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Baccalauréat Malien - Séries :SET – MTI – MTGC Adama Traoré Professeur Lycée Te

Baccalauréat Malien - Séries :SET – MTI – MTGC Adama Traoré Professeur Lycée Technique Page 1/5 Ministère de l'Éducation, de l’Alphabétisation et de la Promotion des Langues Nationales République du Mali Un Peuple Un Peuple Un Peuple Un Peuple – – – – Un But Un But Un But Un But – – – – Une Foi Une Foi Une Foi Une Foi EXAMEN EXAMEN EXAMEN EXAMEN : : : : Baccalauréat malien BAC 2012 SÉRIES SÉRIES SÉRIES SÉRIES : : : : SET- MTI - MTGC SESSION SESSION SESSION SESSION : : : : Juillet 2012 ÉPREUVE DE ÉPREUVE DE ÉPREUVE DE ÉPREUVE DE : : : : MATHÉMATIQUES DURÉE DURÉE DURÉE DURÉE : : : : 4 heures COEF : COEF : COEF : COEF : 5 Exercice 1 -------------------------------------------------------------------------------------------- [6 points] A/. Soit f la fonction numérique à variable réelle x définie par : f(x) = 2 3 1 2 2 x x x − + + 1°/ Déterminer l’ensemble de définition f D de f. (0,5pt) 2°/ Déterminer les réels a, b et c tels que pour tout x de f D on ait f(x) = ax + x b − 1 + x c + 1 (1pt) 3°/ En déduire l’ensemble des primitives de f sur f D (0,5pt) B/. Deux commerçantes, Awa et Fanta se rendent au marché pour acheter des mangues. Chaque mangue coute 5F l’unité. Awa dit à Fanta, je dispose d’un montant égal à m1 Francs et Fanta répond, moi aussi j’ai une somme égale à m2 Francs. L’entier m1 s’écrit m1 = 1x00y2 dans le système de numération de base huit et m2 s’écrit m2 = x1y003 dans le système de numération de base sept 1°/ Déterminer les chiffres x et y pour que chacune des deux commençantes puisse, avec la totalité de son argent, acheter un nombre maximum de mangues. (1,5pts) 2°/ Déterminer le montant que dispose chacune des commerçantes. En déduire le nombre de mangues que chacune d’elles peut acheter. (1pt) 3°/ a-) Décomposer m1 et m2 en produit de facteurs premiers (0,5pt) b-) En déduire le nombre de diviseurs de m1 et m2 puis le pgcd(m1 ; m2). (0,5pt) 4°/ Résoudre dans Z l’équation : m1u + m2v = 5 où u et v sont deux entiers relatifs. (0,5pt) T TS SV VP P Baccalauréat Malien - Séries :SET – MTI – MTGC Adama Traoré Professeur Lycée Technique Page 2/5 Exercice 2 -------------------------------------------------------------------------------------------- [6 points] I/ On considère le complexe Z défini par Z = i z z + 2 où z = x + yi, avec (x, y)∈ R2 1°/ On note Z = X + Yi, (X, Y)∈ R 2 Ecrire X et Y en fonction de x et y. (1,5pt) 2°/ Au complexe z on associe le point M(x, y) d’un plan rapporté à un repère orthonormé (O ; → u ; → v ). Déterminer l’ensemble (Г) des points M du plan tels que Z soit imaginaire pur non nul. (1pt) 3°/ Résoudre dans C l’équation z2 + 2iz – 2 = 0. Montrer que les images des solutions de cette équation appartiennent à l’ensemble (Г). (1pt) II/ 1°/ On désigne respectivement par a et b (entiers naturels non nuls) la longueur et la largeur mesurées en mètres d’un rectangle. Sachant que a = 72 et que le plus petit multiple commun à a et b est 216, quelles sont les valeurs possibles de b ? (1,5pt) 2°/ Trouver les diviseurs dans N de l’entier 240. Calculer l’entier naturel n tel que : n2 – 240 est un carré parfait. (1pt) Problème ---------------------------------------------------------------------------------------------- [8 points] Soit f la fonction de [0 ; +∞[ vers R définie par f(x) = 8 8 2 + + x x . 1°/ a-) Etudier le sens de variation de f. (1,5pt) b-) Etudier la limite de f en +∞. Interpréter graphiquement le résultat. (0,5pt) c-) Dresser le tableau de variation de f. (0,5pt) 2°/ On désigne par (C C C C ) la courbe représentative de f dans un repère orthogonal (O ; → i ; → j ) : 1cm sur l’axe des abscisses et 2cm sur l’axe des ordonnées. a-) Donner une équation de la tangente (T) à (C C C C ) au point d’abscisse nulle. (0,5pt) b-) Tracer (T) et (C C C C ). (1pt) 3°/ En utilisant les variations de f, démontrer que ∀x∈[1 ; 2], 1 ≤ f(x) ≤ 2 (1pt) 4°/ a-) Démontrer que pour tout réel x de [1 ; 2], on a : | f ’(x) | ≤ 3 2 (1,5pt) b) En utilisant le théorème des inégalités des accroissements finis, montrer que pour tout x de [1 ; 2] on a : | f (x) – 2 | ≤ 3 2 | x – 1|. En déduire un encadrement de f sur [1 ; 2] par deux fonctions affines que l’on précisera sur la figure. (1,5pt) Baccalauréat Malien - Séries :SET – MTI – MTGC Adama Traoré Professeur Lycée Technique Page 3/5 Ministère de l'Éducation, de l’Alphabétisation et de la Promotion des Langues Nationales République du Mali Un Peuple Un Peuple Un Peuple Un Peuple – – – – Un But Un But Un But Un But – – – – Une Foi Une Foi Une Foi Une Foi E E E E E E E E E E E EX X X X X X X X X X X XA A A A A A A A A A A AM M M M M M M M M M M ME E E E E E E E E E E EN N N N N N N N N N N N : : : : : : : : : : : : Baccalauréat malien B B BA A AC C C S S SP P P 2 2 20 0 01 1 12 2 2 S S S S S S S S S S S SÉ É É É É É É É É É É ÉR R R R R R R R R R R RI I I I I I I I I I I IE E E E E E E E E E E ES S S S S S S S S S S S : : : : : : : : : : : : SET- MTI - MTGC S S S S S S S S S S S SE E E E E E E E E E E ES S S S S S S S S S S SS S S S S S S S S S S SI I I I I I I I I I I IO O O O O O O O O O O ON N N N N N N N N N N N : : : : : : : : : : : : Octobre 2012 É É É É É É É É É É É ÉP P P P P P P P P P P PR R R R R R R R R R R RE E E E E E E E E E E EU U U U U U U U U U U UV V V V V V V V V V V VE E E E E E E E E E E E D D D D D D D D D D D DE E E E E E E E E E E E : : : : : : : : : : : : MATHÉMATIQUES D D D D D D D D D D D DU U U U U U U U U U U UR R R R R R R R R R R RÉ É É É É É É É É É É ÉE E E E E E E E E E E E : : : : : : : : : : : : 4 heures C C C C C C C C C C C CO O O O O O O O O O O OE E E E E E E E E E E EF F F F F F F F F F F F : : : : : : : : : : : : 5 Exercice 1 -------------------------------------------------------------------------------------------- [6 points] 1°/ Dans le plan muni d’un repère orthonormal (O ; → i ; → j ), on considère les points A(1 ; –1) et B(5 ; 3) et la suite ( n Ω) définie par : pour tout entier n ≥ 1, n Ω est le barycentre de ( 1 − Ωn ; 2), (A ; 1) et (B ; 1) et Ω0 est en O. On note (xn ; yn) les coordonnées de n Ω. a) Placer dans le plan les points 1 Ω, 2 uploads/Religion/ seba-2012 1 .pdf