Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Equations comportant des logarithmes Equations comportant des logarithmes Equat

Equations comportant des logarithmes Equations comportant des logarithmes Equations comportant des logarithmes Equations comportant des logarithmes : deux exercices corrigés : deux exercices corrigés : deux exercices corrigés : deux exercices corrigés Exercice 1 : 1. Résoudre dans R l’équation : x² – 2x – 3 = x – 2 2. En utilisant la question précédente, résoudre l’équation : ln(x² – 2x – 3) = ln(x – 2) Corrigé 1. x² – 2x – 3 = x – 2 signifie x² – 3x – 1 = 0 on détermine le discriminant de x² – 3x – 1. ∆ =b² - 4ac = (-3)² – 4 × 1 × (-1) = 9 + 4 = 13. Les racines du polynôme sont alors : -(-3) – 13 2 × 1 = 3 – 13 2 et -(-3) + 13 2 × 1 = 3 + 13 2 2. i) L’équation est définie lorsque x² – 2x – 3 > 0 et x – 2 > 0. • Recherche des racines de x² – 2x – 3 : ∆ = b²-4ac =(-2)² – 4 × 1 × (-3) = 4 + 12 = 16 ; ∆ = 4 Les racines de x² – 2x – 3 sont alors : x1 = -(-2) – 4 2 = -1 et x2 = -(-2) + 4 2 = 3 Donc x² – 2x – 3 > 0 sur ]-∞ ; -1[∪]3 ; +∞[ (signe de « a » à l’extérieur des racines) • x – 2 > 0 signifie x > 2 et x – 2 > 0 sur ]2 ; +∞[. L’équation est alors définie sur ]3 ; +∞[. ii) Sur ]3 ; +∞[ l’équation ln(x² – 2x – 3) = ln(x – 2) est équivalente à x² – 2x – 3 = x – 2 iii) Les solutions sur 3 de cette équation sont : 3 – 13 2 et 3 + 13 2 (cf question 1) iv) or 3 + 13 2 ∈ ]3 ; +∞[ et 3 – 13 2 ∉ ]3 ; +∞[. Donc la seule solution de l’équation ln(x² – 2x – 3) = ln(x – 2) est 3 + 13 2 . Exercice 2 : Soit P le polynôme définie par P(x) = 2 x3 + x2 – 5 x + 2 ou par P(x) = (x + 2)(2 x2 – 3 x + 1). 1. Déterminer l’ensemble S des solutions réelles de l’équation P(x) = 0 . 2. Déterminer l’ensemble S’ des solutions réelles de l’équation : 2 ln (x) + ln (2 x + 1) = ln (5 x – 2) . Corrigé 1. P(x) = 0 ⇔ (x + 2)(2 x2 – 3 x + 1) = 0 ⇔ x + 2 = 0 ou 2 x2 – 3 x + 1 = 0 (∆ = 1) ⇔ x = – 2 ou x = 1 2 ou x = 1 Donc l’ensemble S des solutions réelles de l’équation P(x) = 0 est S =       – 2 ; 1 2 ; 1 . 2. Il faut et il suffit que x > 0 et 2 x + 1 > 0 et 5 x – 2 > 0 ⇔ x > 0 et x > – 1 2 et x > 2 5 Donc on étudie sur l’intervalle    2 5 ;    0 0+ ∞ . 2 ln (x) + ln (2 x + 1) = ln (5 x – 2) ⇔ ln x2 + ln (2 x + 1) = ln (5 x – 2) ⇔ ln [x2 (2 x + 1)] = ln (5 x – 2) ⇔ 2 x3 + x2 = 5 x – 2 ⇔ 2 x3 + x2 – 5 x + 2 = 0 ⇔ P(x) = 0 ⇔ x = – 2 ou x = 1 2 ou x = 1 or – 2 ∉    2 5 ;    0 0+ ∞ et 1 2 ∈    2 5 ;    0 0+ ∞ et 1 ∈    2 5 ;    0 0+ ∞ Donc l’ensemble S’’des solutions réelles de l’équation 2 ln (x) + ln (2 x + 1) = ln (5 x – 2) est S’ =           1 2 ; 1 . uploads/Science et Technologie/ 2-exercices-corriges-equations-comportant-des-logarithmes.pdf