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Chapitre 3: Pythagore OBJECTIFS Calculer la racine carrée d’un nombre avec ou

Chapitre 3: Pythagore OBJECTIFS Calculer la racine carrée d’un nombre avec ou sans calculatrice Citer le vocabulaire lié au triangle rectangle Énoncer le théorème de Pythagore et l’illustrer en termes d’aires Calculer les longueurs des côtés d'un triangle rectangle, en utilisant la relation de Pythagore Énoncer la réciproque du théorème de Pythagore Déterminer si un triangle est rectangle ou non en utilisant la réciproque du théorème de Pythagore. Utiliser le théorème de Pythagore et sa réciproque dans une situation contextualisée.  3TQ Math Institut Sainte-Ursule Page 1 Chapitre 3 1. Racine carrée A. Voici un carré dont on te donne l’aire. COMPLETE puis TRACE le carré correspondant. Aire du carré : 9 cm2 a) Formule pour calculer l’aire d’un carré : ....................................................................... b) Calcul pour trouver l’aire de ce carré : .......................................................................... c) Longueur des côtés : .................................................................................................... d) Dessin du carré correspondant : B. En utilisant le même procédé que ci-dessus, COMPLETE le tableau suivant sans utiliser ta calculatrice. N’hésite pas à utiliser l’espace sous le tableau comme brouillon. Aire (cm2 ) 25 49 81 16 100 36 144 4 Longueur d’un côté (cm) 3TQ Math Institut Sainte-Ursule Page 2 Chapitre 3 Théorie : 3TQ Math Institut Sainte-Ursule Page 3 Chapitre 3 Voici la table des carrés des 20 premiers 1) Calcule la valeur exacte des racines carrées des nombres suivants. 1) √400 = 2) √64 = 3) √49 = 4) √121 = 5) √81 = 6) √225 = 7) √1 = 8) √10000 = 2) Calcule à l’aide de la calculette les racines carrées suivantes : 1) √60 = 2) √56 = 3) √147 = 4) √700 = 5) √1024 = 6) √180 = 7) √3 2+5 2=¿ 8) √4 2−3 2=¿ 9) √5 2+36=¿ 10) √2 2+6 2=¿ 3TQ Math Institut Sainte-Ursule Page 4 Chapitre 3 2. Découverte du théorème de Pythagore A. Rappel  Cite les sommets : ……. …….. …….  Note en langage mathématique la longueur des côtés : …….. ……… ……… ou …….. ……… ………  Note en langage mathématique l’amplitude de l’angle Â et son amplitude : ………………………….  Nomme ce triangle par rapport à ses angles …………………………………………………. 3TQ Math Institut Sainte-Ursule Page 5 Chapitre 3 B. Introduction 1) Dessine un triangle rectangle au centre du cadre. La mesure des côtés n’a pas d’importance. 2) Mesure précisément (sans arrondir) la longueur des côtés et note le à côtés de ceux-ci. 3) Trace un carré sur chaque côté du triangle 4) Numérote les carrés de 1 à 3 (du plus petit au plus grand) puis calcule leur aire. Aire du carré 1 =........................................................................................................................................ Aire du carré 2 =........................................................................................................................................ Aire du carré 3 =........................................................................................................................................ 5) Compare les aires des carrés 1 et 2 avec celle du carré 3. que constates-tu ? ................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................... 3TQ Math Institut Sainte-Ursule Page 6 Chapitre 3 Coté 1 Coté 2 Coté 3 Aire 1 Aire 2 Aire 3 Relation des aires Parles-en avec ton voisin ! 3TQ Math Institut Sainte-Ursule Page 7 Chapitre 3 Compare les aires des carrés dans ce triangle rectangle a = ……………. b = …………….. c = ……………….. aire du carré de côté a = ……………………………… aire du carré de côté b = ……………………………… aire du carré de côté c = ……………………………… lien entre les aires des 3 carrés : ………………………………………………. ………………………………………………..  Cette égalité illustre le Théorème de Pythagore ! 3TQ Math Institut Sainte-Ursule Page 8 Chapitre 3 Voici un autre exemple avec un triangle qui n’est pas rectangle. a = ……………. b = …………….. c = ……………….. aire du carré de côté a =……………………………… aire du carré de côté b =……………………………… aire du carré de côté c =……………………………… 3TQ Math Institut Sainte-Ursule Page 9 Chapitre 3 L’égalité est-elle vérifiée ? ………………………………………………………………………………………. Vérifie si ta relation est toujours correcte dans les triangles rectangles suivants. Relation de Pythagore : ………………………………………………………. ………………………………………………………. ………………………………………………………. Relation de Pythagore : ………………………………………………………. ………………………………………………………. ………………………………………………………. 3TQ Math Institut Sainte-Ursule Page 10 Chapitre 3 3. Le théorème de Pythagore a) Vocabulaire Complète : ABC est triangle rectangle en A car [ AB ] et [ AC ] sont deux côtés perpendiculaires. [BC ] est l’hypoténuse (côté opposé à l’angle droit). [ AB ] et [ AC ] sont les côtés de l’angle droit. Hypoténuse veut dire sous l’angle droit en grec. En effet, les grecs avaient l’habitude de représenter les triangles rectangles sur leur hypoténuse. b) Théorème 3TQ Math Institut Sainte-Ursule Page 11 Chapitre 3 c) Exercices sur le théorème de Pythagore 1) Écris pour chaque triangle rectangle la relation de Pythagore. Dessin Relation ………………………………… ………………………………… ………………………………… 2) Place chaque sommet et côté sur le triangle rectangle en respectant les égalités suivantes. S’il y a plusieurs propositions n’en note qu’une seule. lACl² = lABl²+lBCl² (en bleu) m² = n²+o² (en rouge) 3) Vérifie la relation de Pythagore dans ce triangle rectangle : 3TQ Math Institut Sainte-Ursule Page 12 Chapitre 3 4. Calcul de la mesure d’un côté d’un triangle rectangle ` a) Recherche de la longueur de l’hypoténuse Données : …………………………………………………. …………………………………………………. …………………………………………………. Inconnue : …………………………………………………. Relation de Pythagore : …………………………………………………. Solution : …………………………………………………. …………………………………………………. …………………………………………………. …………………………………………………. …………………………………………………. …………………………………………………. b) Recherche de la longueur d’un côté de l’angle droit 3TQ Math Institut Sainte-Ursule Page 13 Chapitre 3 ……………………………………….. ……………………………………….. ……………………………………….. ……………………………………….. Données : …………………………………………………. …………………………………………………. …………………………………………………. Inconnue : …………………………………………………. Relation de Pythagore : …………………………………………………. Solution : …………………………………………………. …………………………………………………. …………………………………………………. …………………………………………………. …………………………………………………. …………………………………………………. c) Synthèse d) Observe les triangles rectangles ci-dessous et détermine par calcul, la valeur de x dans chacun des cas. ……………………………………….. ……………………………………….. ……………………………………….. ……………………………………….. ……………………………………….. ……………………………………….. ……………………………………….. ……………………………………….. ……………………………………….. ……………………………………….. ……………………………………….. ……………………………………….. ……………………………………….. ……………………………………….. 3TQ Math Institut Sainte-Ursule Page 14 Chapitre 3 ……………………………………….. ……………………………………….. ……………………………………….. ……………………………………….. ……………………………………….. ……………………………………….. ……………………………………….. ……………………………………….. ……………………………………….. ……………………………………….. ……………………………………….. ……………………………………….. ……………………………………….. ……………………………………….. 3TQ Math Institut Sainte-Ursule Page 15 Chapitre 3 e) Détermine par calcul, à 0,01 cm près, la hauteur d’un triangle équilatéral de 5 cm de côté. Schéma : f) Détermine par calcul, à 0,01 cm près, le périmètre d’un losange si tu sais que la grande diagonale mesure 7 cm et la petite diagonale 4 cm. Schéma : ……………………………………….. ……………………………………….. ……………………………………….. ……………………………………….. ……………………………………….. ……………………………………….. ……………………………………….. ……………………………………….. ……………………………………….. ……………………………………….. ……………………………………….. ……………………………………….. ……………………………………….. ……………………………………….. ……………………………………….. ……………………………………….. 3TQ Math Institut Sainte-Ursule Page 16 Chapitre 3 g) Résoudre un problème 1) Un arbre a été abattu par la foudre. Quelle était la hauteur de l’arbre au départ ? (Exprime ta solution en mètre). 2) A quelle hauteur plane le cerf-volant ? (Exprime ta réponse en mètre). 3) Un bricoleur veut confectionner des étagères sous l’escalier ci-contre. Calcule au 0,01 près la longueur du montant 3. 3TQ Math Institut Sainte-Ursule Page 17 Chapitre 3 4) Quelle doit être la longueur de l’échelle pour atteindre une hauteur de 6 m si on lui donne 2 m de pied ? 5) Lorsque dans un catalogue, on lit : « Téléviseur de 55 cm », cela signifie que la diagonale de son écran (assimilé au rectangle) mesure 55 cm. Quelle est la hauteur de l’écran d’un téléviseur de 55 cm, dont la longueur est 44 cm ? Quelle est la longueur de l’écran d’un téléviseur de 70 cm dont la hauteur est 42 cm ? L’écran d’un téléviseur mesure 37,8 cm sur 50,4 cm. Comment sera-t-il répertorié dans le catalogue ? 55 cm 3TQ Math Institut Sainte-Ursule Page 18 Chapitre 3 5. Découverte de la réciproque du théorème de Pythagore a) Une pièce d’eau rectangulaire Deux amis décident de construire un étang. Pour cela, ils creusent un trou rectangulaire de 3m de long sur 1,10 de large et de 70 cm de profondeur. Une fois le travail terminé, l’un d’eux affirme que l’étang n’est pas rectangulaire. Pour le prouver il mesure la diagonale (3,3m) et utilise le théorème de Pythagore. Comment a-t-il procédé ? b) Dans chaque cas, entoure la mesure de côté qui pourrait être l’hypoténuse et vérifie si les dimensions sont celles d’un triangle rectangle. |AB| |BC| |AC| Vérification Rectangle ? a) 8 10 6 b) 5 6 7 c) 4,7 7,1 8,5 3TQ Math Institut Sainte-Ursule Page 19 Chapitre 3 6. Réciproque du théorème de Pythagore 3TQ Math Institut Sainte-Ursule Page 20 Chapitre 3 a) Détermine si les triangles suivants sont rectangles. Lorsque le triangle est rectangle, précise quelle est son hypoténuse et quel est le sommet de l’angle droit. Calculs : b) Résoudre un problème 3TQ Math Institut Sainte-Ursule Page 21 Chapitre 3 Triangle ABC |AB|=9 |BC|=15 |AC|=12 Triangle DEF |DE|=8 |EF|=15 |DF|=17 Triangle GHI |GH|=12 |HI|=15 |GI|=18 Triangle JKL |JK|=3,25 |KL|=3,97 |JL|=2,28 Triangle MNO |MN|=3,5 |NO|=4,7 |MO|=3,5 1) Dans un mouvement de jeunesse, chaque troupe doit monter sa tente. Afin de remporter le concours du meilleur montage, la troupe des Tangaras s’assure que le mât placé à l’entrée est bien vertical par rapport au sol horizontal. Ils mesurent la hauteur du mât et obtiennent 168 cm. Ensuite, ils déterminent la distance séparant le pied du mât et l’endroit où est planté le crochet du tendeur et trouvent 160 cm. Enfin la longueur du tendeur est de 234 cm. Le mât est-il vertical ? Justifie ta réponse par uploads/Religion/ chapitre-3-pythagore.pdf