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Première ES Cours Loi binomiale et applications 1 I Loi de Bernoulli et loi bin

Première ES Cours Loi binomiale et applications 1 I Loi de Bernoulli et loi binomiale Loi de Bernoulli Soit une expérience aléatoire présentant deux issues : l’une S que l’on appelle « succès » et l’autre S appelée « échec ». On note p la probabilité de succès et q celle d’échec, avec q = 1 – p. Cette expérience aléatoire s’appelle une épreuve de Bernoulli de paramètre p. Définition • La variable aléatoire qui prend la valeur 1 en cas de succès et 0 en cas d’échec est appelée variable aléatoire de Bernoulli. • La loi de probabilité de cette variable aléatoire est appelée loi de Bernoulli de paramètre p. xi 0 1 P(X = xi) 1 - p p Propriété Soit X suit une loi de Bernoulli de paramètre p, alors E(X) = p. En effet, E(X) = 0×(1 − p) + 1×p = p. Schéma de Bernoulli et loi binomiale Définitions • L’expérience aléatoire consistant à répéter n fois de manière indépendante une épreuve de Bernoulli de paramètre p s’appelle un schéma de Bernoulli de paramètres n et p. • La loi de probabilité de la variable aléatoire X égale au nombre de succès au cours de ces n épreuves se nomme la loi binomiale de paramètres n et p. On la note (n,p). Exemple : On lance un dé équilibré 100 fois de suite et on s’intéresse au nombre X de fois où l’on obtient la face 1. La variable aléatoire X qui compte le nombre de succès (c’est-à-dire le nombre de fois que l’on obtient la face 1) suit la loi binomiale de paramètres n = 100 et p = 1 6 notée       100, 1 6 . Loi binomiale pour n = 2 et n = 3 On peut modéliser la répétition de ces expériences par un arbre pondéré. Cas n = 2 P(X = 0) = P( S S )= q×q = q² P(X = 1) = P(S S ) + P( S S) = pq + pq = 2pq P(X = 2) = P(SS) = p² Loi de probabilité de B(2,p) avec q = 1 – p : xi 0 1 2 P(X = xi) q² 2pq p² p q S S p q S S p q S S Première ES Cours Loi binomiale et applications 2 Cas n = 3 P(X = 0) = P( S S S )= q×q×q = q3 P(X = 1) = P(S S S ) + P( S S S ) + P( S S S) = p×q×q + q×p×q + q×q×p = 3pq² P(X = 2) = P(SS S ) + P(S S S) + P( S SS) = p×p×q + p×q×p + q×p×p = 3p²q P(X = 3) = P(SSS) = p×p×p = p3 Loi de probabilité de (3,p) avec q = 1 – p : xi 0 1 2 3 P(X = xi) q3 3pq² 3p²q p3 II Coefficients binomiaux et loi binomiale Coefficients binomiaux Lorsque X suit une loi binomiale, pour calculer la probabilité d’avoir k succès, on note toutes les issues formées de k succès et de n – k échecs. Ces issues ont toutes la même probabilité pk×qn-k. Il est ensuite nécessaire de connaître le nombre de chemins de l’arbre formé de k succès exactement (et donc de n – k échecs). Définition Soit n un entier naturel non nul et k un entier compris entre 0 et n. Le coefficient binomial       n k est le nombre de chemins réalisant k succès pour n répétitions dans l’arbre d’un schéma de Bernoulli. Exemple :       2 1 = 2, car pour deux répétitions, il y a deux chemins avec un succès, ceux associés à S S et à S S. Vocabulaire : On appelle aussi       n k le nombre de combinaisons de k éléments parmi n. Calcul pratique des coefficients binomiaux Les calculatrices et les tableurs permettent de calculer les coefficients binomiaux : Casio Texas Tableur Touche OPTN puis choisir puis PROB puis nCr Touche MATH, puis choisir PRB, puis Combinaison Fonction COMBIN() Syntaxe n nCr k n Combinaison k =COMBIN(n ;k) p q S S p q S S p q S S p q S S p q S S p q S S p q S S Première ES Cours Loi binomiale et applications 3 Formule générale de la loi binomiale Propriété Si la variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres n et p, alors pour tout entier k compris entre 0 et n : P(X = k) =       n k ×pk×qn-k, où q = 1 – p. Calcul pratique de P(X = k) et P(X ≤ k) Casio Texas Tableur Touche OPTN puis choisir STAT puis DIST puis BINM puis Bpd ou Bcd Menu DISTR, puis choisir binomFdp ou binomFrép Fonction LOI.BINOMIALE() P(X = k) BinomialPD(k,n,p) BinomFdp(n,p,k) =LOI.BINOMIALE(k ;n ;p ;FAUX) P(X ≤ k) BinomialCD(k,n,p) BinomFRép(n,p,k) =LOI.BINOMIALE(k ;n ;p ;VRAI) Exemple : Soit X une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres n = 8 et p = 0,4. Pour trouver P(X = 3), on utilise la calculatrice en remplaçant n par 8, k par 3 et p par 0,4. On trouve environ 0,279 (Avec une calculatrice TI : BinomFdp(8,0.4,3)) Pour trouver P(X ≤ 3), avec une calculatrice TI : BinomFRép(8,0.4,3) : On trouve environ 0,594. III Représentation graphique de la loi binomiale et espérance Représentation graphique Exemple de représentation pour n = 8 et trois valeurs différentes de p. p = 0,2 p = 0,5 p = 0,8 Espérance mathématique Propriété L’espérance mathématique de la loi binomiale de paramètres n et p est n×p. Première ES Cours Loi binomiale et applications 4 IV Intervalle de fluctuation d’une fréquence Propriété (vue en seconde) Si p est la proportion d’un caractère dans une population (avec 0,2 ≤ p ≤ 0,8), alors pour un échantillon de taille n (n ≥ 25), la fréquence f du caractère dans l’échantillon appartient à l’intervalle    p – 1 n ,p + 1 n    avec une probabilité d’au moins 95%. On peut améliorer ce résultat avec la loi binomiale. Etude d’un exemple Des études ont montré que la proportion des français qui font du sport au moins une fois par semaine est de 43%. On veut déterminer un intervalle de fluctuation de la fréquence f des personnes faisant du sport au moins une fois par semaine dans les échantillons de taille 100. On définit la variable aléatoire X égale au nombre de personnes faisant du sport au moins une fois par semaine. On peut supposer que X suit une loi binomiale de paramètres 100 et 0,43. X prenant des valeurs comprises entre 0 et 100, on va partager l’intervalle [0 ;100] en trois parties : • A = [0 ;a – 1] avec a entier • B = [a ;b] avec b entier • C = [b + 1 ; 100] On détermine ensuite a et b de façon que P(X ∈ A) ≤ 0,025 et P(X ∈ C) ≤ 0,025. On aura alors P(X ∈ B) = P(a ≤ X ≤ b) = 1 – P(X ∈ A) – P(X ∈ C) ≥ 1 – 0,025 – 0,025 ≥ 0,95. • Le plus petit entier a tel que P(X < a) ≤ 0,025 est 33. • P(X > b) ≤ 0,025 1 – P(X ≥ b) ≤ 0,025 P(X ≤ b) ≥ 1 - 0,025 P(X ≤ b) ≥ 0,975 • Le plus petit entier b tel que P(X ≤ b) ≥ 0,975 est 53. L’intervalle [a ;b] cherché est donc [33 ;53]. La fréquence f appartient donc à l’intervalle [0,33 ;0,53] avec une probabilité au moins égale à 0,95. Zone d’acceptation P(a ≤ X ≤ b) ≥ 95% Zone de rejet P(X < a) ≤ 2,5% Zone de rejet P(X > b) ≤ 2,5% Première ES Cours Loi binomiale et applications 5 Intervalle de fluctuation Propriété L’intervalle de fluctuation au coefficient 95% de la fréquence correspondant à la réalisation, sur un échantillon aléatoire de taille n, d’une variable aléatoire X suivant une loi binomiale, est    a n ; b n   , où a est le plus petit entier tel que P(X ≤ a) ≥ 0,025 et b le plus petit entier tel que P(X ≤ b) ≥ 0,975. V Prise de décision sur un échantillon L’intervalle de fluctuation à 95% est un intervalle qui contient au moins 95% des fréquences observées sans les échantillons de taille n. Ce qui signifie qu’il y a un risque de 5% pour cette fréquence de ne pas se trouver dans l’intervalle. Autres seuils possibles On peut utiliser un autre coefficient que 95%. Le plus fréquemment utilisé après 95% est 99%. Si on choisit un seuil de risque α, c’est-à-dire un coefficient de confiance 1 - α. Ainsi a uploads/Religion/ cours-1es-loi-binomiale-et-applications.pdf