ?e une observable Si le systeme est dans l ? ?etat ? la valeur moyenne de la mesure de la grandeur correspondant a A est ? A ? Comme on ne mesure que des nombres r ?eels on obtient ? A ? A ? ? ? A ? ? i e par polarisation A A ? Les observables sont donc au moins formellement des op ?erateurs autoadjoints Notons qu ? il peut arriver que les op ?erateurs autoadjoints sur H ne soient pas tous associ ?esa des grandeurs physiquement mesurables ce ph ?enomene est connu en physique sous le nom de regles de superselection CLa valeur moyenne ? A ? n ? est pas n ?ecessairement born ?ee uniform ?ement sur tous les ?etats Des exemples typiques sont les observables correspondant a la position au moment ou a l ? ?energie d ? une particule quantique La traduction math ?ematique de ce fait est que l ? op ?erateur A peut etre non born ?e i e d ?e ?ni seulement sur un sous-espace lin ?eaire dense D A de H appel ?e domaine de A La condition traduisant le caractere r ?eel de ? A ? prend la forme plus forte suivante ? A ? A ? ? ?? ? ? ?? D A on dit alors que A est sym ?etrique Si ? A ? ? c ? ?? ? ?? D A alors ? ?? D A De tels op ?erateurs sont dits auto-adjoints On en d ?eduit le postulat suivant Les quantit ?es physiques mesurables sont associ ?ees a des op ?erateurs auto-adjoints sur H Exemple une particule quantique sur la droite r ?eelle H L R ?etat ? fonction de carr ?e int ?egrable avec ? x dx Observables ?? position x ? ? x ? x ? x x ? x D x ? ?? L R x ? ??