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ALGÈBRE Cours et Exercices Première Année LMD Marir Saliha 2 Table des matières

ALGÈBRE Cours et Exercices Première Année LMD Marir Saliha 2 Table des matières 1 Notions de Logique Mathématique 6 1.1 Préambule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Connecteurs logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Propriétés des connecteurs logiques . . . . . . . . . 10 1.4 Quantiﬁcateurs mathématiques . . . . . . . . . . . 12 1.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2 Ensembles et Applications 20 2.1 Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.1.1 Inclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1.2 Opérations sur les ensembles . . . . . . . . . 22 2.1.3 Propriétés des opérations sur les ensembles . 25 2.1.4 Partition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.1.5 Produit Cartésien . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.1.6 Exercices sur les ensembles . . . . . . . . . . 27 2.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2.1 Composition d’applications . . . . . . . . . 32 2.2.2 Image directe et Image réciproque . . . . . . 32 2.2.3 Injection, Surjection, Bijection . . . . . . . . 36 2.2.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3 Relations Binaires 48 3.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.1.1 Propriétés des relations binaires dans un en- semble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.2 Relation d’équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.3 Relation d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3 4 TABLE DES MATIÈRES Bibliographie 62 Introduction Ce polycopié reprend quelques notions mathématiques à la base de la partie Algèbre de l’unité d’Enseignement Maths1 de premières années LMD Sciences et techniques et Mathématiques et informa- tique. Il peut aussi être utilement utilisé par les étudiants d’autres paliers aussi bien en sciences et sciences et techniques que ceux de Biologie, Sciences économiques ou autre. Les chapitres de ce texte se décomposent de la façon suivante : • Le cours contient les notions à assimiler. Il convient d’en ap- prendre les déﬁnitions et les énoncés des résultats principaux. Les démonstrations données doivent être comprises ainsi que les exemples proposés tout au long du cours. • La partie entrainement comprend des exercices qui ont été choisis soigneusement. Il est conseillé de s’exercer à résoudre par soi-même les exercices sans avoir une solution à côté . C’est grâce à ce travail personnel indispensable que l’on peut aller loin dans la compréhension et l’assimilation des notions mathématiques introduites. C’est la seule méthode connue à ce jour pour progresser en mathématiques. L’étu- diant consciencieux travaillera la justiﬁcation de chacune de ses réponses. Rappelons que trouver la bonne réponse ne suﬃt pas en science, il faut aussi la justiﬁer ! • La partie Solutions des exercices proposés que l’étudiant pourra consulter en cas de diﬃculté. 5 Chapitre 1 Notions de Logique Mathématique Sommaire 1.1 Préambule . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Connecteurs logiques . . . . . . . . . . . 8 1.3 Propriétés des connecteurs logiques . . 10 1.4 Quantiﬁcateurs mathématiques . . . . . 12 1.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.1 Préambule Les mathématiques actuelles sont bâties de la façon suivante : Axiome : Un axiome est un énoncé supposé vrai à priori et que l’on ne cherche pas à démontrer. Exemple 1.1.1. • Euclide a énoncé cinq axiomes qui devaient être la base de la géométrie euclidienne ; le cinquième axiome a pour énoncé : Par un point extérieur à une droite, il passe une et une seule droite parallèle à cette droite. 6 1.1. PRÉAMBULE 7 • Les cinq axiomes de Péano, qui déﬁnissent l’ensemble des en- tiers naturels. Le cinquième axiome est : si P est une partie de N contenant 0 et que tout successeur de chaque élément de P appartient à P (le successeur de n est n + 1) alors P = N. Cet axiome est appelé « axiome d’in- duction ». Déﬁnition : Une déﬁnition est un énoncé dans lequel on décrit les particularités d’un objet mathématique. On doit avoir conscience que le mot "axiome" est parfois synonyme de "déﬁnition". Démonstration : (ou preuve) c’est réaliser un processus qui per- met de passer d’hypothèses supposées vraies à une conclusion et ce en utilisant des règles strictes de logique. On décide enﬁn de qualiﬁer de vraie toute aﬃrmation obtenue en ﬁn de démonstration et on l’appelle selon son importance, Lemme : Un résultat d’une importance mineure. Théorème : Un résultat d’une importance majeure. Corollaire : Un corollaire à un théorème est conséquence à ce théo- rème. Conjecture : Un résultat mathématique que l’on suppose vrai sans parvenir à le démontrer. Exemple 1.1.2. La conjecture de Fermat : si n ∈N, n ≥3, il n’existe pas d’entiers naturels x, y, z tels que xn + yn = zn Récemment, ce résultat a été démontré. Proposition : Une proposition est un énoncé mathématique pouvant être vrai ou faux, on la note par les lettres P, Q, R,...etc. Exemple 1.1.3. L’énoncé « 24 est multiple de 4 » est une propo- sition vraie. L’énoncé « 19 est multiple de 3 » est une proposition fausse. A toute proposition correspond une table de vérité P V F ou P 1 0 8 CHAPITRE 1. NOTIONS DE LOGIQUE MATHÉMATIQUE Pour deux propositions P et Q non précisées, correspond 22 possi- bilités d’attribution de vérité P Q 1 1 1 0 0 1 0 0 D’une manière générale, à n propositions correspond 2n possibilités d’attribution de vérité. 1.2 Connecteurs logiques Si P est une proposition et Q est une autre proposition, nous allons déﬁnir de nouvelles propositions construites à partir de P et de Q. • Négation d’une proposition La négation d’une proposition P est une proposition notée P et déﬁnie à partir de sa table de vérité P P 1 0 0 1 • Conjonction « et » La conjonction est le connecteur logique « et » qui à tout couple de propositions (P, Q) associe la proposition «P et Q », notée P ∧Q et déﬁnie ainsi : P ∧Q est vraie si P et Q sont toutes les deux vraies simultanément, fausse dans les autres cas. On résume ceci dans la table de vérité suivante P Q P ∧Q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1.2. CONNECTEURS LOGIQUES 9 • Disjonction « ou » La disjonction est le connecteur logique « ou » qui à tout couple de propositions (P, Q) associe la proposition «P ou Q », notée P ∨Q et déﬁnie ainsi : P ∨Q est fausse si P et Q sont toutes les deux fausses simultanément, vraie dans les autres cas. On résume ceci dans la table de vérité suivante P Q P ∨Q 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 • Implication « ⇒» L’implication est le connecteur logique qui à tout couple de propositions (P, Q) associe la proposition «P implique Q », notée P ⇒Q et déﬁnie ainsi : P ⇒Q est fausse lorsque P est vraie et Q est fausse, vraie dans les autres cas. On résume ceci dans la table de vérité suivante P Q P ⇒Q 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 • Equivalence « ⇔» L’équivalence est le connecteur logique qui à tout couple de propositions (P, Q) associe la proposition «P équivaut Q », notée P ⇔Q et déﬁnie ainsi : uploads/Science et Technologie/ al-ms.pdf