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www.biblio-scientifique.com Michel Peyrard et Thierry Dauxois Physique des soli

www.biblio-scientifique.com Michel Peyrard et Thierry Dauxois Physique des solitons S A V O I R S A C T U E L S EDP Sciences/CNRS EDITIONS www.biblio-scientifique.com www.biblio-scientifique.com www.biblio-scientifique.com Illustration de couverture : Collision de deux solitons de faible amplitude photographiée sur une plage de l’état d’Oregon sur la côte ouest des États- Unis (Photographie Terry Toedtemeier, 1978). @ 2004, EDP Sciences, 17, avenue du Hoggar, BP 112, Parc d’activités de Courtabœuf, 91944 Les Ulis Cedex A et CNRS ÉDITIONS, 15, rue Malebranche, 75005 Paris. Tous droits de traduction, d’adaptation et de reproduction par tous procédés réservés pour tous pays. Toute reproduction ou représentation intégrale ou partielle, par quelque procédé que ce soit, des pages publiées dans le présent ouvrage, faite sans l’autorisation de l’éditeur est illicite et constitue une contrefaçon. Seules sont autorisées, d’une part, les reproductions strictement réservées à l’usage privé du copiste et non destinées à une utili- sation collective, et d’autre part, les courtes citations justifiées par le caractère scientifique ou d’information de l’œuvre dans laquelle elles sont incorporées (art. L. 122-4, L. 122-5 et L. 335-2 du Code de la propriété intellectuelle). Des photocopies payantes peuvent être réalisées avec l’accord de l’éditeur. S’adresser au : Centre français d’exploitation du droit de copie, 3, rue Hautefeuille, 75006 Paris. Tél. : O 1 43 26 95 35. ISBN EDP Sciences 2-86883-732-8 ISBN CNRS ÉDITIONS 2-271-06267-5 www.biblio-scientifique.com Avant-propos EPUIS LA PREMIÈRE OBSERVATION d’un solztorc par Joliri Scott Russell D en 1834, ces ondes solitaires à la stabilité exceptionnelle ont fasciné les scientifiques, d’abord en raison de leurs propriétes expérimentales très spec- taculaires, de leur iridéniable élégance, mais égalenierit à cause des propriétés riiathéniatiqiies remarquables des systèmes intégrables ayant des solutions de type soliton. L’aspect mathématique a été privilégie clans la plupart des ou- vrages consacrés aux 5olitons car il coridiiit à de très beaux développements theoriques coninie par exemple la niéthode d’inversion des données de diffu- sion qui permet de résoudre une équation riori lznéuzre complexe par uiie série d’etapes qui sont toutes lznéuzres (cf. chap. 7). Pourt,arit, au delà des aspects mathématiques, la physique des solitons est toute aussi irit,éressarite et pertinente pour la recherche moderne. Airisi, de rionibreuses d’expériences sur la condensation de Bose-Einstein, objet du prix Nobel de Physique 2001, s’analysent & part,ir de l’équation de Schrodiriger rion linéaire’ présentée au chapitre 3, qui est, l’une des grarides equations de la t,héorie des solitons. Le prix Nobel de Chimie, attribué en 2000 à Heeger, Mac- Diarrnid et Shirakawa doit encore plus aux solitons car les porteurs de charge (laris les polymères conduct,eiirs sont des solitons. Le chapitre 13 s’appuie sur un article de Su, Schrieffer et Heeger pour expliquer ces pliérionièries. Ainsi, la physique des solitons est 1 1 1 1 domaine actif de la recherche, au- quel nous avons contribué, niais ce livre n’est cependant pas Uri ouvrage de recherche. I1 se propose de présenter la physique des solitons de manière pé- dagogique, abordable par un étudiant e ~ i fin de licence ou début, de master ayant seulement des coiinaissarices de base en physique générale, en niéca- nique analytique et en inécariique qiiaritique. I1 est issu d’un cours doriné d’abord par Michel Peyrard $ i l’université de Dijon puis sous uiie forme plus complète dans le cadre du DEA de Physique st,atistique et, Pliérioirièries rion linéaires de l’École Normale Supérieure de Lyon, et poursuivi mairitjenant par Thierry Dauxois dans le Master de Sciences de la matière de l’École Normale Supkrieiire de Lyon. L’ouvrage n’a pas la prétention d’être exhaustif mais il est conçu de façon A doririer riéarirrioins uiie vision assez complète du sujet. Les fondements sont introduits dans la part,ie I qui présente les grandes équations B solitons à www.biblio-scientifique.com vi Physique des solitons partir d’exemples de la physique macroscopique. Les méthodes théoriques sont présentées dans la partie II. Le choix des développements dans ce domaine a été effectué en pensant aux situations physiques coniine le montrent les applications présentées dans les parties III et IV consacrées à des problèmes de la physique des solides ou des macromolécules biologiques. La modélisation, qui est l’étape qui permet de passer du système physique aux équations non linéaires qui le décrivent, est illustrée tout au long de l’ouvrage, mais aussi discutée dans un chapitre spécifique (chap. 4) car c’est un point dificile et particulièrement important. L’approche en terme de solitoris permet de renouveler en profondeur le point de vue sur certains problèmes physiques. Nous montrons ainsi comment les solitons peuvent être utilisés pour traiter la physique statistique des ferro- électriques (chap. 10) ou d’un modèle pour l’ADN (chap. 15). La bibliographie contient de nombreuses références d’articles qui devraient permettre au lec- teur qui le souhaite d’aller plus loin et de trouver les éléments pour aborder la recherche sur la physique des solitons. Enfin, nous avons souhaité inclure quelques éléments biographiques sur les principaux fondateurs de ce domaine car, comme le disait le philosophe Whitehead au début du XX“ siècle, < < une science qui refuse de se souvenir de ses fondateurs est condamnée >>. L’ouvrage a mûri au fil des années de cours et de travaux dirigés, mais il doit aussi beaucoup à tous ceux qui en ont fait une relecture critique, en par- ticulier Geneviève Peyrard qui a fait de niultiples remarques pertinentes. Plu- sieurs collègues, Mariette Barthès, Freddy Bouchet, Hervé Courtois, Jacques Dauxois, Sébastien Dusuel, .Jean-Noël Gence, Ioaririis Kourakis, Juan Mazo, Guy Millot, Jean-Pierre Nguenang, Sébastien Paulin, Hicham Qasmi, Flo- rence Raynal, Yves-Henri Sanéjouand, ont examiné plus particulièrement les chapitres proches de leur domaine de recherche. Nous remercions également Larissa Brizhik, Lincoln D. Carr, Thierry Cretegny, Bernard Decoriirick, Chris Eilbeck, Ying Li, Robert I. Odom, Sylvian R. Ray, Harvey Segur, Terry Toed- temeier, Nadezhda Tsypkina, Kathleen T. Zanotti de nous avoir autorisés à utiliser certaines photographies ou pour des informations complémentaires. Nous tenons enfin à remercier tout spécialement Martin D. Kruskal et Nor- man J. Zabusky de nous avoir fourni des éléments sur les débuts de l’histoire des e solitons ». Février 2004, Michel Peyrard, Thierry Dauxois. www.biblio-scientifique.com Table des matières Avant-propos V Introduction XV I Les différentes classes de solitons 1 1 L’équation de Korteweg-de Vries 3 1.1 La découverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Les observations de John Scott Russell . . . . . . . . . 3 1.1.2 L’interprétation de Korteweg-de Vries . . . . . . . . . . 8 1.1.3 1.2 Les solutions de l’équation de Korteweg-de Vries . . . . . . . . 14 1.2.1 Solutions A profil constant . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.2 Solutions multisolitons . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3 Relations de conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.4 Lignes électriques rion-linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.4.1 Description du problème physique . . . . . . . . . . . . 21 Propriétés de l’équation de Korteweg-de Vries et de ses solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4.2 Approximation linéaire . Relation de dispersion . . . . . 23 1.4.3 des milieux continus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.4.4 Les solutions quasi-solitons de la chaîne électrique . . . 26 1.4.5 La limite Korteweg-de Vries pour la chaîne électrique 27 1.5 Orides de pression sanguine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.6 Orides internes en océanographie . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.7 La généralité de l’équation de Korteweg-de Vries . . . . . . . . 37 L’équation non-linéaire daris la limite 2 L’équation de sine-Gordon 39 la chaîne de pendules couplés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.1 Uri exemple mécanique simple : www.biblio-scientifique.com viii Physique des solitons 2.2 Les solutions de l’équation de sine-Gordon . . . . . . . . . . . . 41 2.2.1 Topologie du paysage énergétique . . . . . . . . . . . . 41 2.2.2 Les solutions de faible amplitude : la limite linéaire . . 43 2.2.3 Solutions solitons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.2.4 uploads/Science et Technologie/ physique-des-solitons-michel-peyrard-et-thierry-dauxois.pdf