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Logique prop pdf Chapitre Calcul propositionnel La logique propositionnelle permet essentiellement de discuter des connecteurs grammaticaux comme la négation la conjonction et la disjonction en composant des propositions à partir de propositions données C

Chapitre Calcul propositionnel La logique propositionnelle permet essentiellement de discuter des connecteurs grammaticaux comme la négation la conjonction et la disjonction en composant des propositions à partir de propositions données Ces connecteurs sont parfois appelés aristotéliciens car ils ont été mis en évidence par Aristote Le calcul propositionnel permet essentiellement de parler de fonctions booléennes c ? est-à-dire de fonctions de n ? En e ?et les variables c ? est-à- dire les propositions ne peuvent prendre que deux valeurs vrai ou faux Le calcul propositionnel tient une grande place en informatique ne serait-ce parce que nos ordinateurs actuels sont digitaux et travaillent en binaire Ce qui fait que nos processeurs sont essentiellement constitués de portes binaires du type de celles que l ? on va étudier dans ce chapitre D ? un point de vue expressivité logique le calcul propositionnel reste très limité par exemple on ne peut pas écrire en calcul propositionnel l ? existence d ? un objet ayant une propriété donnée Le calcul des prédicats plus général que nous étudierons dans le chapitre Calcul des prédicatschapter permet lui d ? exprimer des propriétés d ? objets et des relations entre objets et plus généralement de formaliser le raisonnement mathématique Puisque le calcul propositionnel forme toutefois la base commune de nombreux systèmes logiques et nous allons nous y attarder dans ce chapitre Syntaxe Pour dé ?nir formellement et proprement ce langage nous devons distinguer la syntaxe de la sémantique la syntaxe décrit comment on écrit les formules La sémantique décrit leur sens Fixons un ensemble ?ni ou dénombrable P p p de symboles que l ? on appelle variables propositionnelles Dé ?nition Formules propositionnelles L ? ensemble des formules propositionnelles F sur P est le langage sur l ? alphabet P ?? ?? ?? ?? ?? dé ?ni inductivement par les règles suivantes C CHAPITRE CALCUL PROPOSITIONNEL B il contient P toute variable propositionnelle est une formule propositionnelle I si F ?? F alors F ?? F I si F G ?? F alors F ?? G ?? F F ?? G ?? F F ?? G ?? F et F ?? G ?? F Il s ? agit d ? une dé ?nition inductive qui est légitime par les considérations du chapitre précédent Il s ? agit d ? une dé ?nition inductive non ambigu? on peut reformuler ce fait par la proposition suivante parfois appelé théorème de lecture unique Remarque La non-ambigu? té vient essentiellement des parenthèses explicites On utilise ici l ? astuce utilisée dans le chapitre précédent qui considérait Arith plutôt que Arith pour permettre d ? écrire des expressions sans aucune ambigu? té de lecture Proposition Décomposition Lecture unique Soit F une formule propositionnelle Alors F est d ? une et exactement d ? une des formes suivantes une variable propositionnelle p ?? P G o? G est une formule propositionnelle G ?? H o? G et H sont des formules propositionnelles G ?? H o? G et H sont des formules