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Probabilités et statistiques Filières SVI-STU 2012/2013 Les chapitres Analyse c

Probabilités et statistiques Filières SVI-STU 2012/2013 Les chapitres Analyse combinatoire…...………………2 Probabilités………………….…………..12 Variables aléatoires………..…………..34 Lois de Probabilité………….………….54 Statistique descriptive……..………….83 Estimation…………………..………….102 Tests d’hypothèse……….……………123 Tests du χ2………………….…............148 Analyse de variance………..…………162 Université Sidi Mohammed Ben Abdellah Faculté des sciences Dhar El Mehraz Département de Mathématiques Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL D. Mouchiroud (10/10/2002) ...................................................................................................................................................................................................... 1 Chapitre 1 Analyse combinatoire Sommaire 1. Introduction …………………………………………………………………………………2 2. Arrangements………………………………………………………………………………..2 2.1. Introduction……………………………………………………………………………………………..2 2.2. Arrangements avec répétitions……………………………………………………………3 2.3. Arrangements sans répétition………………………………………………………………3 3. Permutations…………………………………………………………………………………..4 3.1. Permutations sans répétition…………………………………………………………………4 3.2. Permutations avec répétitions………………………………………………………………5 4. Combinaisons…………………………………………………………………………………..5 4.1. Définition……………………………………………………………………………………………………5 4.2. Combinaison sans remise…………………………………………………………………………5 4.3. Combinaison avec remise…………………………………………………………………………7 4.4. Propriétés des combinaisons………………………………………………………………….7 4.4.1. La symétrie………………………………………………………………………………….7 4.4.2. Combinaisons composées…………………………………………………………8 4.5. Formule du binôme de Newton…………………………………………………………....9 L. Aouragh 2012/2013 Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL D. Mouchiroud (10/10/2002) ...................................................................................................................................................................................................... 2 1. Introduction L’analyse combinatoire est une branche des mathématiques qui étudie comment compter les objets. Elle fournit des méthodes de dénombrements particulièrement utiles en théorie des probabilités. Les probabilités dites combinatoires utilisent constamment les formules de l’analyse combinatoire développées dans ce chapitre. Un exemple des applications intéressantes de cette dernière est la démonstration du développement du binôme de Newton utilisé dans le calcul des probabilités d’une loi binomiale. 2. Arrangements 2.1. Définition Etant donné un ensemble E de n objets, on appelle arrangements de p objets toutes suites ordonnées de p objets pris parmi les n objets. Le nombre d’arrangements de p objets pris parmi n est noté : An p. Remarque : On a nécessairement 1 ≤ p ≤ n et n, p ∈ N* Si n < p, alors An p = 0 Deux arrangements de p objets sont donc distincts s’ils diffèrent par la nature des objets qui les composent ou par leur ordre dans la suite. Exemples : (1) Une séquence d’ADN est constituée d’un enchaînement de 4 nucléotides [A (Adénine), C (Cytosine), G (Guanine) et T (Thymine)]. Il existe différents arrangements possibles de deux nucléotides ou dinucléotides avec p=2 et n=4. (2) Le nombre de mots de 5 lettres (avec ou sans signification) formés avec les 26 lettres de l’alphabet correspond au nombre d’arrangements possibles avec p=5 et n=26. (3) Le tiercé dans l’ordre lors d’une course de 20 chevaux constitue un des arrangements possibles avec p=3 et n=20. Dans les exemples précédents, l’ordre des éléments dans la suite est essentiel. Ainsi pour le deuxième exemple, le mot NICHE est différent du mot CHIEN. Mais dans les deux premiers exemples, une base ou une lettre de l’alphabet peut se retrouver plusieurs fois alors que dans le troisième exemple, les trois chevaux à l’arrivée sont forcément différents. Il faut donc distinguer le nombre d’arrangements avec répétition et le nombre d’arrangements sans répétition (arrangements au sens strict). L. Aouragh 2012/2013 Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL D. Mouchiroud (10/10/2002) ...................................................................................................................................................................................................... 3 2.2. Arrangements avec répétitions Lorsqu'un objet peut être observé plusieurs fois dans un arrangement, le nombre d’arrangement avec répétition de p objets pris parmi n, est alors : An p = n p avec 1 ≤ p ≤ n Voici pourquoi : Pour le premier objet tiré, il existe n manières de ranger l’objet parmi n. Pour le second objet tiré, il existe également n possibilités d’arrangements car le premier objet fait de nouveau parti des n objets. On parle de tirage avec remise. Ainsi pour les p objets tirés, il y aura n x n x n x…..x n (p fois) arrangements possibles, soit An p = n× n× n× ....× n = n p Exemples : (1) Concernant l’exemple de la séquence d’ADN, le nombre de dinucléotides attendus si l’on fait l’hypothèse qu’une base peut être observée plusieurs fois dans la séquence (ce qui correspond effectivement à la réalité) est donc : 2 4 A = 42 = 16 dinucléotides possibles Les 16 dinucléotides identifiables dans une séquence d’ADN sont : AA AC AG AT CA CC CG CT GA GC GG GT TA TC TG TT 2.3. Arrangements sans répétition Lorsque chaque objet ne peut être observé qu’une seule fois dans un arrangement, le nombre d’arrangements sans répétition de p objets pris parmi n est alors : An p = n! (n −p)! avec 1 ≤ p ≤ n Voici pourquoi : Pour le premier objet tiré, il y a n manières de ranger l’objet parmi n. Pour le second objet tiré, il n’existe plus que n-1 manières de ranger l’objet car le premier objet ne peut plus être pris en compte. On parle de tirage sans remise. Ainsi pour les p objets tirés parmi n, si 1 ≤ p ≤ n, il y aura : An p = n(n −1)(n −2)....(n −p + 1) (p produits) de plus An p = n(n −1)(n −2)....(n −p + 1) (n −p) × ....× 2× 1 (n −p) × ....× 2× 1 d’où An p = n! (n −p)! L. Aouragh 2012/2013 Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL D. Mouchiroud (10/10/2002) ...................................................................................................................................................................................................... 4 Rappel : Si n ∈ N*, on appelle factorielle n, notée n! , le produit des n premiers entiers : 1× 2 × 3× .....× p× (p + 1) × ...× (n −1) × n = n! 0! =1 par convention car 0! n’est en principe pas définie. Dès que n dépasse la dizaine, n! se compte en millions. Il est bon de connaître la formule d’approximation suivante (« formule de Stirling ») : n!≈n e       n 2πn Exemple : Concernant l’exemple de la séquence d’ADN, le nombre de dinucléotides attendu dans une séquence si l’on fait l’hypothèse qu’une base n’est observée qu’une seule fois est donc : A4 2 = 4! (4 −2)! = 12 dinucléotides possibles Sous cette contrainte, les 12 dinucléotides possibles sont : AA AC AG AT CA CC CG CT GA GC GG GT TA TC TG TT Ceci correspond aux 16 arrangements possibles avec répétition (An p = n p) auxquels sont soustraits les 4 dinucléotides (n) résultant de l’association d’une même base. 3. Permutations 3.1. Permutations sans répétition Etant donné un ensemble E de n objets, on appelle permutations de n objets distincts toutes suites ordonnées de n objets ou tout arrangement n à n de ces objets. Le nombre de permutations de n objets est noté : Pn = n! La permutation de n objets constitue un cas particulier d’arrangement sans répétition de p objets pris parmi n lorsque p = n . Ainsi le nombre de permutations de n objets est : An n = n! (n −n)! = n! Exemple : Le nombre de manières de placer 8 convives autour d’une table est : P8 = 8! 40 320 possibilités L. Aouragh 2012/2013 Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL D. Mouchiroud (10/10/2002) ...................................................................................................................................................................................................... 5 3.2. Permutations avec répétitions Dans le cas où il existerait plusieurs répétitions k d’un même objet parmi les n objets, le nombre de permutations possibles des n objets doit être rapporté aux nombres de permutations des k objets identiques. Le nombre de permutations de n objets est alors : Pn = n! k! En effet, les permutations de k objets identiques sont toutes identiques et ne comptent que pour une seule permutation. Exemple : Considérons le mot « CELLULE ». Le nombre de mots possibles (avec ou sans signification) que l’on peut écrire en permutant ces 7 lettres est : P 7 = 7! 2!3! = 420 mots possibles en considérant deux groupes de lettres identiques : L (3 fois) et E (2 fois). 4. Combinaisons 4.1. Définition Si l’on reprend l’exemple de la séquence d’ADN, à la différence des arrangements où les dinucléotides AC et CA formaient deux arrangements distincts, ces derniers ne formeront qu’une seule combinaison. Pour les combinaisons, on ne parle plus de suite ni de série puisque la notion d’ordre des objets n’est plus prise en compte. On parle alors de tirages avec ou sans remise. 4.2. Combinaisons sans remise Etant donné un ensemble E de n objets, on appelle combinaisons de p objets tout ensemble de p objets pris parmi les n objets sans remise. Le nombre de combinaisons de p objets pris parmi n est noté : Cn p Remarque : On a nécessairement 1 ≤ p ≤ n et n,p ∈ N* Si n < p, alors Cn p = 0 L. Aouragh 2012/2013 Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL D. Mouchiroud (10/10/2002) ...................................................................................................................................................................................................... 6 Exemples : (1) Le tirage au hasard de 5 cartes dans un jeu de 32 (main de poker) est une combinaison avec p=5 et n=32. (2) La formation d’une délégation de 5 personnes parmi un groupe de 50 constitue une combinaison avec p=5 et n=50. Pour ces deux exemples, les objets tirés sont clairement distincts. Le nombre de combinaisons de p objets pris parmi n et sans remise est : Cn p = n! p!(n −p)! notée n p       uploads/Religion/ statistique-svi 1 .pdf