Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

UNIVERSITE MOHAMED PREMIER UNIVERSITE MOHAMED PREMIER UNIVERSITE MOHAMED PREMIE

UNIVERSITE MOHAMED PREMIER UNIVERSITE MOHAMED PREMIER UNIVERSITE MOHAMED PREMIER UNIVERSITE MOHAMED PREMIER FACULTE DES SCIENCES FACULTE DES SCIENCES FACULTE DES SCIENCES FACULTE DES SCIENCES DEPRTEMENT DE MATHEMATIQUE ET DEPRTEMENT DE MATHEMATIQUE ET DEPRTEMENT DE MATHEMATIQUE ET DEPRTEMENT DE MATHEMATIQUE ET INFORMATIQUE INFORMATIQUE INFORMATIQUE INFORMATIQUE OUJDA MASTER TNAC S2 Note de cours détaillé : Groupe de Décomposition Préparé par les étudiants : Bouchlaghem Soufiane. Professeur : M’hammed Ziane. Année universitaire : 2012/2013 CHAPITRE Groupe de décomposition 1.1 Groupe de décomposition Soit A un anneau de Dedekind, K son corps de fraction, et L un extention galoisienne de K de degré n, et A′ la ferméture intégrale de L dans A, on sait que A′ est de Dedekind, et posons G = Gal(L/K). Soit x ∈A′ et xr + ar−1xr + . . . + a0 = 0 une équation de dépendance intégrale,∀σ ∈G on a σ(xr) + ar−1σ(xr) + . . . + a0 = 0 donc σ(A′) ⊂A′ en particulier σ−1(A′) ⊂A′ d'oú on a σ(A′) = A′, ∀σ ∈G. Soit σ ∈G, soit p un premier de A, donc pA′ = Πg i=1p′αi i oú les pi sont des premiers de A′. Comme σ est K-isomorphisme alors σ(pA′) = σ(p)σ(A′) = pA′ = Πg i=1p′ αi = Πg i=1σ(p′αi) = Πg i=1p′αi i ⇒αi = α, ∀i ∈{ 1, 2, . . . , g} ; et pA′ = (Πg i=1p′ i)α 1 Lemme 1.1 Soit A un anneau, p1, p2, . . . , ps des premiers, et b un ideal tel que b ⊈pi, ∀i alors ∃a ∈b \ pi, ∀i Preuve : Supprimons le pi de tel sort qu'on aura pi ⊈pj, ∀i ̸= j, soit alors xij ∈ pj \ pi,on ab ⊈pi ⇒∃ai ∈b \ pi ; posons bi = aiΠi̸=jxij, on donc bi ∈ b T pj∀i ̸= j et bi non dans pi, car pi est premier,et si il contient le produit alors il contient l'un ; et b = B1 + . . . + bs repond au problème demandé. □ Avec les même notation,on consédère l'action de groupe dé nie comme suit : Ψ : G × {p1, . . . , pg} →{p1, . . . , pg} (σ, pi) 7→σ(pi) Montrons que Ψ est transitive, c-à-d que ∀i, j ∈{1, . . . , g}, ∃σ ∈G tel que σ(pi) = pj. par absurde, supposons que ∃i, j ∈{1, . . . , g} tel que ∀σ ∈G, pj ⊈σ(pi). Donc le lemme nous donne un x ∈pj \ σ(pi), ∀σ ∈G, on a N(x) = Πg i=1σ(x) ∈pj ⊂A′ ⇒N(x) ∈pj T A = p, d'autre part x / ∈σ−1(pi) ⇒σ(x) / ∈pi, ∀σ ∈G ⇒N(x) / ∈pi or N(x) ∈p ⊂pA′ = (Πg k=1pk)α ⊂pi, contradiction avec x / ∈σ(pi) pour σ = Id. Et par suite Ψ est transitive □ Rapelons que le xateur de pi : Fix(pi) = {σ ∈G, σ(pi) = pi}, et l'orbite de pi : O(pi) = {σ(pi), σ ∈G} et comme ici l'action est transitif alors l'orbite coincidence avec {p1, . . . , pg} Le xateur est un sous groupe de G, on le note ici D et on l'appelle le groupe de decomposition de pi Proposition 1.1 |D| = n/g. Preuve : On a Fix(pi) ≃G/O(pi) ⇒|D| = |G|/|O(pi)| = n/g.□ Pour σ ∈D posons σ : A′/pi →A′/pi 2 x 7→σ(x) = σ(x) alors σ est A/p-automorphisme de A′/pi en eet σ(x + y) = σ(x + y) = σ(x + y) = σ(x) + σ(y) = σ(x) + σ(y), donc σ est linéaire. Si σ(x) = σ(y) alors σ(x) −σ(y) ∈pi ⇒σ(x −y) ∈pi ⇒x −y ∈pi (car σ, σ−1 ∈D),⇒x −y = 0, d'ou le résultats, et l'injection de σ. La surjection se déduit de faite que σ est un isomorphisme Maintenant si x ∈A/p, x = x + pi, σ(x) = σ(x) + pi = x + pi = x, car σ est K-isomorphisme,et par suite σ est A/p-automorphisme de A′/pi. Considèrons : Φ : D →AutomorphismeA/p(A′/pi) σ 7→Φ(σ) = σ Ker(Φ) = {σ ∈D; σ = IdA′/pi} = {σ ∈D; σ(x) = 0} = {σ ∈D; σ(x) −x ∈pi} on le note I, et on l'appelle le groupe d'inertie Proposition 1.2 Si A/p est ni ou de caractéristique 0 alors : ♦A′/pi A/p est galoisienne de degré f, et Gal(A′/pi A/p ) = {σ, σ ∈D} ♦σ →σ est surjectif ♦Card(I)=e. Preuve : Soit LD le corps intermidiere laissé invariant par D, et soit A” sa clotûre intégrale dans A, notons par pD = pi T A”, et on sait que Gal(L/LD) = D (résultats de cours de Galois). 3 Si on pose pDA′ = (Πs k=1qi)β oú les qi sont des premiers de A′, comme pi T A” = pD, alors ∃j tel que qj = pi, or ∀σ ∈D = Gal(L/LD), σ(pi) = pi ⇒∀s, qs = pi. ⇒pDA” = pe′ i posons f ′ = [A′/pi, A”/pD] alors e′f ′ = Card(D) = ef comme on a A/p , →A”/pD , →A′/pi ⇒f ′ ≤f et pA′ ⊂pDA′ ⊂pi ⇒e′ ≤e ⇒e = e′, f = f ′ et par suite A/p ≃A”/pD Puisque A/p est ni ou de caracteristique 0, alors le théorème de l'élé- ment primitif s'applique ; soit x un élément primitif, donc on aA′/pi = A/p(x) x ∈A′, soit P(x) = xr+ar−1xr−1+. . .+a0 = 0 une equation de dependance integrale de x, on peut supposer que P(X) ∈LD[X] ⇒P(X) ∈A”[X], (car si R est de Dedekind, et K son corps de fraction, L une extention ni, si x ∈L entier sur R,alors les coe cients du polynome irréductible de x sont entiers sur R ; en particulier, si R est integralement clos, alors Irr(x, K) ∈A[x], car A′ T K = A). Et P(X) = Xr + ar−1Xr−1 + . . . + a0 ∈A”/pD = A/p, ses racines sont σ(x) ∈A′/pi ⇒Irr(x, LD) est scindé dans A′/pi ⇒A′/pi A/p est normale donc galoisienne, et tout les conjugué de x sont σ(x), ⇒Gal(A′/pi A/p ) = {σ, σ ∈D} 4 et de même Φ : D →Gal(A′/pi A/p ) σ 7→Φ(σ) = σ est surjectif : Par application du premier théoreme d'Isomorphisme on a : |G|/|I| = f ⇒ |I| = e.□ Corollaire 1.1 ♦Un premier n'est pas rami é ssi son groupe d'inertie est trivial. ♦Dσ(p) = σDpσ−1 ♦Iσ(p) = σIpσ−1 1.2 L'aotomorphisme de Frobenius Soit p un maximal de A qui ne se rami e pas donc I = {Id},et soit pi un facteur premier de pA′, et D le groupe de décomposition de pi, alors on a D ≃Gal(A′/pi A/p ) et comme dans les corps des nombres, les corps resudiel sont nis,et A′/pi A/p est galoisienne, alors elle est cyclique et Gal(A′/pi A/p ) =< σ > tel que σ(x) = xq avec q = Card(A/p) et par suite D =< σ, σ(x) ≡ xqmod(pi) >, ce generateur s'appelle L'automorphisme de Frobenius de pi =not (pi, L/K) Corollaire 1.2 ♦(τ(pi), L/K) = τ(pi, L/K)τ −1 en particulier si L/K est abelien, alors (pi, L/K) ne depend pas de pi, en ce cas on le note (L/K p ) ♦Si L′ est une extention intermediare de L/K, et f = [O(L′)/pi T L′, A/p] alors ♦(pi, L/L′) = (pi, L/K)f ♦£ si de plus L′/K est galoisienne alors (pi, L/K)|L′ = (pi T L′, L′/K) 5 uploads/Science et Technologie/ groupe-de-decomposition-pdf.pdf